第六章相关与回归分析

1、第八章 相关与回归分析一、填空题8.1.1 客观现象之间的数量联系可以归纳为两种不同的类型，一种是 函数关系 ，另一种是相关关系 。8.1.2 回归分析中对相互联系的两个或多个变量可以区分为 因变量 和 自变量 。8.1.3 函数关系 是指变量之间存在的严格确定的依存关系。8.1.4 相关关系 是指变量之间客观存在的非严格确定的依存关系。8.1.5 按相关关系 涉及变量 的多少可分为单相关、复相关和偏相关。8.1.6 两个现象的相关，称为 单相关 。8.1.7 在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为 偏相关 。8.1.8 按变量之间相关关系的 密切程度

2、 不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。8.1.9 按相关关系的 表现形态 不同可分为线性相关和非线性相关。8.1.10 在线性相关中，按相关的 方向 可分为正相关和负相关。8.1.11 按 相关的性质 可分为“真实相关”和“虚假相关”。8.1.12 当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量也相应由小变大，这种相关称为 正相关 。8.1.13 当一个现象的数量由小变大，而另一个现象的数量相反地由大变小，这种相关称为负相关 。8.1.14 当两种现象之间的相关只是表面存在，实质上并没有内在的联系时，称之为 虚假相关 。8.1.15 相关分析 是指研究一个变量与另一个变量或另一组变量之间相关

3、方向和相关密切程度的统计分析方法。8.1.16 回归分析 是指根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型来近似地表达变量间平均变化关系的统计分析方法。8.1.17 相关系数 是反映变量之间相关关系及关系密切程度的统计分析指标。8.1.18 偏相关系数 是在多元相关分析中考虑其他变量但假定其保持不变的情况下计算出来的反映某两个变量之间相关程度的统计分析指标。8.1.19 复相关系数 是指反映一个因变量与两个及两个以上自变量组成的一组自变量之间相关程度的统计分析指标。8.1.20 最小二乘法 就是寻找参数的估计值，使因变量实际值与估计值的残差平方和达到最小。8.1.21 正如标准差可以说明平均

4、数代表性大小一样， 估计标准差 则可以说明回归线代表性的大小。8.1.22 回归分析中的显著性检验包括两方面的内容，一是对 各回归系数 的显著性检验；二是对 整个回归方程 的显著性检验。8.1.23 对各回归系数的显著性检验，通常采用 t检验 ；对整个回归方程的显著性检验，通常采用 F检验 。8.1.24 当相关系数时，只能认为变量之间不存在 线性相关 关系。8.1.25 回归系数 的显著性检验就是要检验自变量x对因变量y的影响程度是否显著。二、单项选择题（在每小题的3个备选答案中选出1个正确答案，并将其字母填在题干后面的括号内）8.2.1 当一个或几个相互联系的自变量取一定的值时，因变量必定

5、有一个且只有一个确定的值与之对应。这种关系称为 （ A ）A函数关系 B相关关系 C对应关系8.2.2 当一个或几个相互联系的自变量取一定的数值时，与之对应的因变量往往会出现几个不同的值，但这些数值会按某种规律在一定范围内变化。这种关系称为 （ B ）A函数关系 B相关关系 C对应关系8.2.3 当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为 （ B ）A单相关 B复相关 C偏相关8.2.4 在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为 （ C ）A单相关 B 复相关 C偏相关8.2.5 反映变量之间相关关系及关系密切程度的统计分析指标称为

6、（ B ）A回归系数 B相关系数 C判定系数8.2.6 在多元相关分析中，考虑其他变量但假定其保持不变的情况下计算出来的反映某两个变量之间相关程度的统计分析指标，称为 （ B ）A回归系数 B偏相关系数 C复相关系数8.2.7 反映一个因变量与两个及两个以上自变量组成的一组自变量之间相关程度的统计分析指标称为 （ C ）A回归系数 B偏相关系数 C复相关系数8.2.8 当相关系数时，只能认为变量之间不存在 （ A ）A线性相关关系 B曲线相关关系 C任何相关关系8.2.9 变量y对x的一元线性理论回归模型可以表示为 （ B ）A B C8.2.10 变量y关于x的一元线性经验回归方程可以表示为

