概率论全概率公式PPT

1、1概率论与数理统计概率论与数理统计作业交两面内容全学的页码作业交两面内容全学的页码2 1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn” 专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者的提问： 假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？ 一个教授都容易回答错误的概率问题一个教授都容易回答错误的概率问题31.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性一、条件概率一、条件概率1问题问题 E产品产品(N

2、个产品中含个产品中含M个次品个次品)随机抽样。随机抽样。Ai = 第第 i 次抽到次品次抽到次品, i = 1, 2，MN放回抽样时，放回抽样时，?)/(12AAP不放回抽样时，不放回抽样时，21(/)P AA MNMNMNP(A2)P(Ai)P(A2)11MN1MN 42定义定义)()()/(BPABPBAP为在为在B发生的条件下，发生的条件下，A发生的发生的条件概率条件概率。 注注2条件概率满足三条公理及概率的其它性质。条件概率满足三条公理及概率的其它性质。注注1P(A/B) 是将样本空间是将样本空间 压缩成压缩成B、事件事件A压缩成压缩成AB后计算概率，后计算概率， P(A/B)本质上是

3、一个无条件概率；本质上是一个无条件概率； ABAB设设A、B为两随机事件，且为两随机事件，且P(B) 0，则称，则称5 例例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为年内发生特大洪水的概率为80%，在，在40年内发生特大洪年内发生特大洪水的概率为水的概率为85%，现已知该地区已经，现已知该地区已经30年未发生特大洪年未发生特大洪水，问未来水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？年内将发生特大洪水的概率是多少？ 解解 记记A=30年内无特大洪水年内无特大洪水， B=未来未来10年内有特年内有特大洪水大洪水，则，则()()(/

4、)( )( )P BAP AABP B AP AP AB( )0.20.150.25( )0.2P AP ABP A二、乘法公式二、乘法公式)()()/(BPABPBAP)/()()(BAPBPABP0)(BP)/()()(ABPAPABP0)(AP)/()/()/()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPA =40年内无特大洪水年内无特大洪水6例例2 设设A盒内有盒内有M 个黑球，个黑球，B盒内有同种质地、大小的盒内有同种质地、大小的M个个白球。现让某人从白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后盒中，然后再从再从A 盒中随机摸

5、取一球放入盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。盒中，称此为一次交换。若经若经M次交换后，次交换后，A中恰有中恰有M个白球则此人可获奖。问此人个白球则此人可获奖。问此人获奖的概率是多少？获奖的概率是多少？解解 设设个白球中恰有次交换后，经过MAMA kAkAB 在第 次交换中， 中黑球与 中白球交换., 2 , 1Mk由概率的乘法公式有则.21MAAAA MAAAPAP21121312121MMP AP A AP A A AP AA AAMMMMM1!2112211() () ()()1111MMMMMMMMMMMMM M7 例例3 3 袋中有袋中有5 5个球：个球：3 3个红球，个红球

6、，2 2个白球。现每次个白球。现每次任取任取1 1个，取后放回，并同时放入个，取后放回，并同时放入3 3个同色的球。记个同色的球。记A Ai i为第为第i次取到红球，求概率次取到红球，求概率P(A A2 2)。解解)(2AP)()(2121AAPAAP)(2121AAAAP)/()()/()(121121AAPAPAAPAP533 62 35 85 8)/()()/()()(1211212AAPAPAAPAPAP问题：问题：A A3 3由哪几个原因引起？由哪几个原因引起？312312123121231212312()()(/)()(/)()(/)()(/)P AP AAP AAAP AAP A

7、AAP AAP AAAP AAP AAA121312()(/)(/)P AP AAP AAA8三、全概率公式三、全概率公式 B(1),ijAAij1(2)niiA 则对任何事件则对任何事件B有有niiiABPAPBP1)/()()(证证11( )()() )()nniiiiP BPBPA BPAB1()niiP ABniiiABPAP1)/()(A1 A2 AnBA1BA2BAi. BAn 设设A A1 1 , , A A2 2 , , ,A An n 是对是对的一个划分：的一个划分：注意：注意：解题时先画因果关系图解题时先画因果关系图(多因一果多因一果)。A1 Ai AnP(B/Ai)BP(

