(推荐)高中数学基本不等式的解法十例

1、高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1 . a?+b2 2 2ab，其中当且仅当a =时等号成立。2 .。+2 2>/石，其中4力£0,48）,当且仅当时等号成立。3 .常考不等式：>ab> , 2 ,其中dw（O,）,当且仅当时等号成立。2 2 ）1 , 1''五+而二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若是定值，那么当且仅当a=。时，（a+0）mm=2j而。其中”力£0,y）（2）和定积最大：若 是定值，那么当且仅当时，（<小）=（2叱j ,其中例题1：若实数满足2"

2、;+2b =1,则a+Z?的最大值是.（2a + 6 丫 1解析：很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2a-2b< =± = 2*2-2 = 4 + 64-2,I 2 J 4当且仅当。=。二一1时取等号。变式：函数y = "1（“ >O,aw 1）的图象恒过定点儿若点在直线zx + y = l上，则?的最大值为°解析：由就意可得函数图像恒过定点A（U），将点A。）代入宜找方程3+盯=1中可得利+ = 1，明显，和为定，根据和定枳最大法则可得：优J竺三=L当且仅当机=L时取等'，.I 2 J 42例题2：已知函数/（工）=2"+彳=

3、，则/（X）取最小值时对应的x的值为乙解析：很明显,枳为定，根据枳定和最小法则可得:2，+，"卜=1 ,2田 V 2源当且仅当2、= /37 nx = 1时取等号。变式：已知x>2,则x + L的最小值为。x + 2解析：由题意可得x + 2>0,(x + 2)x=1 ,明显，积为定，根据和定枳最大法则可得: '7 x + 2x + 2 + !>2J(x + 2)1=2,当且仅当x + 2 = 5= x+2 = l = x = 1 时取等号，此时可 x + 2 V 7 x + 2x + 2Y例题3：若对任意x>0, ； + 3；_ Wa恒成立、则a的取

4、值范围是X< x2 + 3x +1max解析：分式形式的不等式，可以考虑采用外、离的方法 <«=>«>厂 + 3x +1xX|解法L将一化得一 =一；(.1>0)，观察分咕 很明显可以得到积为定值,x2+3x + x2+3x + 1 ( +，+ 3x根据帜定和最小的法则可得：x + -> 2jxx- = 2 ,当且仅ix = -=> x = 1时取等号一故向可.得分式的 X N XX分母x +，+ 3N5 = 0<!=；=-,因此可得：«>-oxx + L + 3 5 vv- + l + 3xjnm 55xXY

5、11解法2：将一化简可得一=(x>0),令x) = x + (工>0),这是一个对 x2+3x + l x2+3x + l ( +，+ 3x 7X勾函数，故而可得/(x) = x +，N/(l) = 2c故而分母x+1 + 3 = /(x) + 3X5,代入分式函数取倒数 .1X可得 0V一<?=X+- + 3xXx2 + + 3x,max=因此可得：a>-.问题2： “1”的代换解题思路：根据/(X)二二，"(？ .0)，对所求内容进行乘除化简即可。1 4v例题4：若两个正实数x、y满足一+ = 1 ,且不等式x +上V/-3加有解，则实数卬的取值范围是14

6、解析：由题意可得一+ 一 = 11 4左边乘以上+ = 1可工+讣j.+U=i+i+上+”，很明显义+把中枳为定值，根据枳定和最小的法则可得: 4 人 x y J4 工 y4x y_1 +把之2 = 2,当且仅当J = S = 1 = F =2时取等号。故而可得（x+2jj_ +±之4。4x y © y4x y y = 8I 4 八 x y J不等式x一 3 m仃解，亦即一3加（x + ） =4,亦即-3/-4>0,解得 7>4或者 m < -1 故而可得7£（-s,-l）.（4,yD）1?变式：若x20, y>0,且：; += = 2,则

7、4x + 3y的最小值为2x + y x + y解析：由（2x+y） + 2（x+y） = 4x+3y,化简题干条件可得1412x + y 2x + 2y=2乘以所求内容可得:( 1414 1+ (4x + 3y)+ (2x+y + 2x + 2y 一2x+y 2x + 2"l.，_2x +>，2x+2y),)化简后可得:tX 十 D)222x12y + 4（2.x + 3'）+4 + 14x + 3），= 2LH一次0很明显在-2），+ （ ' +）中二者积为定值.根据枳定和M22x+ y 2x + 2y小法则可得生0 +卫+丁）> 2但卫>g+y

8、） = 4-彳旦仅当处殳=心+ 丁） = ? 2x + y2x + 2yy 2x+ y2x + 2y2x+ y2x + 2yx = 09亦即，_ 3时取等号。此时可得（4x + 3v）= 。 2问题3：方程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。1 O例题5： （2015 湖南高考）若实数a, 6满足4+3=仃，则的最小值为.解析：由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：y3 =工+乙22，率二脸,当且 a b a b Jab仅当一 =一 = =2。时取等号，化简后可得：ab = 20,此时1一一 a b-b = 24变式：若1g (3x)