7、 （ A ）A B C8.2.11 最小二乘法就是寻找参数的估计值，使因变量实际值与估计值的残差平方和达到最小，即 （ B ）A B C8.2.12 正如标准差可以说明平均数代表性大小一样，估计标准差可以说明什么的代表性大小 （ C ）A回归系数 B相关系数 C回归直线8.2.13 检验自变量x对因变量y的影响程度是否显著，通常是指 （ A ）A回归系数的显著性检验 B相关系数的显著性检验 C回归方程的显著性检验8.2.14 如果原假设成立，则表明因变量y与自变量x之间并没有真正的 （ B ）A曲线关系 B线性关系 C因果关系8.2.15 根据方差分析原理，将y的n个观察值之间的差异，用观察值

8、与其平均值的离差平方和来表示，并称之为 （ A ）A总离差平方和 B回归平方和 C残差平方和8.2.16 回归分析中，把回归平方和与总离差平方和之比定义为 （ C ）A样本回归系数 B样本相关系数 C样本决定系数三、多项选择题（在下列4个备选答案中，至少有二个是正确的，请将其全部选出，并把字母填在题干后面的括号内）8.3.1 客观现象之间的数量联系可以归纳为两种不同的类型，包括 （ AC ）A函数关系 B单向因果关系 C相关关系 D双向因果关系8.3.2 按涉及变量的多少不同，相关关系可分为 （ ABC ）A单相关 B复相关 C偏相关 D零相关8.3.3 按变量之间关系的密切程度不同，相关关系

9、可分为 （ BCD ）A单相关 B完全相关 C不完全相关 D不相关8.3.4 按变量之间相关的表现形态不同，相关关系可分为 （ AB ）A线性相关 B非线性相关 C正相关 D负相关8.3.5 线性相关中按相关的方向不同，可分为 （ CD ）A单相关 B复相关 C正相关 D负相关8.3.6 下列有关相关分析的解释说明中，正确的有 （ ABC ）A相对应的两个变量不必区别自变量和因变量，两个变量呈对等关系B反映相关密切程度的相关系数只有一个C所涉及的变量y与x全是随机变量 D所涉及的变量y与x全是确定性变量8.3.7 测度相关关系的方式有三种，即 （ BCD ）At检验 B相关表 C相关图 D相关

10、系数8.3.8 相关系数是反映变量之间相关关系及关系密切程度的统计分析指标，包括（ ACD ）A简单相关系数 B判决系数 C偏相关系数 D复相关系数8.3.9 在一元线性回归分析中，通常假定随机误差项满足 （ AC ）A B C D8.3.10 下列有关误差项的基本假设中，正确的有 （ ABCD ）A B C D服从正态分布8.3.11 线性回归分析中，也可以根据P值作检验。下列正确的表述有 （ AB ）A当P值<时，拒绝原假设 B当P值时，接受原假设C当P值<时，接受原假设 D当P值时，拒绝原假设8.3.12 下列有关回归分析中统计检验方法的正确表述是 （ CD ）A回归系数显著

11、性检验采用F检验 B回归方程显著性检验采用t检验C回归系数显著性检验采用t检验 D回归方程显著性检验采用F检验8.3.13 下列有关样本判决系数的正确表述有 （ ABD ）A样本决定系数的取值在0，1区间内 B越接近1，表明回归拟合的效果越好C越接近0，表明回归拟合的效果越好 D自变量越多，值越大8.3.14 非线性回归分析必须解决的主要问题是 （ AC ）A确定非线性回归函数的具体形式 B计算相关系数C估计函数中的参数 D样本判决系数8.3.15 下列非线性函数的表达式中，正确的有 （ ABCD ）A抛物线函数 B幂函数C指数曲线函数 D对数函数四、判断改错题（在你认为正确的题后括号内打“