8、Ai)例例1.17 (P10：矿工逃生问题：矿工逃生问题)。BA19 例例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求两张牌点数相同的概率。求两张牌点数相同的概率。,1,2,13.iAi iB解用 表示第一次抽到的点数为表示两张点数相同,13.iAP()=4/52,i=1,2(/)3/51iP B A 131433( )() (/)13525151iiiP BP A P B A10 例例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。求第二张牌点数大于第一张的概率。

9、,1,2,13.iAi iB解用 表示第一次抽到的点数为表示第二张点数大于第一张点数。,13.iAP()=4/52,i=1,2(/)(13- ) 4/51iP B Ai1312114(13) 4( )() (/)525116(1 12) 122451 52251iiiiiP BP A P B A11例 2005从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,X中任取一个,记为Y,则)()2(YP.解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件. 41)()2(iiXPYP481314142ii)|2(iXYP12例 某种产品的商标为“MAXAM”,其中

10、有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回, 放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关.则)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP , 1)|(BAP51)(2512CCBP代入即得53)(AP 21)|(BAP54)(BP用B表示脱落的两个字母相同.13赌徒输光问题赌徒输光问题:设甲乙二人赌博设甲乙二人赌博,每局输赢每局输赢1元钱元钱,每局甲赢的每局甲赢的概率为概率为p,开始时甲乙二人各有开始时甲乙二人各有m,n元钱元钱,约定赌到一个人输约定赌到一个人输光为止光为止,求甲输光的

11、概率求甲输光的概率.mpm有关，设为始资本解：显然此概率与甲初。提，用全概率公式求解我们以第一局结果为前0, 1,)1 (011nmmmmppppppp且于是则第一局甲赢甲输光设.B, A)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP11)|(,)|(),(mmmpBAPpBAPApp14可以解得可以解得1 ()1,1 (),mm nmq ppqq ppnpqmnqpqppqpmm, 1,)(有则如果乙有无穷多赌资。n要输光！又好赌，最后几乎必然即甲穷，技不如人),(qp 15四、四、Bayes公式公式 P(Ai) P(Ai/B)A1 A2 AnP(B/Ai)B 设设 A1, A2, ,An

12、是对是对 的一个划分，的一个划分，则则1() (/)(/)() (/)iiinjjjP A P B AP A BP A P B Ani., 2, 1P(Ai) 先验概率先验概率 P(Ai/B) 后验概率后验概率B B证明证明()(/)( )iiP ABP A BP B1() (/)() (/)iinjjjP A P B AP A P B A16 例例4 一台机床正常时，产品的合格率为一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常，非正常时，产品的合格率为时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正。每天上班开动机床时，机床正常的概率为常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机。

13、检验人员为检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？时机床处于正常状态的概率是多少？解解 记记A=机器处于正常状态机器处于正常状态B=生产出的一件产品为不合格品生产出的一件产品为不合格品AAB)/()()/()()/()()/(ABPAPABPAPABPAPBAP7 . 025. 01 . 075. 01 . 075. 00.3( )0.75P A0.750.250.10.7此时机器处于不正常状态的概率为此时机器处于不正常状态的概率为0.7，应检修。，应检修。17注注. 已知某事件

14、已发生，求另一事件的概率则为已知某事件已发生，求另一事件的概率则为求条件概率。求条件概率。. 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率果出现的概率P(B)(非条件概率非条件概率)；由；由Bayes公式，可公式，可求得结果求得结果B是由某原因引起的是由某原因引起的(后验后验, 条件条件)概率。概率。.应用全概率公式和应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件公式时要注意其条件(原因两两不相容原因两两不相容)。18,/2pp例设某课程需参加两次考试，第一次及

15、格的概率为 在第一次不及格情形下，第二次及格的概率为；第一次及格时，则第二次及格的概率仍为p.（1）求两次考试至少有一次及格的概率。（2）若第2次考试不及格,求第一次考试不及格的概率i解设A=“第i次考试及格”，i=1,2.12121则P(A )=p，P(A|A )=p,P(A| A )=p/2.1212121(1)P(AA )=1-P(A A )=1-P(A )P(A| A )=1-(1-p)*?1211 211 21121()( )()( )( ) (|)(1) /2(3)/2P AAAP AP AAP AP A P A App ppp 或P(AA )=2121121( ) (|)( )

