数学分析课件--第一型曲线积分PPT

1、1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 一 第一型曲线积分的定义 上的连续函上的连续函 是定义在是定义在 ()f P 设某物体的密度函数设某物体的密度函数 数当数当 是直线段时是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体应用定积分就能计算得该物体 的质量的质量.现在研究当现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题段时物体的质量的计算问题. (1, 2,).ini .iP(2) 近似求和：在近似求和：在每

2、一个每一个 上任取一点上任取一点 由于由于 n(1) 分割：把分割：把 分成分成 个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 i ( )f P 为为i 上的连续函数上的连续函数, 故当故当 的弧长都很小时的弧长都很小时, i (),iif P 每一小段每一小段 的质量可近似地等于的质量可近似地等于 其中其中 i i 为小曲线段为小曲线段 的长度的长度. 于是在整个于是在整个 上的质量就近似地等于和式上的质量就近似地等于和式 1().niiif P 1max0ii nd (3) 当对当对的分割越来越细密的分割越来越细密(即即 ) 时时, 上述和式的极限就应是该物体的质量上述和式的极限就应是该物体的

3、质量.由上面看到由上面看到, 求物质曲线段的质量求物质曲线段的质量, 与求直线段的质与求直线段的质 量一样量一样, 也是通过也是通过“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”来得来得到的到的. 下面给出这类积分的定义下面给出这类积分的定义. (1, 2, ),iiL inL个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 的弧的弧长长n,它把它把 LLTL定义在定义在 上的函数上的函数. 对曲线对曲线 做分割做分割 分成分成,isT1| max,ii nTs iL记为记为 分割分割 的细度为的细度为 在在 上任上任取取 一点一点(,)(1, 2, ).iiin 若有极限若有极限 | |01lim

4、(,),niiiTifsJ 为平面上可求长度的曲线段为平面上可求长度的曲线段, L( ,)f x y定义定义1 设设 为为J(,)iiT 与与点点且且 的值与分割的值与分割 的取法无关的取法无关, 则称此则称此 极极限为限为( ,)f x yL在在上的上的第一型曲线积分第一型曲线积分, 记作记作( ,)d .Lf x ys为空间可求长曲线段为空间可求长曲线段 , L( , )f x y zL若若 为定义在为定义在 上上 ( , )f x y zL的函数的函数, 则可类似地定义则可类似地定义 在空间曲线在空间曲线 上上 的第一型曲线积分的第一型曲线积分, 并且记作并且记作 ( , )d .Lf

5、x y zs于是前面讲到的质量分布在曲线段于是前面讲到的质量分布在曲线段 L上的物体的质上的物体的质 量可由第一型曲线积分量可由第一型曲线积分 (1) 或或 (2) 求得求得. ( ,)d (1,2, )iLfx ys ik(1, 2, )ic ik1. 若若在在 为为 常数常数, , 则则1( ,)dkiiLic f x ys也存在也存在, 且且11( ,)d( ,)d .kkiiiiLLiic f x yscf x ysL12,kL LL2. 若曲线段若曲线段 由曲线由曲线 首尾相接而首尾相接而成成, ( ,)d (1,2, )iLf x ys ik( ,)dLf x ys都存在都存在,

6、则则 也存在也存在, 且且1( ,)d( ,)d .ikLLif x ysf x ys3( ,)d( ,)dLLf x ysg x ys若若与与 都存在都存在, 且在且在 L上上则则( ,)( ,),f x yg x y( ,)d( ,)d .LLf x ysg x ys4( ,)d( , ) dLLf x ysf x ys若若存存在在, ,则则| | |也存在也存在, |( ,)d |( ,)|d .LLf x ysf x ys且且 ( ,)dLf x ys若若L, s5存在存在, 的弧长为的弧长为则存在常数则存在常数 ( ,)d,Lf x yscs, c使得使得inf( ,)sup( ,)

7、.LLf x ycf x y这里这里6. 第一型曲线积分的几何意义第一型曲线积分的几何意义 为为LLOxy( , )f x y若若 为坐标平面为坐标平面 上的分段光滑曲线上的分段光滑曲线, 上定义的连续非负函数上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义由第一型曲线的定义, 易见易见 Lz以以 为准线为准线, 母线平行于母线平行于 轴的柱面上截取轴的柱面上截取 0( , )zf x y ( ,)d .Lf x ys的部分的面积就是的部分的面积就是 yxzOL( , )zf x y 201 图图二 第一型曲线积分的计算定理定理20.1 设有光滑曲线设有光滑曲线 ( ),: ,( ),xtLtyt

