(完整)高一数学必修一必修二各章知识点总结,推荐文档

1、数学必修 1 各章知识点总结第一章集合与函数概念-、集合(一)集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3. 集合的表示： (1)常用数集及其记法(2)列举法 (3)描述法4. 集合的分类：有限集、无限集、空集5. 常见集合的符号表示：数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或 NZQR(二) 集合间的基本关系1.子集、真子集、空集；2.有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集;3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(三) 集合的运算运算类型交 集并 集补集定义由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集 合，叫做 A,B

2、的交 集.记作 AB (读作A 交 B),即 A B= x|xA,且 x B.由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合， 叫做A,B的并 集.记作：A B (读作A 并 B,即 A B =x|x A,或 x B).设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集，由 U 中所有 不属于 A 的元素组成的集 合， 叫做 U 中子集A 的补 集(或余集) 记作CUA，即CA=x|xUx，且 A韦 恩 图 示dBn图1图2性 质A A=AA 二A B=B AABAABBA A=AA=AA B=B AA BAABB(CuA)(CuB)= Cu(A B)(CuA)(CuB)= Cu(A B)

3、A (CuA)=UA (CuA)=.二、函数(一)函数的有关概念1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应， 那么就称 f :ATB 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数.记作： y=f(x) ,x A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：解析法：必须注明函数的定义域；1图象法

4、：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6) 指数为零底不可以等于零；(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义相同函数的判断方法：(

5、以下两点必须同时具备)(1)表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；(2)定义域一致.求函数值域方法：(先考虑其定义域)(1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3) 求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等2.函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中， 以函数y=f(x) , (x A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C 上每一点的坐标

6、(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来， 以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y)，均在 C 上.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图 象的依据.(2) 画法：描点法；图象变换法常用变换方法有三种：平移变换；对称变换；*伸缩变换.3 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.4 .映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f: A

7、 B 为从集合 A 到集合 B 的一 个映射.记作“ f (对应关系)：A (原象集)B (象集)”对于映射f:ATB来说，则应满足：(1) 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2) 各部分的自变量的取值情况；(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.(二)函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)定义设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间

8、 D 内的任意两个自变量 X1, X2, 当 x时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值X1, X2，当 X1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的x1,x2D,且x1x2有f(x2)一空。0或者x2x1(f(X2f (xXX(21)0，则函数f(x)在区间 D 上是增函数；如果对任意的x1,x2D，且XiX2有f(x ) f(x )210或者(f(X2f(xXX(21)0，则函数f(x)在区间

9、D 上是减函数x2x1注意：函数的单调性是函数的局部性质.(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取 xi, X2 D,且 Xi1,且nN*. 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0,记作n02.分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定:ma0 的正分数指数幕等于 0,3.实数指数幕的运算性质(1)arasar s(a(二)指数函数及其性质1.指数函数的概念： 一般地，函数y注意：指数函数的

10、底数的取值范围，底数不能是负数、零和2.指数函数的图象和性质0.a (a 0) a (a 0)当n是奇数时，nana，当n是偶数时,|a|n ma (a 0, m, n N,n 1),a1man0 的负分数指数幕没有意义(a 0,m,n N ,n 1)R)；(2)(ar)sars(a 0, r,sR)；( 3)(ab)rabr(a 0,r R).0,且 a 1)叫做指数函数，其中0,r,sXa (ax 是自变量，函数的定义域为R.1.(1) 在a , b上，f(x) ax(a 0 且 a 1)值域是f (a),f(b)(a1 )或f(b),f(a)(0a10ao,方程ax2两个零点.(2)A=

11、o,方程ax2一个二重零点或二阶零点.x轴有两个交点，二次函数有x轴有一个交点，二次函数有0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.数学必修 2 各章知识点总结(2)柱体、锥体、台体的体积公式体积公式体积公式棱柱VS底高圆柱Vr2h棱锥1V护底九圆锥V1r2h3棱台V】(sSh3圆台12 2V (r rr1r )h3(3)球体的表面积和体积公式：V球=4R3； S球面=4 R23表面积相关公式表面积相关公式棱柱S全2S底圆柱S全2 r22 rh (r:底面半径，h：咼)棱锥S全 瓯S底圆锥S全r2rl(r:底面半径，l:母线长)棱台S全SS上底ST底圆台S全(r2r2rl rl)(

