椭圆的几何性质知识点归纳与典型例题与练习(付答案)

1、.（一）椭圆的定义 ：1 、椭圆的定义 ：平面内与两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定长（大于 | F1F2 | ）的点的轨迹叫做 椭圆 。 这两个定点F1 、 F2 叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离| F1 F2 | 叫做椭圆的 焦距。对椭圆定义的几点说明：（ 1）“在平面内 ”是前提 ，否则得不到平面图形 （去掉这个条件 ，我们将得到一个椭球面）；（ 2）“两个定点 ”的设定不同于圆的定义中的 “一个定点 ”，学习时注意区分 ；（ 3）作为到这两个定点的距离的和的“常数 ”，必须满足大于| F1F2|这个条件 。 若不然，当这个 “常数 ”等于 | F1F2|时，我们得到的是线段F1F2

2、；当这个 “常数 ”小于 | F1F2 |时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。（ 4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心 ，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B1， B2，于是我们易得|A1A2 |的值就是那个“常数 ”，且 |B2 F2 |+|B 2F1|、 |B1F2 |+|B 1F1|也等于那个 “常数 ”。同学们想一想其中的道理 。（5 ）中心在原点 、焦点分别在x 轴上 ， y 轴上的椭圆标准方程分别为：x 2y21 (a b 0),y 2x 21 (a b0),a2b2a2b2相同点是 ：形状相同 、大小相同

3、 ；都有 a > b > 0， a2c2b2 。.下载可编辑 .不同点是 ：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（ c， 0）和（ c， 0 ），第二个椭圆的焦点坐标为（ 0， c）和（ 0 ，c）。椭圆的焦点在x 轴上标准方程中x2 项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上标准方程中 y2 项的分母较大 。（二）椭圆的几何性质 ：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点 、焦点 、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长 、短轴长 、焦距 、离心率 对于第一类性质，只要 x 2y 21(a b0) 的有关性质中横坐标x

4、和纵坐标 y 互换 ，就可以得出a2b2y2x 21(ab0) 的有关性质 。 总结如下 ：a2b2几点说明 ：（ 1）长轴 ：线段 A1 A2 ，长为 2a ；短轴 ：线段 B1B2 ，长为 2b ；焦点在长轴上 。（ 2）对于离心率e，因为 a>c>0 ，所以 0<e<1 ，离心率反映了椭圆的扁平程度。.下载可编辑 .ca2 b2b2，所以 e 越趋近于1 ， b 越趋近于 0 ，椭圆越扁平 ；由于 ea1aa2e 越趋近于 0 ， b 越趋近于 a ，椭圆越圆 。（ 3）观察下图 ， | OB2 |b,| OF2 |c ，所以 | B2 F2 |a ，所以椭圆的离

5、心率e = cos OF2B2（三）直线与椭圆 ：直线 l ： AxByC 0（ A、 B不同时为0）椭圆 C ： x2y 21 (a b 0)a2b2那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下 ：Ax By C0x2y2消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 ，化简后形式如下a2b21mx2nxp 0(m 0) ，n24m p（ 1）当0 时，方程组有两组解 ，故直线与椭圆有两个交点；（ 2）当0时，方程组有一解 ，直线与椭圆有一个公共点 （相切）；（ 3）当0时，方程组无解 ，直线和椭圆没有公共点 。注：当直线与椭圆

6、有两个公共点时，设其坐标为A( x1, y1) , B(x2 , y2 ) ，那么线段 AB的长度（即弦长）为|AB|( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2，设直线的斜率为 k ，可得：|AB|( x1 x2 ) 2 k (x1x2 ) 21 k2 | x1 x2 | ，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。.下载可编辑 .典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为A 2，0 ，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程 分析 ：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解：（ 1）当 A 2，0 为长轴端点时 ， a 2， b 1，椭圆的标准方程为 ： x2y21；41（ 2）当 A 2，0

7、为短轴端点时 ， b2 ， a4 ，椭圆的标准方程为 ： x2y21；416说明 ：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的 ，因而要考虑两种情况典型例题二例 2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率 解：a 21222c2a，c3c313e33说明 ：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a ，求 c ，再求比 二是列含 a 和 c 的齐次方程 ，再化含 e 的方程 ，解方程即可 典型例题三例 3已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A 、 B 两点， M 为AB 中点 ， OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的