12、”。在你认为错误的地方和题后括号内打“ × ”，并在其正下方写出正确的答案来)8.4.1 客观现象之间的数量联系可以归纳为函数关系和相关关系两种不同的类型。 （ ）8.4.2 圆的周长C与其半径r之间的依存关系可以表示为，这是一种相关关系。（×，函数关系）8.4.3 在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为复相关。 （×，偏相关）8.4.4 按变量之间相关关系的变化方向不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。（×，密切程度）8.4.5 相关分析的对象主要是变量之间的相关关系，而相关关系泛指两个变量之间的相互依存关

13、系。 （ ）8.4.6 相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系的两种完全不同的统计方法。（×，具有密切联系的统计方法）8.4.7 相关分析可以不必确定变量中哪个是自变量，哪个是因变量，其所涉及的变量可以都是随机变量。 （ ）8.4.8 复相关系数是指反映一个因变量与两个及两个以上自变量组成的一组自变量之间相关程度的统计分析指标。 （ ）8.4.9 当相关系数时，说明两个变量之间不存在任何相关关系。 （×，只能认为变量之间不存在线性相关关系）8.4.10 当变量x与y之间存在线性相关关系时，有。 （ ）8.4.11 变量y对x的一元线性理论回归模型是：。 （×，）

14、8.4.12 回归分析中，通常假定随机误差项遵从正态分布，即。 （ ）8.4.13 所谓最小二乘法就是寻找参数的估计值，使残差绝对值之和达到最小。 （×，残差平方和达到最小）8.4.14 根据所选取的样本不同，的具体数值会随之变化，因此它是一种随机变量。（ ） 8.4.15 服从期望值为，方差为的正态分布。（×，方差为）8.4.16 最小二乘估计量分别是的最佳线性无偏估计，也就是说在的一切线性无偏估计中，它们的方差最小。 （ ）8.4.17 正如标准差可以说明平均数代表性大小一样，估计标准差则可以说明因变量代表性的大小。 （×，回归线的代表性）8.4.18 在回归

15、分析中，F检验主要用于检验回归系数的显著性。 （×，t检验）8.4.19 样本决定系数等于残差平方和与总离差平方和之比，记为。（×，回归平方和）8.4.20 一般而言，回归方程的显著性检验与值的大小是一致的，即t检验和F检验越显著，就越大。 （ ）8.4.21 因变量单个值的预测区间大于因变量均值的预测区间。 （ ）8.4.22 在线性相关条件下，研究两个和两个以上自变量对两个以上因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析。 （×，一个因变量）8.4.23 多元线性回归模型中回归系数的最小二乘估计量是确定性变量。（×，随机变量）8.4.24 一元线性回归

16、分析中，回归系数的t检验和回归方程的F检验所得结论是一致的。（ ）8.4.25 抛物线函数也称二次曲线，其方程的具体形式为（×，）五、简答题8.5. 1 什么是相关关系？相关关系与函数关系有何区别？答：相关关系是指变量之间客观存在的非严格确定的依存关系；函数关系是指变量之间存在的严格确定的依存关系。函数关系中当一个或几个相互联系的自变量取一定的值时，因变量必定有一个且只有一个确定的值与之对应，而相关关系中，当一个或几个相互联系的自变量取一定的数值时，与之对应的因变量往往会出现几个不同的值，但这些数值会按某种规律在一定范围内变化。8.5.2 什么是单相关、复相关和偏相关？请各举一例说明

17、。答：单相关是指两个现象之间的相关，即一个变量对另一个变量的相关关系。如居民家庭可支配收入与消费支出之间的关系。复相关是指一个变量与两个或两个以上其他变量之间的相关关系。例如，某种商品的销售量与其价格水平以及人们收入水平之间的相关关系便是一种复相关。偏相关是指在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量之间的相关关系。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的销售量与其价格水平的关系就是一种偏相关。8.5.3 什么是线性相关和非线性相关？请各举一例说明。答：线性相关是指两种相关现象之间在直角坐标系中近似地表现为一条直线时的相关关系。例如人均消费水平与人均收入水平通

