二次型及其应用

1、滨江学院毕业论文题目 二次型及其应用 院 系 滨江学院理学系专 业 信息与计算科学学生姓名 刘 峰 学 号 20102314014 指导教师 吴 亚 娟 职 称 副 教 授 二一四年五月十日目 录引言·································&#

2、183;····························1 1、二次型的相关定义和定理···················

3、;···················11.1二次型的定义·····························&

4、#183;···················12、二次型在初等数学中的应用···························

5、3;········2 2.1不等式证明········································

6、···········2 2.2多项式的因式分解·····································

7、;········4 2.3判断二次曲线的形状·······································

8、83;···63、二次型在几何方面的应用······································7 3.1求平面线图形的面积····

9、;········································84、多元函数极值方面的应用·······

10、83;······························9 4.1条件极值··················

11、···································9 4.2无条件极值·············&#

12、183;····································105、求多元函数积分方面的应用··········

13、3;························115.1二次型的正交变换·······················

14、83;·····················11 5.1重积分的计算··························

15、83;······················125.2求曲面积分··························

16、;·························136、结束语·······················

17、3;································147、参考文献················&#

18、183;·····································14二次型及其应用刘峰 南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研

19、究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。关键字：极值；几何 ；重积分；引 言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还

20、有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。1、二次型的相关定义和定理11、二次型的概念和定义在高等代数中涉及的一些相关理论设是一个数域,一个系数在数域中的 的二次齐次多项式：，称为数域上的一个元二次型,在不影响混淆时简称二次型。在我们讨论二次型时，一定会运用到矩阵，因此要先将二次型用矩阵的线性替换来表示：,因为，出现这种情况都是对称矩阵，所以二次型与对称矩阵是一一对应的。则元二次型可以用矩阵的乘积表示出来:所以，此中，那么对称矩阵我们就简称为二次型的矩阵。2、二次型在

21、初等数学中的应用2.1不等式证明在数域上含有元 的二次齐次多项式也称为数域上的一个元二次型，简称二次型。记：，它是对称矩阵，则二次型可表示为，称是二次型矩阵，二次型经过可逆线性替换只含有平方项系数，即，标准型所对应的矩阵是一个对角矩阵，如果标准型中的系数全为正数，则二次型为正定二次型，这时任意不全为零的实数，都有。相关不等式证明如下：例1 三角形三个内角，对任意的实数都有 。解 其中 ，于是 的特征值由以上定义可知是半正定的，对于任意实数 则 。 即得证。例2 求证：解 设二次型 则 矩阵为 因此各顺序主子式为所以，即得证。2.2多项式的因式分解定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次

22、多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为和符号差为,或秩等于。证明 必要性 设（1） 若两个一次多项式的系数成比例,即，不妨设,令则,即二次型的秩为（2）若两个一次多项式的系数不成比例,不妨设,令 则.再令则,故二次型的秩为,符号差为。充分性 （1）若的秩为,则经非退化线性替换使,其中。故。（2）若的秩为,符号差为,使,其中,均为的一次齐次多项式,即,故可表示成两个一次齐次多项式的乘积。例3 二次型在实数范围内能否分解。解 令 求 的秩和符号差对 作非退化线性替换，的秩为 ，因此 不能分解，从而 也不能分解。例4 因式分解 解 令对作非退化线性替换： 所以，可见的秩为，符号差为。所以分解因式为 。

23、2.3判断二次曲线的形状 平面上，中心坐标原点的有心二次曲线方程的一般形式可写成：，那么他就是一个实二元二次型：它作为二次曲线的方程，就是在三维欧氏空间的直角坐标系中的函数的二次曲面与平面的交线在坐标平面上的正投影。下面我们来讨论如何利用二次型来判别二次曲线的形状。 例5 判断二次曲线 的形状。解 ，这是抛物形曲线.，所以是一条抛物线，化简后方程为 。或即 或 因此这条抛物线的焦准距例6 判断二次曲线 的形状。解 ,这是双曲线.。此时 因为，解下面特征方程： 得特征根。又，于是化简后的方程为：，即 所以这条双曲线的实半轴，虚半轴。3、二次型在几何方面的应用在代数学中我们认识了几何的产生和发展，

24、解析几何中将曲面公式化为二次型的标准形的问题进行研究，本节主要运用二次型的标准型来计算曲线图形的面积。3.1求平面图形的面积例7 求 曲线围成图形的面积。解 设则经过非退化线性替换把化成二次型的标准型即 它的两个半轴分别为 从而这个曲线的面积为 。例8 曲面把平面截取，求所截取部分的面积。解 ，令， 将化为二次型的标准型为，经过正交变化可以将曲线方程化为为圆柱面，而平面方程可以化为，所求曲面被截取部分的面积。4、多元函数在极值方面的应用4.1条件极值定理4.1 实元多项式，它的矩阵为，秩为，对其作非退化的线性替换，则，当为半正定时：1） 若，有最小值。2） 若，则在平方项中出现一次项系数，有最

25、小值。3） 若，则在平方项中出现的一次项系数至少有一个，则没有最值。当为半负定时：1） 若，有最大值。2） 若，则在平方项中出现一次项系数，有最大值。3） 若，则在平方项中出现的一次项系数至少有一个，则没有最值。当不定时: 则不存在最值。例9 是否有存在极值，并求出解 二次型的对应矩阵，有可逆矩阵，, 它的主对角线上有一个零,所以,不是正定矩阵，但是矩阵中对角线上其他数据都是正的, 那么矩阵是半正定矩阵,用作线性替换,那么原多项式的二次齐次项部分就变为,一次项部分变为，所含字母,均在平方中出现,存在最小值.对变换后的多项式配方,得 .故当,时,上式有极小值，将,代入中,当, ,(为任意常数)时

26、,那么上面的公式有极小值。4.2无条件极值例10 看下面函数是否有极值，并求出其值解 则 5、求多元函数积分方面的应用对于重积分来说也是代数学二次型的一个基本内容，它的用途在很多领域多涉及到，但是重积分的计算问题仍有很多技术难题需要克服，运用二次型的正交变化能更好的解决重积分计算问题，文章本节将利用二次型的相关理论去解决某些重积分的一般计算问题和求一般曲面积分。5.1、二次型的正交变换 设其中，表示矩阵的转置，矩阵的行列式记为。若 ，则经过平移后= ，就是二次型的正交变换。5.2重积分的计算例11 计算 而平移变化是正交变化例12 求 5.2求曲面积分例13 求，其中 ，解 结束语伴随着人类文

27、明社会的改革创新，人类进步的步伐越来越快，科学技术的发展已经在我们日常生活中的方方面面都涉及到,数学中的二次型也广泛应用于其他社会科学比如自然科学，环境工程，经济学理论和经营管理等的许多领域，在这个开放的社会，市场经济已然成为我们现在的主体经济，人们社会生活的步骤也不断加快，人们在二次型实际应用中也取得了很大的进步，使人们在社会生活中能获得更多的利益，更加方便快捷。 参考文献（1） 王萼方等编高等代数（第三版），高等教育出版社，2003。（2） 蒋尔雄等编线性代数 ，人民教育出版社，1978。（3） 孙学波基于正定二次型的一个不等式及其证明 ，鞍山科技大学学报，2004。（4） 吕林根等编解析几何（第三版），高等教育出版社，1987。（5