9、 + lgy= 1g (x+y+1),则xy的最小值为.解析：将题干条件化简叮得：lg(3x-y) = lg(x+y + l) = 3A>，= x+y + l,由题意需要求解到，故而可 知利用不等式x+yN2历，将条件化简可得：3与，-1 =工+,，22而当旦仅“ix = y时等号成立，化 简上式可得 3xy -1 - 2yxy >0=>(3yf +1)(- 1) >0=>2 1 =盯之 1 ,此时 x = y = 问题4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可0例题6：已知色二土匚一+ 1对于任意的X£(l,xo)恒成立，贝IJ ()

10、X厂-X/A."的最小值为-3B. 4的最小值为TC.4的最大值为2 D.。的最大值为4r4x4解析：由题意可知参数为，将自变量移坝可得：cr + 2a + 2< + x = + x,:等式右侧，厂一 x x-141-47可知等式右侧经配凑可得积为：定位，根据枳定和最小可得： - + jv-1>2J-(x-l)=4,当且仅X- 1、x-l4( 4、)4当 = x l=>x = 3时取等号，此时可得 + x =5。由。？ + 2« + 2K + x对于任意的 工一1H /minXTx«L*o)恒成立可得：a2+2a + 2< + x I =5

11、 ,化简可得( + 3)(-1)40 ,解得一° X T /min变式6：已知包'垃°,若不等式>恒成立'则,的取值范围是一 解析：由超意可知参数为血 将双白变量。、。移项可得：加2一8小卜2 + b)恒成立，故而可得?2-874 仔+ 口(24 + ),将不等式右侧化简可得仔+白(2 +匕)=5 + ? +微二很明显积为定值，根据枳定和最小法则可得：+ >2J=4,当旦仅山3 = ' = a = b = l时取 a b a ba b故而（5 + 2）（2n+ b） =9,代入不等式中可得僧2-8皿49化简为（加一9）（帆+ 1）<

12、0解不等式可 -1/Jnun得一14机49 问题5：不等式与其他问题结合11（向量与不等式）例题7：已知04 = aOB + bOC（a > 0/ > 0）,且A, 8,C三点在同一条直线上，则一+ a b的最小值为.解析：由三点共线可得a+b = l，观察形式采用“1”的代换，故而白+ 1 = a b式右侧枳为定值，故而利用，和最小法则可得：匕+ ?22,已；=2, 1旦仪、? = 3 = a = b = L ah a ba b2时取等号。故而可得，+ l = 2 + 2 +人2 30 a b a b（不等式与解析几何）例题8；若直线axby + 2 = 0 （a>0, b

13、>0 ）被圆/十/+2x 4y + l =0截得的弦长为4,则L + L的最小值为oa b解析：将圆化为标准方程可得（x + l,+（y 2）2=4,根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心（一1,2）代2入直线方程可得。+2b = 2。观察求解形式川得采用“1”的代换方法，即上+ ! = " b） a b22b a i i 3 + 十一化简可得- + - = 生很明显枳为定，根据枳定和最小法则可得： a b 22b a、八 12b a 入穴 山i, 2 a 。= 2>/22 -+ ->2J=2隹，当且仅当一 = =>时取等号，故而可得a b V a ba b h

14、 = 2->J22 2b a1 1二+9 + 石>3 + 20ah 223x-y-6<0（基本不等式与线性规划）例题9：设满足条件工一），+ 220 ,若目标函数 x>0o!>0 3 2Z = cix + hy （f/>0,Z?>0）的最大值为12,则一 +的最小值为。a b解析：作出可行域如图所示：故而可得z = ax+by点H（4,6）取最大值，即4a + 6b = 12>2a + 3b = 6,由题意可得采用“1”的代换求解。9b 4a、+> a b9b 4a12 ,当且仅当 a b,c 9b 4a+，）,）1 2 Hd=9殳，观察分

15、子可得分子积为定值,根据枳定和最小法则可得: 6=3"=5时取等号，故而可得b = 1c 9b 4a a c 12 + 十 -+-=q_->4 a b 6222（不等式与解三角形）例题7： 44BC中，角/I，B, C的对边分别为a, b, c,且b + c - a +%=0.（1）求角力的大小；（2）若a=、8,求.ABC的最大值.（3）求AA3C周长的最值。.解析：（1）由题意与余弦定理可得42=2+c2-2/McosA = +c2-bc,解得cosA = ',故而A = C 232 J 2（2）由余弦定理可得。2=2+。2一反=3,故而儿+3=从中原,由基本不等式以士幺之岫口.4 2bc + 3 = b2+c2>2bcbc<3 ,当旦仅当 = c = Q时取"=”号。故而可得三角形的面枳S*bc =工尻 sin A< x 小x >/3 x - = 5/3 &#