8、短轴长为2，求椭圆的方程2解：由题意 ，设椭圆方程为xy 21，a2.下载可编辑 .xy102由x2，得 1 ax22a2x 0 ，y21a2xMx1x21a2， yM1xM1，2a 21 a2kOMyM11 ，a24 ，xMa 24 x2y 21为所求 4说明 ：（ 1 ）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（ 2 ）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长 、弦中点 、弦斜率问题 典型例题四例4椭圆x2y 21上不同三点A x1， y19与焦点 F4，0259， B 4， ， C x2， y2的距离5成等差数列 （ 1）求证 x1x28；（ 2）若线段 AC 的垂直平分线与

9、x 轴的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k 证明 ：（ 1 ）由椭圆方程知 a5 ， b3 ， c4 由圆锥曲线的统一定义知：AFca2，acx1AFaex154 x1 5同理CF54 x2 59AFCF2BF ，且 BF，554 x154 x218 ，555即x1x28 .下载可编辑 .（ 2）因为线段AC 的中点为 4，y1 y2 ，所以它的垂直平分线方程为2yy1y2 x1x2 x 4 2y1y2又 点 T 在 x 轴上 ，设其坐标为x0，0 ，代入上式 ，得x0 4y12y222 x1x2又 点 A x1， y1 ， B x2， y2 都在椭圆上 ， y12 9 25 x12 25

10、y22925x22259 y12y22x1x2 x1x2 25将此式代入 ， 并利用 x1 x28 的结论得x043625905kBT54 x04典型例题五22例 5 已知椭圆xy1 ， F1 、 F2 为两焦点 ，问能否在椭圆上找一点M ，使 M 到左准4 3线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项 ？若存在 ，则求出点 M 的坐标 ；若不存在 ，请说明理由 解：假设 M 存在 ，设 M x1， y1 ，由已知条件得a 2 ， b3 ，c1， e12左准线 l 的方程是 x4 ，.下载可编辑 . MN 4 x1 又由焦半径公式知：MF1aex121 x1 ，2MF2aex12

11、1 x1 2 MN2MF1MF2 ， x14 221 x121 x1 22整理得 5x1232 x1480 解之得 x14 或 x1125另一方面2 x12 则 与 矛盾 ，所以满足条件的点M 不存在 说明 ：（ 1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（ 2）本例是存在性问题 ，解决存在性问题 ，一般用分析法 ，即假设存在 ，根据已知条件进行推理和运算 进而根据推理得到的结果 ，再作判断 （ 3）本例也可设 M 2cos ， 3 sin 存在，推出矛盾结论 （读者自己完成 ）典型例题六x2y21，求过点 P11例 6 已知椭圆2， 且被 P 平分的弦所在的直线方程 22分析一 ：已知一点求直线

12、，关键是求斜率 ，故设斜率为 k ，利用条件求 k 解法一 ：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为11，yk x代入椭圆方程22并整理得.下载可编辑 .1 2k 2 x22k 22k x1 k 2k30 22由韦达定理得 x1x22k 22k12k 2P 是弦中点 ，x1x21 故得 k12所以所求直线方程为2x 4y 3 0分析二 ：设弦两端坐标为x1， y1、 x2， y2 ，列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组 ，从而求斜率 ： y1y2 x1x2解法二：设过 P11A x1， y1、 B x2， y22， 的直线与椭圆交于，则由题意得2x12y121，2x22y221，

13、21，x1x2y1y21. 得 x12x22y12y220 2将 、 代入 得 y1y21 ，即直线的斜率为1x1x222所求直线方程为 2x 4y30 说明 ：（ 1）有关弦中点的问题 ，主要有三种类型 ：过定点且被定点平分的弦 ；平行弦的中点轨迹 ；过定点的弦中点轨迹 （ 2）解法二是 “点差法 ”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（ 3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及 “点差法 ”有关二次曲线问题也适用 .下载可编辑 .典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（ 1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点2， 6 ；（ 2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的