16、(|)(1) (1)(1/2) (1)(1/2)P A P A AP A P A Apppppp (2)P(A )121122( ) (|)(1/2)2(1/2)2()P A P A AppAppP AP( | A )=(1-p/2)(3)/2pp=19关于条件概率的问题CAC,P(B|C). 我们都知道当事件A发生条件下，求事件B发生的概率时求的是P(B|A),可是在具体的语言环境中，有些人容易将条件延伸，比如知道A发生时， 发生,即于是求我们认为是什么条件就是什么条件，信息不可以延伸，否则容易引起混乱，比如已知A发生，求B发生的概率。由于对任意A,岂不可求P(B| )=P(B)。20例例

17、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.解解 令 A 表示 “从两张中任抽一张，结果是假钞”.例例2 2C表示 “2 张至少有一张是假钞”0,1,2iBii 表示两张钞票中有 张假钞，2125220112515522202014(|)11912CCP B AC CCCC2AC有人说，既然已经知道有一张假钞，即至少有一张假钞所以应该求P(B |C)201122515515522202020201( )() (| )012iiiC CC CCP AP B P A BCCC 1125155222020( )C CCP CCC25

18、2202221125155222020()()2(|)( )( )17CCP B CP BP BCC CCP CP CCC22AC但是尽管，可是已知条件是A发生。A,C不等价。所以求的是P(B |A)而不是P(B |C)22女孩问题女孩问题:设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇,假定有人假定有人在路上遇到母亲与她的一个孩子散步在路上遇到母亲与她的一个孩子散步,若这个孩子是女孩若这个孩子是女孩,问她的问她的两个孩子都是女孩的概率是多少两个孩子都是女孩的概率是多少?.。与母亲在一起的是女孩个孩子是女孩。第解：定义如下事件：:G)2 , 1(:iiGi，则所求为)

19、|(21GGGP)()()()()|(212121GPGGPGPGGGPGGGP)|()()|()()|()()|()()(2121212121212121GGGPGGPGGGPGGPGGGPGGPGGGPGGPGP)|()()|()()(2121212121GGGPGGPGGGPGGPGGP，且机会相等，则如果生男生女是独立的41)()()(212121GGPGGPGGP23)|()()|()()()(2121212121GGGPGGPGGGPGGPGGPGP)|()|(1 412121GGGPGGGP)|()|(11)|()|(1 4141)|(2121212121GGGPGGGPGGGP

20、GGGPGGGP)()|()|(2121qqGGGPGGGP母亲选择与女孩散步为两个孩子性别不同时，若24qGGGP211)|(2131)|( 121GGGPq）母亲总选择与女儿散步特别加假设求解之前仍需作附别概率的等可能性假定。即使做通常的性总之，此问题是无解的25一个教授都容易回答错误的问题的解答=iA设第i号门后是汽车 ，i=1,2,3=jB选择第j号门 ，j=1,2,3=3C主持人知道哪个门是汽车，打开了 号门是山羊 ，33111111()=(B C)=P(A B )P(C|A B )iiiiiP BCP A111111111() (|)192(|)1()36P AB P C ABP

21、A BCP BC11(|)?P ABC 11=(33111121213131=P(A B )P(C|A B )+P(A B )P(C|A B )+P(A B )P(C|A B )121+0)16211129(|)136P ABC21(|)?P ABC 26一、什么是贝叶斯推断一、什么是贝叶斯推断27282930313233什么是贝叶斯过滤器什么是贝叶斯过滤器？343536373839五、事件的独立性五、事件的独立性引例引例 E传染病抽检传染病抽检(已知该病犯病率为已知该病犯病率为1%)，A = =前前9999位查没病位查没病，B=第第100100位有病位有病( )(/)P BP B A()(