12、r:下底半径，r:上底半径，l:母线长)4、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)柱体、锥体、台体的表面积(几何体的表面积为几何体各个面的面积的和)结构特征性质图例棱柱(1) 两底面相互平 行，其余各面都是平 行四边形；(2) 侧棱平行且相 等圆柱(1)两底面相互平行；(2)侧面 的母线平行于圆柱的轴；(3)是以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余三边旋转形成的曲 面所围成的几何体4_fr *|贞41fV飞J1II JT棱锥(1) 底面是多边形， 各侧面均是三角形；(2)各侧面有一个公 共顶点圆锥(1)底面是圆；(2)是以直角三 角形的一条直角边所在的直线为 旋转轴，其余两边旋转形成的曲 面所围成

13、的几何体X * 棱台(1)两底面相互平 行；(2)是用一个平 行于棱锥底面的平面 去截棱锥，底面和截 面之间的部分圆台(1) 两底面相互平行；(2) 是用一个平行于圆锥底面的 平面去截圆锥，底面和截面之间 的部分1球(1)球心到球面上各点的距离相等；(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体1JFH2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影)；侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点： 原来与 x 轴平行的线

14、段仍然与 x 轴平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行，长度为原来的一半 公理 1公理 2公理 3图形 语言/訥 /文字 语言如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条 直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有 且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线符号 语言A l,B lA ,BABC 不共线ABC 确定平面IlP ,PP l公理 2 的三条推论：推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面;推论 2:经过两条相交直线，有且只有 个平面；推论 3:经过两条平行直线，有且只有 个平面第一章空间几何体1 柱、

15、锥、台、球的结构特征(要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义)(3)空间直线与直线之间的位置关系公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行第二章空间点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面之间的位置关系(1)平面1平面的概念：平面是无限伸展的2平面的表示：通常用希腊字母a、B、丫表示，如平面a(通常写在一个锐角内)；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.3点与平面的关系： 点A在平面 内，记作A；点A不在平面 内，记作A 点与直线的关系： 点A在直线I上，记作：Al； 点A在直线l夕卜，记作A I.直线与平面的关系：直线l在平面a内，记作la；直线l不在平面

16、a内，记作la.(2)平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：gm 士小 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线1空间两条直线的位置关系：八 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2异面直线判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线3异面直线所成角：已知两条异面直线 a,b，经过空间任一点 0 作直线 a a,b b，把 a,b 所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b 所成的角(或夹角).a ,b 所成的角的大小与点 0 的选择无关，为了简便，点 0 通常取在异面直线的一条上；异面直线

17、所成的角的范围为(0,90 ，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作 a b.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点T平移T定角T计算4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补(4) 空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内- 有无数个公共点.直线不在平面內J相交一一只有一个公共点.(或直线在平面外)(平行一一没有处共点.三种位置关系的符号表示：a；an=A；a/.(5)平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点，记作/B.相交有一条公共直线，记作0 3=b.2、空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质面面垂直的判定定理和性质

18、定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.(线线平行线面平行)符号表示为：a ,b ,a/b a /.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行线面平行 线线平行a/符号表示为：aa /b(2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(线面平行T面面平行)，用符号表示为：a，b，aI b P/.a/ ,b/*(2)如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这

19、两个平面平行*(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理(线线平行T面面平行)，(1)如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行(面面平行T线面平行)用符号表示为： /卩，a?卩a /(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行(面面平行T线线平行)用符号表示为：卩， 门丫=a,卩门丫=ba / bII3、空间中的垂直问题(1) 线线、面面、线面垂直的定义1两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直2线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直3平面和平面垂直： 如果两个平面相

