2020年高考数学《新高考创新题型》之1：集合与常用逻辑用语(含精析)

1、2020 年高考数学（新高考创新题型）之1.集合与常用逻辑用语（含精析）一、选择题。ì1用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A*B= íC ( A) - C ( B), C ( A) ³ C (B)îC (B) - C ( A), C ( A) < C

2、0;(B).若A =1,2,B= x | ( x 2 + ax) × ( x 2 + ax + 2) = 0 ，且 A*B=1，设实数 a 的所有可能取值集合是 S，则 C(S)=()A.4B.3C.2D.12 下列命题： ABC 的三边分别为 a, b, c 则该三角形是等边三

3、角形的充要条件为aaa 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc ；数列 的前 n 项和为 S ，则 S = An 2 + Bn 是数列  nnnn为等差数列的必要不充分条件；在ABC 中，AB 是 sin Asin B 的充分必要条件；已&#

4、160;知 a , b , c , a , b , c 都 是 不 等 于 零 的 实 数 ， 关 于 x 的 不 等 式 a x 2 + b x + c > 0 和111222111a x&#

5、160;2 + b x + c > 0 的解集分别为 P，Q，则222a1 =a2b1 =b2c1 是 P = Q 的充分必要条件，其中c2正确的命题是()ABCD3若存在实常数 k 和 b ，使得函数 F(x) 和 G(x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：F(x) ³ kx +&#

6、160;b 和 G(x) £ kx + b 恒成立，则称此直线 y = kx + b 为 F(x) 和 G(x) 的“隔离直线”已知函数 f (x) = x2(x ÎR),g(x) = 1 (x < 0),h(x) = 2eln x 有下列命题：x F&

7、#160;(x) = f (x) - g(x) 在 x Î (-13 2,0) 内单调递增; f (x) 和 g(x) 之间存在“隔离直线”, 且 b 的最小值为-4; f (x) 和 g(x) 之间存在“隔离直线”, 且 k 的取值范围是 (-4,0  f (x) 和

8、 h(x) 之间存在唯一的“隔离直线” y = 2 ex - e 其中真命题的个数有()A1 个B2 个C3 个D4 个4定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集，记为 P (A) ，用 n (A) 表示有限集 A 的元素个数，给出下列命题：对于任意集合 A ，都有 A Î

9、0;P (A)；存在集合 A ，使得 n éë P ( A)ùû = 3 ；用 Æ 表示空集，若 A若 n (A)-B = Æ ，则 P (A) P (B ) = Æ ；若 A Í B ，则 P

10、60;(A) Í P (B )；n (B ) = 1，则 n éë P ( A)ùû = 2 ´ n éë P (B )ùû 其中正确的命题个数为()A. 4B. 3C. 2D.15已知集合 M= ( x, y

11、 )| y = f ( x ) ，若对于任意 ( x , y ) Î M ，存在 ( x , y ) Î M ，使得1122x x + y y = 0 成立，则称集合 M 是 “垂直对点集”给出下列四个集合：1 212M=

12、0;( x, y )| y = 1x；        M= ( x, y )| y = sin x + 1 ；b - a   ，则称函数  y = f ( x) 是 a，b 上的“平均值函数”， x&

13、#160; 是它的一个均值若  y = f ( x) 是 a，b 上的“平均值函数”，则它的均值点 x 2M= ( x, y )| y = log x ；M= ( x, y )| y = e x - 2 2其中是“垂直对点集”的序号是()A.B.C.D.二、填空题。6 

14、定义：如果函数y = f ( x) 在定义域内给定区间a，b 上存在 x0 (a < x0 < b) ，满足f ( x ) = f (b) - f (a)00点例如 y| x |是 -2 ，2 上的“平均值函数”，0 就是它的均值点给出以下命题：函数 f ( x)&#

15、160;= cos x - 1 是 -2p ，2p  上的“平均值函数”a + b0若函数f ( x) = x2 - mx - 1是 -1，1 上的“平均值函数” ，则实数 m 的取 值范围是m Î (0 ，2) 若 f ( x) = ln 

16、;x 是区间a，b  （ba1）上的“平均值函数”  x  是它的一个均值点，则ab  ln x  < 100其中的真命题有（写出所有真命题的序号）a  +7若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足 11b =2c ，则称 a、 b、c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称 a、b、c

17、60;是等差的.若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的，又是等差的，则称集合 P 为“好x  x  2014, x Î Z集”.若集合 M = ，集合 P = a, b, cÍ M .则（1）“好集” P 中的元素最大值为；（2）“好集” P 的个数为.8给定有限单调递增数列x (n 