22、)P ABP A)()()(BPAPABP定义定义1 若事件若事件A、B满足：满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称则称A与与B B相互相互独立。独立。( (通常根据直观意义判断独立性，再反用定义通常根据直观意义判断独立性，再反用定义) )40定理定理 下面四个等式是等价的：下面四个等式是等价的：)()()() 1 (BPAPABP)()()()2(BPAPBAP)()()() 3(BPAPBAP)()()()4(BPAPBAP证明证明(1) (1) (2)(2)()(ABAPBAP)()(ABPAP)()()()1(BPAPAP)()(BPAP)(1)(BPAP类似地可证类似地可证:(2)

23、 (2) (3)(3)，(3) (3) (4)(4)，(4) (4) (1)(1)，41解解 = 定义定义2 称称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式成立：),()()(BPAPABP),()()(CPAPACP),()()(CPBPBCP)()()()(CPBPAPABCP 例例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令取一张，令A=抽出的卡片上出现红色抽出的卡片上出现红色，B=抽出的卡片抽出的卡片上出现白色上出现

24、白色，C=抽出的卡片上出现黑色抽出的卡片上出现黑色，试分析，试分析A、B、C的独立性。的独立性。A= ，B= ， C= 21)()()(CPBPAP41)()()(ACPBCPABP212121212141)(ABCP但但即即A、B、C两两独立，但两两独立，但A、B、C不相互独立的。不相互独立的。对比乘法公式看其意义对比乘法公式看其意义42一般称一般称A1, A2, An相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式成立：P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1) P(Ai2) P(Aik)，1i i1 i i2 i ikn，2k kn n例例6 设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概

25、率是设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是p=0.004，求他独立地射击，求他独立地射击n次能命中目标次能命中目标(至少一次至少一次)的概率的概率解解 记记Ai =第第i i次命中目标次命中目标，i i=1,2,=1,2,n n，A = 射击射击n次能命中目标至少一次次能命中目标至少一次 ，则，则)(1)(1)()(111niiniiniiAPAPAPAPnnniipAP996. 01)1 (1)(11独立地独立地1n 说明说明 小概率事件也不能忽略小概率事件也不能忽略43注：注：互不相容互不相容与与相互独立相互独立是两个不同的概念是两个不同的概念)()()(BPAPABP相互独立：相

26、互独立：AB互不相容：互不相容：(一般二者不同时成立一般二者不同时成立)相互独立的性质：相互独立的性质：若若n个事件相互独立，则其中任意个事件相互独立，则其中任意m个事件也相互独立；把其中任意个事件也相互独立；把其中任意m个事件换成对立事件个事件换成对立事件以后，所得的以后，所得的n个事件也相互独立。个事件也相互独立。练习练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系。讨论两事件互不相容与相互独立的关系。练习练习3 一架长一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须

27、经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。试求目标被炸毁的概率。是非题是非题1 若若P(A)=0，则，则A=；若；若P(A)=1，则，则A=。(如几何概型中任一基本事件概率为如几何概型中任一基本事件概率为0) 44练习练习2 讨论互不相容与相互独立的关系。讨论互不相容与相互独立的关系。解解 (1) 若若P(A) P(B)0, 则二者不可能同时成立则二者不可能同时成立. 因为因为 (a) 若若

28、A、B互不相容，即互不相容，即AB=，则，则0=P(AB) P(A) P(B)，即即A、B 不相互独立；不相互独立；(b) 若若A、B 相互独立，即相互独立，即P(AB) = P(A) P(B)0，则，则AB， 即即A、B相容。相容。(2) 若若P(A) P(B) =0, 则二者有可能同时成立则二者有可能同时成立. 因为因为A、B互不相容，即互不相容，即AB=，则二者可同时成立，则二者可同时成立此时此时P(AB)= P(A) P(B)=0AB=，除非已知，除非已知(,)ABA ABB即即A、B必相互独立，但必相互独立，但45练习练习3 一架长一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，机

29、带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。试求目标被炸毁的概率。(列出式子即可列出式子即可)解解 记记Bi为长机与为长机与i架僚机到达目标上空，架僚机到达目标上空， i=0,1,2， A为目标被炸毁。则为目标被炸毁。则P(B0)=0.8*0.22=0.032P(B1)