20、交， 所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形) 是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直(2) 垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直这个平面 (线线垂直线面垂直)用符号表示为：I 丄 m , I 丄 n , mAn = B, m , nI 丄性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行用符号表示为：a丄 ,b丄 ? a / /b那么这两个平面互相垂直 (线面垂直 面面垂直) 用符号表示为：a?, 丄卩？丄卩.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的

21、直线垂直于另一个平面(面面垂直 线面垂直)用符号表示为：，I I , a , a I a 4、空间角问题(1)直线与直线所成的角1两平行直线所成的角：规定为o .2两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角3两条异面直线所成的角：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线a,b平行的直线a , b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角(2)直线和平面所成的角1平面的平行线与平面所成的角：规定为02平面的垂线与平面所成的角：规定为903平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,_ 叫做这条直线和这个平

22、面所成的角求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算” (3)二面角和二面角的平面角1二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面 2二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角3直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那 么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角*

23、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角 的平面角第三章直线与方程1、直线的倾斜角与斜率(1) 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 .特别地，当直线与x轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 度因此，倾斜角的取值范围是0WaV180(2) 直线的斜率1定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用 k 表示即k tan斜率反映直线与轴的倾斜程度 当0,90时，k 0；当90 ,180时，k 0； 当90时，k不存在2过两点的直线的斜率公式：k上一也(x1x2)x2为3设AR yj,

24、 B()y,2,则线段 AB 中点坐标公式为(亠生,翌)2 22、直线的方程(1)直线方程的几种形式名称方程适用范围点斜式yy=k(xx)不含垂直于X轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线两点式y y1y2 y1 = x x1x2 x1不含直线x=X1(X1孜2)和直线y=y1(y1夸2)截距式xa + yb= 1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C= 0(A2+B2和)平面直角坐标系内的直线都适用注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：yb(b为常数)；平行于y轴的直线：x a(a为常数).(2)直线系方程(即具有某一共同性质的直线)平行直线系：平行于已知直

25、线A0X B0y C00(A,B是不全为 0的常数)的直线系方程为A0X ByC 0(C为参数)垂直直线系：垂直于已知直线A3XBy C00(A0, B0是不全为 0的常数)的直线系方程为:Bx A0yC 0(C为参数)过定点的直线系(i)斜率为k的直线系方程为yy。k xXo，直线过定点X0, y0；* (ii)过两条直线l1:Ax B1yC10,l2:A2X B?y C20的交点的直线系方程为AiXBy C1A2X B2yC20(为参数)，其中直线12不在直线糸中.3、两直线平行与垂直已知1: yk1xb|，l2: yk2xb2，则hl2k1k2,db2；1l2k1k21注意：利用斜率判断

26、直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否4、两条直线的交点l1: AlxB1y C10，l2:A2xB2yC20相交，交点坐标即方程组AlXBiyC10的一组解.A2x B2y C20方程组无解l1/l2；方程组有无数解l1与丨2重合5、距离公式：(1) 平面上任意两点 R(X1, yj ,P2(X2,y2)间的距离为|PF2| =.特别地，当PF所在直线与x轴平行时，I PP2I I X1X2| ；当 R,P2所在直线与y轴平行时，IRF21 1 力 y21;(2) 平面上任意一点F0(xo,yo)到直线l : Ax+By+C= 0(A, B不同时为 0)的距离为d= |Ax0 + By0+

27、 C|r(A2 + B2).(3) 两条平行直线丨1：Ax+By+G= 0,12：Ax+By+C2= 0(其中代 B不同时为 0，且C 涎习间的距离为d=|C1 C2|r(A2 + B2).(2)般方程2X2yDx Ey F 0当D2E24F0时，方程表示圆， 此时圆心为D E,半径为122rDE 4F2，22当D2E24F0时，表示个点；当D2E24F0时，方程不表示任何图形(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a, b, r;若利用一般方程,需要求出 D, E, F.另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置3、直线与圆的位置关系：宀护方位置大糸