18、常呈线性关系。非线性相关是指两种相关现象之间在图上并不表现为直线形式而是表现为某种曲线形式时的相关关系。例如产品的平均成本与产品总产量之间的相关关系就是一种非线性相关。8.5.4 什么是相关分析和回归分析？它们之间有何联系和区别？答：相关分析是指研究一个变量与另一个变量或另一组变量之间相关方向和相关密切程度的统计分析方法。回归分析是指根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型来近似地表达变量间平均变化关系的统计分析方法。两者之间的联系：相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析

19、寻求其相关的具体形式才有意义。两者之间的区别：(1)相关分析中，变量x与变量y处于平等地位，不需要区分自变量和因变量；回归分析中必须区分自变量和因变量；(2)相关分析中所涉及的变量y与x全是随机变量，而回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量； (3)相关分析的研究主要是刻画两类变量间线性相关的密切程度，而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。8.5.5 回归分析有哪些基本假设？答：有关误差项的基本假设有：（1）误差项的期望值为0，即对所有的i有：；（2）误差项的方差为常数，即对所有的i有；（3）误差项之间不存在

20、自相关关系，其协方差为0，即当时，有；（4）自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关；（5）随机误差项服从正态分布。8.5.6 什么是P值？说明其在假设检验中的应用。答：所谓的值是一个条件概率值，是在原假设为真的假设下，由样本观察值计算得到的对原假设可信程度的一个度量。对于给定的值，当P值<时，拒绝原假设；当P值时，接受原假设。8.5.7 说明样本决定系数的含义及其作用。答：样本决定系数是指总离差平方和中回归平方和所占的比重，用以反映回归直线与样本观测值拟合优度的统计分析指标。反映了因变量的变化中能用自变量解释的比例。的值总是在0和1之间，也可以用百分数表示。样本决定系数的取值在0，1区

21、间内，越接近1，表明回归拟合的效果越好；越接近0，表明回归拟合的效果越差。与F检验相比，可以更清楚直观地反映回归拟合的效果，但是并不能作为严格的显著性检验。8.5.8 非线性回归分析应解决哪些主要问题？答：非线性回归分析必须解决两个主要问题：一是如何确定非线性回归函数的具体形式；二是如何估计函数中的参数。对于前一个问题，要注意非线性回归函数不同于线性回归函数，它有不同的表现形式，需要根据所要研究的问题的性质并结合实际样本观测值做出恰当的选择。对于后一个问题，要注意虽然非线性回归分析中最常用的参数估计方法仍然是最小二乘估计法，但需要根据函数的不同类型进行适当变换，先将非线性函数转换为线性函数，再

22、利用最小二乘法估计参数。六、计算题8.6.1 2008年1月期末考试结束后，从某班50名学生中随机抽取10名，得其高等数学成绩与统计学成绩资料如下：序 号高等数学成绩（分）统计学成绩（分）154612668036862476865788468276785858878299088109496要求：根据上述资料计算相关系数分析高等数学成绩与统计学成绩之间的相关情况，并绘制相关图。解：（1）根据需要，计算有关数据如下：相关系数计算表序号高等数学成绩（分）x统计学成绩（分）yxy15461291637213294266804356640052803686246243844421647686577673

23、9665365788460847056655268276672457766232785857225722572258878275696724713499088810077447920109496883692169024合 计780800622106510263413相关系数为：相关系数为0.8244，说明高等数学成绩和统计学成绩之间存在较强的正相关关系。（2）相关图如下：高等数学成绩和统计学成绩相关关系示意图8.6.2 某管理局所属10个同类工业企业，其2007年第四季度生产性固定资产和利润总额资料如下：企业编号生产性固定资产（万元）利润总额（万元）1318522910101320064440