30、= 2*0.82 *0.2=0.256,P(B2)=0.83=0.512故故20)/()()(iiiBAPBPAP=0.4765B0 B1 B2P(A/Bi)AP(Bi)P(A/B0)=0.3或或2223310.20.8*0.2 *0.72*0.8 *0.2*0.70.8 *0.7 P(A/B2)=10.73=0.657P(A/B1)=10.72=0.5146随机事件随机事件A第一章小结第一章小结随机试验随机试验样本空间样本空间=所所有有关系：关系： ， ，BAABAB 运算：运算： ，AB，A-B= =A-ABBABA独立独立 P(AB)=P(A)P(B)公式公式 P(AB)=P(A)P(B

31、/A)P(A/B)=P(A)公理化定义公理化定义1.P(A)02. 3. 1)(P)()(iiAPAP)(1)(APAP)()()(BPAPBAPBA)()()()(ABPBPAPBAP条件概率条件概率)()()/(BPABPBAP全概率公式全概率公式P(B)=i=1i=1n nP(Ai)P(B/Ai)Bayes公式公式njjjiiABPAPBAPBAP1)/()()()/(统计古典统计古典几何概率几何概率47概率论与数理统计概率论与数理统计作业交两面内容全学的页码作业交两面内容全学的页码48 1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn” 专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者

32、的提问： 假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？ 一个教授都容易回答错误的概率问题一个教授都容易回答错误的概率问题491.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性一、条件概率一、条件概率1问题问题 E产品产品(N个产品中含个产品中含M个次品个次品)随机抽样。随机抽样。Ai = 第第 i 次抽到次品次抽到次品, i = 1, 2，MN放回抽样时，放回抽样时，?)/(12AAP不放回抽样时，不放回

33、抽样时，21(/)P AA MNMNMNP(A2)P(Ai)P(A2)11MN1MN 502定义定义)()()/(BPABPBAP为在为在B发生的条件下，发生的条件下，A发生的发生的条件概率条件概率。 注注2条件概率满足三条公理及概率的其它性质。条件概率满足三条公理及概率的其它性质。注注1P(A/B) 是将样本空间是将样本空间 压缩成压缩成B、事件事件A压缩成压缩成AB后计算概率，后计算概率， P(A/B)本质上是一个无条件概率；本质上是一个无条件概率； ABAB设设A、B为两随机事件，且为两随机事件，且P(B) 0，则称，则称51 例例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在设某地区历史上

34、从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为年内发生特大洪水的概率为80%，在，在40年内发生特大洪年内发生特大洪水的概率为水的概率为85%，现已知该地区已经，现已知该地区已经30年未发生特大洪年未发生特大洪水，问未来水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？年内将发生特大洪水的概率是多少？ 解解 记记A=30年内无特大洪水年内无特大洪水， B=未来未来10年内有特年内有特大洪水大洪水，则，则()()(/)( )( )P BAP AABP B AP AP AB( )0.20.150.25( )0.2P AP ABP A二、乘法公式二、乘法公式)()()/(BPABPBAP)/()(

35、)(BAPBPABP0)(BP)/()()(ABPAPABP0)(AP)/()/()/()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPA =40年内无特大洪水年内无特大洪水52例例2 设设A盒内有盒内有M 个黑球，个黑球，B盒内有同种质地、大小的盒内有同种质地、大小的M个个白球。现让某人从白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后盒中，然后再从再从A 盒中随机摸取一球放入盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。盒中，称此为一次交换。若经若经M次交换后，次交换后，A中恰有中恰有M个白球则此人可获奖。问此人个白球则此人可获奖。问此人获奖

36、的概率是多少？获奖的概率是多少？解解 设设个白球中恰有次交换后，经过MAMA kAkAB 在第 次交换中， 中黑球与 中白球交换., 2 , 1Mk由概率的乘法公式有则.21MAAAA MAAAPAP21121312121MMP AP A AP A A AP AA AAMMMMM1!2112211() () ()()1111MMMMMMMMMMMMM M53 例例3 3 袋中有袋中有5 5个球：个球：3 3个红球，个红球，2 2个白球。现每次个白球。现每次任取任取1 1个，取后放回，并同时放入个，取后放回，并同时放入3 3个同色的球。记个同色的球。记A Ai i为第为第i次取到红球，求概率次取