18、ΠN * ,数列 x  至少有两项)且nnx ¹ 0(1£ x £ n) ,定义集合 A = ( x , x ) |1 £ i, j £ n, 且i, j Î N * .若对任意点 A Î

19、A ,iiij1存在点 A Î A 使得 OA  OA (O 为坐标原点),则称数列x  具有性质 P .212n(1)给出下列四个命题,其中正确的是.(填上所有正确命题的序号)数列 x : -2,2 具有性质 P n数列  y  :-2,-1,1,3 具有性质 P n若数列x  具有性质 

20、;P ,则 x  中一定存在两项 x , x ,使得 x + x = 0 nnijij若数列x  具有性质 P , x = -1, x > 0 且 x > 1(n ³ 3) ,则 x = 1.n12n2(2)若数列x  

21、;只有 2014 项且具有性质 P, x = -1, x = 2 ,则 x  的所有项和 S=        .n13n20149若自然数 n 使得作加法 n(n1)(n2)运算均不产生进位现象，则称 n 为“给力数”，例如：32 是“给力数”，因 323334 不产生进位现象；23 不是

22、“给力数”，因 2324 25 产生进位现象设小于 1 000 的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合 A，则集合A 中的数字和为_10设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 "a, b Î S , 有 ab Î S ，则称 S 关于数的乘法是封闭的. 若 T ,V 是 Z&

23、#160;的两个不相交的非空子集，T V = Z 且 "a,b,cÎT, 有 abcÎT;"x, y, z ÎV ,有 xyz Î V ，有四个命题：T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的；T ,V 中至多 有一个) 12  已 知 等 比 数 列 

24、a  的 首 项 为 4  B  =í   ,      î 2   4   8, n2 -  ü1 n Î N *, n ³ 2  ， B 

25、;n 的所有非空子集中  的最小元素的和为(ý n2  þ关于乘法是封闭的;  T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的；T ,V 中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是.11用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数，设 A、B、C 为集合，称 ( A, B, C ) 为有序三元组如果集合 

26、A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A =1 ，且 A I B I C = Æ ，则称有序三元组( A, B, C ) 为最小相交由集合1,2,3,4 的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为1，公比为 -，其前 n 项和记为 S

27、 ，又设n33ì 1 3 5nT ，则 S + 2T ³ 2014 的最小正整数 n 为(      )1B=1【 解 析 】 因 为 C ( A) = 2 ,A *B， 所 以 C ( B ) =&

28、#160;1或 C ( B) = 3 . 由 x2 + ax = 0 得 ：x = 0, x = -a .当 a = 0 时，B = 0,C ( B) = 1 ，满足题设.对 x 2 + ax + 2 = 0&

29、#160;，当 D = 0 时，12a = ±2 2 ，此时 C ( B) = 3 符合题意.当 D > 0 时 ， a < -2 2 或 a > 2 2 ， 此 时 必 有 C ( B )= 

30、;4， 不 符 合 题 意 . 所 以,2 S =  0 - 22 , 2 .选 B.2D【 解 析 】 对 于  ： 显 然 必 要 性 成 立 ， 反 之 若 a 2 + b 2

31、0;+ c 2 = ab + ac + bc ， 则2 a 2 + b 2 + c 2 = 2(ab + ac + bc ) ， 整 理 得 (a - b )2 + (b - c )2 + (a

32、60;- c )2 = 0 ， 当 且 仅 当a = b = c 时 成 立 故 充 分 性 成 立 ， 故  是 真 命 题 ； 对 于  ： 由 S = An 2 + Bn 得

33、na = A + B ；当 n ³ 2 时 ， a = s - s1nnn-1= 2 An - A + B ，显 然 n = 1 时 适 合 该 式 ，因 此a数 列 是 等 差 数 列 ，

34、 故 满 足 充 分 性 ， 故  是 假 命 题 ； 对 于  ： 在 三 角 形 中nA = B Û a = b ，又由正弦定理得  abc=s in As inBs inC， 则 a =

35、0;b Û sin A = sin B ，所 以 A = B Û s inA = s inB ，故  是 真 命 题 ；对 于  ：实 际 上 不 等 式 x 2 + x + 5 >&

36、#160;0与 x 2 + x + 2 > 0 的 解 集 都 是 R ，但 是故 选 D 3C1 1  5= ¹  ，故 不 满 足 必 要 性 ，故  是 假 命 题 1 1 &#

37、160;2，则 F ¢ (x ) > 0, 解得 x Î (-， F ¢ (x ) = 2 x +【解析】(1) F(x) = f (x) - g(x) = x 2 -1         

38、60;     1                      1x               x 2 3 2,0) ，所以 F(

39、x) = f (x) - g(x) 在 x Î (-13 2,0) 内单调递增;故正确x(2) f (x) 和 g(x) 之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为y = kx + b ，当“隔离直线”与f ( x) = x 2, g ( x) = 1 ( x&#