24、98254159265029373141608121015191022122101225162要求：判断生产性固定资产与利润总额之间是否存在相关关系，是何种关系，并计算相关系数说明其密切程度。解：（1）绘出生产性固定资产与利润总额的散点图如下：生产性固定资产与利润总额相关关系示意图由图可以看出，随着生产性固定资产投入的增加，利润总额基本上也呈增加趋势，即生产性固定资产与利润总额之间存在正的相关关系。（2）计算相关系数根据需要，计算有关数据如下：相关系数计算表序号生产性固定资产（万元）x利润总额（万元）yxy13185210112427041653629101018281001020191910

25、3200644000040961280044098216728167243353854159217222584643818065029325200486494668673141609859625600502408121015114641002280118271091022122104448414884124684101225162150062526244198450合 计652510795668539130367795734相关系数为：相关系数并不是特别大，可视为中度相关。8.6.3 2008年1月随机抽取某区12个居民家庭为样本，调查得到各户人均可支配收入和食品支出的资料如下：家庭编号人均可

26、支配收入（元）人均食品支出（元）145027025202863675350473536557863786880396711244808125050091468520101765540111850580121880585要求：（1）分析判断人均可支配收入与人均食品支出之间是否存在相关关系？其相关程度如何？（2）拟合适当的回归模型，并对该模型的拟合优度作出评价。解：（1）绘出人均可支配收入与人均食品支出散点图如下：人均可支配收入与人均食品支出散点图由图可以看出，人均可支配收入与人均食品支出之间存在明显的正相关关系，随着人均可支配收入的增多，人均食品支出也持续增加。为了更好的描述其相关程度，计算相关

27、系数r如下：相关系数计算表序号人均可支配收入（元）x人均食品支出（元）yxy1450270202500729001215002520286270400817961487203675350455625122500236250473536554022513322526827557863786177961428842971086880396774400156816348480711244801263376230400539520812505001562500250000625000914685202155024270400763360101765540311522529160095310011185

28、05803422500336400107300012188058535344003422251099800合 计1338352501791397124311466474113可见，二者的相关程度非常强。（2）同样假设人均可支配收入为x，人均食品支出为y，所求的回归方程为根据最小二乘原理，解得回归系数如下：所求的回归方程为：样本决定系数，调整后的。在总的离差平方和中回归平方和所占的比重越大，则线性回归效果就越好。判决系数如此接近1，这说明回归直线与样本观测值拟合得很好。8.6.5 某大型商业集团所属10家超市2006年10月商品销售额与流通费用率资料如下：超市编号流通费用率（%）商品销售额（百万

29、元）112.81.429.03.035.44.144.25.853.66.863.08.672.811.082.612.892.613.8102.415.6要求：（1） 试用散点图判断流通费用率与商品销售额之间的关系；（2） 以商品销售额为自变量、流通费用率为因变量，拟合双曲线回归模型；（3） 检验该模型的显著性，并预测商品销售额达到18百万元时的流通费用率。解：（1）绘出流通费用率与商品销售额散点图如下：流通费用率与商品销售额散点图由图可以看出，流通费用率随着商品销售额的提高而逐渐下降，随后趋于稳定。（2）设流通费用率为y,，商品销售额为x，选用双曲线函数 令，则有。相关计算过程如下：流通费

30、用率对商品销售额的回归计算表超市编号商品销售额（百万元）x流通费用率（%）y11.412.80.7142857140.510204082909.00.3333333330.1111111113.00000000034.15.40.2439024390.059488401.31707317145.84.20.1724137930.0297265160.72413793156.83.60.1470588240.0216262980.52941176568.63.00.1162790700.0135208220.348837209711.02.80.0909090910.0

31、082644630.254545455812.82.60.0781250000.0061035160.203125000913.82.60.0724637680.0052509980.1884057971015.62.40.0641025640.0041091390.153846154合 计82.948.42.0328735960.76940534515.86223963回归系数为：所求的回归方程为： (3)，该模型很好的通过了显著性检验。当x=18时， 8.6.6 19902005年我国城镇居民家庭人均可支配收入及恩格尔系数资料如下：年份城镇居民家庭人均可支配收入（元）恩格尔系数（%）19901510.2054.24 19911700.6053.80 19922026.6053.04 19932577.4050.32 19943496.2050