37、到红球，求概率P(A A2 2)。解解)(2AP)()(2121AAPAAP)(2121AAAAP)/()()/()(121121AAPAPAAPAP533 62 35 85 8)/()()/()()(1211212AAPAPAAPAPAP问题：问题：A A3 3由哪几个原因引起？由哪几个原因引起？312312123121231212312()()(/)()(/)()(/)()(/)P AP AAP AAAP AAP AAAP AAP AAAP AAP AAA121312()(/)(/)P AP AAP AAA54三、全概率公式三、全概率公式 B(1),ijAAij1(2)niiA 则对任何事

38、件则对任何事件B有有niiiABPAPBP1)/()()(证证11( )()() )()nniiiiP BPBPA BPAB1()niiP ABniiiABPAP1)/()(A1 A2 AnBA1BA2BAi. BAn 设设A A1 1 , , A A2 2 , , ,A An n 是对是对的一个划分：的一个划分：注意：注意：解题时先画因果关系图解题时先画因果关系图(多因一果多因一果)。A1 Ai AnP(B/Ai)BP(Ai)例例1.17 (P10：矿工逃生问题：矿工逃生问题)。BA155 例例 从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求两

39、张牌点数相同的概率。求两张牌点数相同的概率。,1,2,13.iAi iB解用 表示第一次抽到的点数为表示两张点数相同,13.iAP()=4/52,i=1,2(/)3/51iP B A 131433( )() (/)13525151iiiP BP A P B A56 例例 从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。求第二张牌点数大于第一张的概率。,1,2,13.iAi iB解用 表示第一次抽到的点数为表示第二张点数大于第一张点数。,13.iAP()=4/52,i=1,2(/)(13- ) 4/51iP B Ai13

40、12114(13) 4( )() (/)525116(1 12) 122451 52251iiiiiP BP A P B A57例 2005从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,X中任取一个,记为Y,则)()2(YP.解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件. 41)()2(iiXPYP481314142ii)|2(iXYP58例 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回, 放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与

41、第1阶段脱落的情况有关.则)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP , 1)|(BAP51)(2512CCBP代入即得53)(AP 21)|(BAP54)(BP用B表示脱落的两个字母相同.59赌徒输光问题赌徒输光问题:设甲乙二人赌博设甲乙二人赌博,每局输赢每局输赢1元钱元钱,每局甲赢的每局甲赢的概率为概率为p,开始时甲乙二人各有开始时甲乙二人各有m,n元钱元钱,约定赌到一个人输约定赌到一个人输光为止光为止,求甲输光的概率求甲输光的概率.mpm有关，设为始资本解：显然此概率与甲初。提，用全概率公式求解我们以第一局结果为前0, 1,)1 (011nmmmmppppppp且于是则第一局甲赢甲

42、输光设.B, A)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP11)|(,)|(),(mmmpBAPpBAPApp60可以解得可以解得1 ()1,1 (),mm nmq ppqq ppnpqmnqpqppqpmm, 1,)(有则如果乙有无穷多赌资。n要输光！又好赌，最后几乎必然即甲穷，技不如人),(qp 61四、四、Bayes公式公式 P(Ai) P(Ai/B)A1 A2 AnP(B/Ai)B 设设 A1, A2, ,An是对是对 的一个划分，的一个划分，则则1() (/)(/)() (/)iiinjjjP A P B AP A BP A P B Ani., 2, 1P(Ai) 先验概率先验

43、概率 P(Ai/B) 后验概率后验概率B B证明证明()(/)( )iiP ABP A BP B1() (/)() (/)iinjjjP A P B AP A P B A62 例例4 一台机床正常时，产品的合格率为一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常，非正常时，产品的合格率为时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正。每天上班开动机床时，机床正常的概率为常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机。检验人员为检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？时机床