14、联机互相垂直，且焦距为 6分 析 ： 当 方 程 有 两 种 形 式 时 ， 应 分 别 求 解 ， 如 （ 1 ） 题 中 由 x2y21 求 出a2b2a 2148 ， b237 ，在得方程x 2y 21 后，不能依此写出另一方程y2x 211483714837解：（ 1）设椭圆的标准方程为x2y21或 y 2x21 a2b2a2b2由已知 a2b 又过点2， 6 ，因此有22626 2221a2b21 或a2b2由 、， 得 a2148 ， b237或 a 252， b213故所求的方程为x2y21 或 y 2x21 148375213（ 2）设方程为 x2y 21 由已知 ， c3，

15、bc3 ，所以 a218 故所求方程a2b2为 x2y 21189说明 ：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准 ，定参数 ”关键在于焦点的位置是否确定 ，若不能确定 ，应设方程 x2y21 或 y2x21a2b2a 2b2典型例题八例 8 椭 圆 x2y21的右焦点为 F ，过点 A1，3 ，点 M 在椭圆上，当1612.下载可编辑 .AM2 MF 为最小值时 ，求点 M 的坐标 分析 ：本题的关键是求出离心率e12 MF 转化为 M 到右准线的距离 ，从而得，把2最小值 一般地，求 AM1 MF 均可用此法 e1解： 由已知 ： a 4 ， c2，右准线 所以 e2l ：x8 过 A 作

16、 AQ l ， 垂 足 为 Q ， 交 椭 圆 于 M ， 故MQ2MF 显然 AM2 MF 的最小值为AQ ，即M 为 所 求 点 ， 因 此 yM3，且 M 在椭圆上故xM2 3所以M 2 3，3说明 ：本题关键在于未知式AM2 MF 中的 “2”的处理 事实上 ，如图 ， e1，即2MF 是 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9求椭圆 x2y21 上的点到直线x y 6 0 的距离的最小值 3分析 ：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值 解：椭圆的参数方程

17、为x3 cos ，sin，则点y设椭圆上的点的坐标为3 cossin .到直线的距离为3 cos sin62 sin63d22当 sin1时， d最小值2 2 3.下载可编辑 .说明 ：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x轴上 ，离心率 e33到，已知点 P 0，22这个椭圆上的点的最远距离是7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7 的点的坐标 分析 ：本题考查椭圆的性质、距离公式 、最大值以及分析问题的能力，在求 d 的最大值时 ，要注意讨论 b 的取值范围 此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善

18、于应用不等式、平面几何 、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换 、形数结合的思想 ，提高逻辑推理能力 解法一 ：设所求椭圆的直角坐标方程是x2y21，其中 ab 0 待定 a2b2由 e2c2a2b21b2可得a2a2a2b1 e213 1 ，即 a 2b a42设椭圆上的点x， y 到点 P 的距离是 d ，则32y 29d 2x2ya2 1y23 y2b249124b23y23y3 y4b2342其中byb 如果 b1，则当 yb 时， d 2 （从而 d ）有最大值 2231172b3由题设得，由此得 b7，与 b22矛盾 22.下载可编辑 .因此必有 b1成立 ，于是当 y1

19、时， d 2 （从而 d ）有最大值 2222由题设得7b3，可得b1，a24x2y2所求椭圆方程是11 4由 y1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3， 1，点3， 1到点2223P 0，的距离是72xa cosb 0 ， 待解法二 ：根据题设条件 ，可取椭圆的参数方程是，其中 ayb sin定， 02，为参数 c2a2b2b2由 e2a21可得a2ab1 e2131 ，即 a 2b a42设椭圆上的点x， y 到点 P3的距离为 d ，则0，222d 2x2y3a 2 cos2b sin3224b23b2 s in23b sin94122sin4233bb2b如果 11，即 b1，则当 si

20、n1 时， d 2 （从而 d ）有最大值 2b22311由题设得72b3， 由 此 得 b27， 与 b矛盾，因此必有22211成立 2b1于是当 sin时 d 2 （从而 d ）有最大值 2b.下载可编辑 .由题设知72b23，b 1，a24所求椭圆的参数方程是x2cosysin由 sin1， cos3，可得椭圆上的是3， 1，3， 12222典型例题十一例 11设 x ， yR ，2x23 y26x ，求 x2y22x 的最大值和最小值 分析 ：本题的关键是利用形数结合，观察方程 2x23 y26x 与椭圆方程的结构一致 设 x2y22xm ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆

21、及圆的位置关系求得最值 解：由 2x 23 y26x ，得2x3y2219342可见它表示一个椭圆，其中心在3， 点，焦点在x轴上，且过（ 0，0）点和（3，020）点设 x 2y22x m ，则x1 2y2m 1它表示一个圆 ，其圆心为 （ 1， 0）半径为 m 1 m1 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示 观察图形可知 ，当圆过 （0，0）点时，半径最小 ，即m11 ，此时 m0 ；当圆过 （ 3 ， 0 ）点时 ，半径最大 ，即 m 14 ，15mx2y 22x 的最小值为0，最大值为 15.下载可编辑 .典型例题十二12x2y 21 ab0 ， A 、 B 是其长轴的两个端点 例已知

22、椭圆 C： 2b2a（ 1 ） 过 一 个 焦 点 F 作 垂 直 于 长 轴 的 弦 PP ， 求 证 ： 不 论 a 、 b 如 何 变 化 ，APB120 （ 2）如果椭圆上存在一个点Q ，使AQB120 ，求 C 的离心率 e 的取值范围 分析 ：本题从已知条件出发，两问都应从APB 和 AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手 本题的第 （ 2 ）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足 的 不 等 式 ， 只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质 ： xa ， y b ， 根 据 AQB 120得 到2ay3 ，将 x2a2 a22代入 ，消去 x ，用 a 、 b

23、 、 c 表示 y ，以便利用x2y2a2b2yy b 列出不等式 这里要求思路清楚 ，计算准确 ，一气呵成 解：（ 1）设 F c，0 ， Aa，0 ， B a，0 x cb2b2 x2a2 y2a2b2P c，a于是 k APb2， kBPb2a c aa c aAPB是 AP到 BP的角.下载可编辑 .b2b22a2tanAPBa caa c ab4c 21a2c2a2 2c2atanAPB2故 tanAPB3APB120 （ 2）设 Q x， y ，则 kQAy， kQByx ax a由于对称性 ，不妨设 y0，于是AQB是 QA到QB 的角yy2aytan AQBxaxay 2x2y

24、2a21x2a 2 AQB 120 ，x22ay3y 2a2整理得3 x2y2a22ay0x2a2a2 y 2b2 3 1 a2y222ay0by0 ，y2ab 23c2 y b， 2ab2 b 3c22ab3c2 ， 4a 2a2c23c244a2c24a4042404c， 3e4e23e22 （舍），6e1e或32.下载可编辑 .典型例题十三例 13已知椭圆x2y2的离心率 e1k1，求 k 的值 8 92分析 ：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在x 轴上时 ， a2k8， b29 ，得 c 2k1 由 e1， 得2k 4当椭圆的焦点在y 轴上时 ， a29 ， b2k8 ，得 c21

25、k 由 e1 ，得 1 k1 ，即 k5 29454满足条件的 k4 或 k4说明 ：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 k8 与 9 的大小关系不定 ，所以椭圆的焦点可能在x 轴上 ，也可能在y 轴上 故必须进行讨论 典型例题十四例 14已知椭圆x2y21上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b1) ，求 P 到左准4b2b2线的距离 分析 ：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一 ：由 x 2y 21，得 a2b ， c3b ， e34b 2b22由椭圆定义 ， PF1PF22a4b ，得PF14b PF24bb3b 由椭圆第二定义 ， PF1e， d1 为 P 到左准线的距离 ，d1d1PF123b，e即 P 到左准线的距离为23b.下载可编辑 .解法二 ：PF2c3d2e， d2 为 P 到右准线的距离 ， e，a2PF223 bd2e3又椭圆两准线的距离为2a283 b c3P 到左准线的距离为83 b23 b 23b 33说明 ：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性 否则就会产生误解 椭圆有两个定义 ， 是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择 ，运用自如 一般地，如遇到动点