40、160;< 0), 同时相切时，截距最小，令切点坐标为 (x , y ), (x , y ) ，则1122ï1x +                ，故 x  = -2, x  = - ，所ï 

41、- x 2 =   2ïîx切线方程为 y = 2x x - x 2或y = -11x 2 x 1 2 22 22 x = -1ì 1x  21    2     ï   

42、;                  122以 b = - x 2 = -4 ，此时截距最小，故正确；此时斜率为2 x = -4 ， k 的取值范围是11-4,0 故错误令 F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x0），再令 F（x）

43、60;2 x -2ex=0，x0，得 x= e从而函数 h（x）和 m（x）的图象在 x= e 处有公共点因此存在 h（x）和 m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为 y-e=k（x- e ），即 y=kx-k e +e由 h（x）kx-k e +e 可得 x2-kx+k e -e0 当 xR&

44、#160;恒成立，则2-4k e +4e= (k - 2 e )2 0，只有 k=2 e 时，等号成立，此时直线方程为：y=2 e x-e同理证明，由 （x ）kx-k e +e，可得只有 k=2 e 时，等号成立，此时直线方程为：y=2 e x-e综上可得，函数 f（x）和 g（x）存在唯一的隔离直线 y=2 e x-e，故正

45、确5B【解析】依题意：要使得 x x + y y = 0 成立，只需过原点任作一直线l 与该函数的图象相1 2121xl交，再过原点作与 l 垂直的直线 l 也与该函数的图象相交即可。对取 l : y = x ， : y = - x1212与函数 y = 1 图象没有交点，中 M 不是“垂

46、直对点集”； 中取 l : y = 0 ， l : x = 0 与12函数 y = log x 图象没有交点，中 M 不是“垂直对点集”；作出、中两个函数图象知：26【解析】正确.因为 f（0）f（2 ）f（2 ）0，可知正确不正确反例：f（x）0 在区间0，6上2        

47、;       - m - m2正确由定义： x0- mx - 1 =0得 x 2 - 1 = ( x - 1)m Þ m = x + 1 ，0 0 0又 x  Î (-1，1) 所以实数 

48、m 的取值范围是 m（0，2）0正确理由如下：由题知 ln x =0ln b - ln ab - a要证明 ln x  <1            ln b - ln a   1      b&

49、#160; b - a   b   a0<Û ln<=-，即证明：                                  &#

50、160;   ，aab b - a ab          ab a   b= t > 1 ，原式等价于 ln t 2 < t -   Û 2ln t - t +令b11 <

51、; 0 att121t22t 1(t 1)2令 h(t) 2lnt t(t 1)，则 h (t)1ttt2t2t20，所以 h(t) 2lnt t1th(1) 0 得证7（1）2012；（2）1006【解析】因为若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的，又是等差的，则1 1  2a b  c且 a + c 

52、= 2b，则 a2b,c4b ， 故 满 足 条 件 的 “ 好 集 ” 为 形 如2b,b,4b (b 0) 的 形 式 ， 则2014 4b2014 ，解得 503 b503 ，且 b0 ，符合条件的的值可取 1006 个，故“好集” P 的个数为

53、0;1006 个，且 P 中元素的最大值为 201296【解析】给力数的个位取值：0,1,2 给力数的 其它数位取值：0,1,2,3，所以 A0,1,2,3集合 A 中的数字和为 6.10V则【解析】因为关于乘法封闭的规定是. S 是整数集 Z 的非空子集，如果a,bS ,有 abS ，则称 S 关于数的乘法是封闭的.如果 T 代表负数集合， 代表非负数集合， 

54、60;T VZ 成立,且 "a,b,cÎT,有 abcÎT;"x, y, z ÎV ,有 xyz Î V .但是 ab Ï T .所以 T 不是乘法封闭 .所以不正确 . 如果 T 代表奇数集合， V 代表偶数集合，则 T V = Z

55、60;成立 , 且 "a,b,cÎT,有abcÎT;"x, y, z ÎV ,有 xyz Î V.显然 T ,V都是乘法封闭的，所以都不正确 . 若 T ,V1- (-   )n 【解析】由题意有  S = 331      &#

56、160;  3都不满足乘法封闭， "a,b,cÎT, 有 abc Î T .假设1ÎT ，若存在 ab Ï T ，则1× a × b Ï T 与题意矛盾.所以正确.故填1196【解析】 A, B, C 三个集合不可能有一元集，否则不能满足 ABC = Æ ，又因为 S 中只有 4 个 元 素 ， 则 A, B, C 中 不 可 能 有 两 个 集 合 都 有 3