44、处于正常状态的概率是多少？解解 记记A=机器处于正常状态机器处于正常状态B=生产出的一件产品为不合格品生产出的一件产品为不合格品AAB)/()()/()()/()()/(ABPAPABPAPABPAPBAP7 . 025. 01 . 075. 01 . 075. 00.3( )0.75P A0.750.250.10.7此时机器处于不正常状态的概率为此时机器处于不正常状态的概率为0.7，应检修。，应检修。63一个教授都容易回答错误的问题的解答=iA设第i号门后是汽车 ，i=1,2,3=jB选择第j号门 ，j=1,2,3=3C主持人知道哪个门是汽车，打开了 号门是山羊 ，33111111()=(B

45、 C)=P(A B )P(C|A B )iiiiiP BCP A111111111() (|)192(|)1()36P AB P C ABP A BCP BC11(|)?P ABC 11=(33111121213131=P(A B )P(C|A B )+P(A B )P(C|A B )+P(A B )P(C|A B )121+0)16211129(|)136P ABC21(|)?P ABC 64一、什么是贝叶斯推断一、什么是贝叶斯推断65666768697071什么是贝叶斯过滤器什么是贝叶斯过滤器？727374757677注注. 已知某事件已发生，求另一事件的概率则为已知某事件已发生，求另一事

46、件的概率则为求条件概率。求条件概率。. 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率果出现的概率P(B)(非条件概率非条件概率)；由；由Bayes公式，可公式，可求得结果求得结果B是由某原因引起的是由某原因引起的(后验后验, 条件条件)概率。概率。.应用全概率公式和应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件公式时要注意其条件(原因两两不相容原因两两不相容)。78五、事件的独立性五、事件的独立性引例引例 E传染病抽检传染病抽检(已知该病犯病率为已知该病犯病率为

47、1%)，A = =前前9999位查没病位查没病，B=第第100100位有病位有病( )(/)P BP B A()( )P ABP A)()()(BPAPABP定义定义1 若事件若事件A、B满足：满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称则称A与与B B相互相互独立。独立。( (通常根据直观意义判断独立性，再反用定义通常根据直观意义判断独立性，再反用定义) )79定理定理 下面四个等式是等价的：下面四个等式是等价的：)()()() 1 (BPAPABP)()()()2(BPAPBAP)()()() 3(BPAPBAP)()()()4(BPAPBAP证明证明(1) (1) (2)(2)()(ABAP

48、BAP)()(ABPAP)()()()1(BPAPAP)()(BPAP)(1)(BPAP类似地可证类似地可证:(2) (2) (3)(3)，(3) (3) (4)(4)，(4) (4) (1)(1)，80解解 = 定义定义2 称称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式成立：),()()(BPAPABP),()()(CPAPACP),()()(CPBPBCP)()()()(CPBPAPABCP 例例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色

49、。从中任意取一张，令取一张，令A=抽出的卡片上出现红色抽出的卡片上出现红色，B=抽出的卡片抽出的卡片上出现白色上出现白色，C=抽出的卡片上出现黑色抽出的卡片上出现黑色，试分析，试分析A、B、C的独立性。的独立性。A= ，B= ， C= 21)()()(CPBPAP41)()()(ACPBCPABP212121212141)(ABCP但但即即A、B、C两两独立，但两两独立，但A、B、C不相互独立的。不相互独立的。对比乘法公式看其意义对比乘法公式看其意义81一般称一般称A1, A2, An相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式成立：P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1) P(Ai2

50、) P(Aik)，1i i1 i i2 i ikn，2k kn n例例6 设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是p=0.004，求他独立地射击，求他独立地射击n次能命中目标次能命中目标(至少一次至少一次)的概率的概率解解 记记Ai =第第i i次命中目标次命中目标，i i=1,2,=1,2,n n，A = 射击射击n次能命中目标至少一次次能命中目标至少一次 ，则，则)(1)(1)()(111niiniiniiAPAPAPAPnnniipAP996. 01)1 (1)(11独立地独立地1n 说明说明 小概率事件也不能忽略小概率事件也不能忽略82注：注：互不相容互不相容与与相互独立相互独立是两个不同的概念是两个不同的概念)()()(BPAPABP相互独立：相互独立：AB互不相容：互不相容：(一般二者不同时成立一般二者不同时成立)相互独立的性质：相互独立的性质：若若n个事件相互独立，则其中任意个事件