8、( ,)f x yL 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数, 则则 22( , )d( ( ),( )( )( )d . (3)Lf x ysfttttt L1iitttt到到证证 由弧长公式知道由弧长公式知道, 上由上由 的弧长的弧长 122( )( )d .iititsttt 22( )( )tt 由由的连续性与积分中值定理的连续性与积分中值定理, 有有 221()()().iiiiiiisttt 1(,)niiiifs 221( (),()()(),niiiiiift 22221( (),()()()()(),niiiiiiiift 所以所以 1,.iiiitt 设设这里这里 则有

9、则有 1(,)niiiifs 221( (),()()(). (4)niiiiiift 令令12max,0,nttttT则则当当时时 必必有有 t0 0. . 0lim0.t 现在证明现在证明 因为复合函数因为复合函数 ( ( ),( )fttt关于关于连续连续, 所以在闭区所以在闭区 , ,M ,t 间间 上有界上有界, 即存在常数即存在常数 使对一切使对一切 都有都有 |( ( ),( )|.fttM22( )( ) ,tt 在在再由再由 上连续上连续, 所以它在所以它在 , 0, 0, 必存在必存在上一致连续上一致连续, 即对任给的即对任给的 使当使当 时时, t 2222()()()(

10、),iiii 从而从而 1|(),niiMtM ba所以所以 0lim0.t 2201lim( (),()()()niiiiitift 22( ( ), ( )( )( )d .bafttttt 因此当在因此当在(4)式两边取极限后式两边取极限后, 即得所要证的即得所要证的(3)式式. , a b 上有连续的导函数时上有连续的导函数时, (3)式成为式成为 2( , )d( ,( ) 1( )d ;bLaf x ysf xxxx 再由定积分定义再由定积分定义 ( ), , yxxa b L 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示, 且且 在在 ( )x ,c d上有连续导函数时上有连续导函数时,

11、 (3)式成为式成为 2( , )d( ( ), ) 1( )d .dLcf x ysfyyyy 例例1 设设 L 是半圆周是半圆周 cos ,:0,sin ,xatLtyat试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 22()d .Lxys解解 22222230()d(cossin)d.Lxysaattta( ), , xyyc d 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示, 且且 在在 ( )y 例例2 24(0,0)(1,2)LyxOA设设是是从从到到一段一段(图图20-2), 试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 d .Ly s解解 220d1d4Lyy syy2322022(1)34y

12、4(2 21).3 由参由参 仿照定理仿照定理20.1, 对于空间曲线积分对于空间曲线积分(2), 当曲线当曲线 L量方程量方程 ( ),( ),( ), ,xtytztt 表示时表示时, Oyx124yx 202 图图A( , , )dLf x y zs222( ( ),( ),( )( )( )( )d . (7)fttttttt 其计算公式为其计算公式为: 2d ,LxsL2222xyza例例3 计算计算 其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截得的圆周所截得的圆周. 0 xyz解解 由对称性知由对称性知 222ddd ,LLLxsyszs所以所以 22222312d()dd.333L

13、LLaxsxyzssa4433(+)d ,LxyxysL*例例4 计算计算 其中其中 为内摆线为内摆线 434433.xya解解 由对称性知由对称性知 dd0,LLx sy s1444333dd4d ,LLLxsysxs其中其中 1( , ), ,0 .Lx yL x y 33cos,sin,0,.2xat yat t 444333(+)d8dLLxyxysxs47433208cos3 sin cos dt4.atatta 222xya 222yza *例例5 求求圆柱面圆柱面 被圆柱面被圆柱面 所所 而内摆线的参数方程为而内摆线的参数方程为 因此因此 包围部分的面积包围部分的面积 A. 解解

14、 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分, 0.8AA Oxy它的面积为它的面积为 把把 平面上的平面上的 222xya L位于第一象限的四分之一圆周记为位于第一象限的四分之一圆周记为, 则被围柱面则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为积分的几何意义可知它的面积为 220ds.LAax 220zax 的那部分柱面的那部分柱面. 由第一型曲面由第一型曲面 轴的轴的 L 的参数方程为的参数方程为:cos ,sin ,0.2xat yatt 222200ds=1-co

15、sdtLAaxata 2220sin dt.ata 因此因此, 2088.AAa 定义定义, 线密度为线密度为 ( , )x y 的的 曲线状物体对于曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 注注 由第一型曲线积分的由第一型曲线积分的 yxzO222xya0A203 图图例例6 求线密度为求线密度为2( , )1yx yx 的曲线段的曲线段 :ln ,12L yxx 对于对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量. 22d1yLx yIsx 22212ln11d1xxxxx 解解 213ln dln4.4xx x 2( ,)dxLIyx ys 2( ,)dyLIxx ys 和和

16、复习思考题 ( , )f x yL1.若若 在光滑曲线在光滑曲线上连续上连续, , 是否一定存在是否一定存在 00(,),xyL 使得使得00( , )d(,) ,Lf x ysf xys其中其中 s 是曲线是曲线 L 的弧长的弧长.( , )(, ).x yLx yL ( , )f x y2. 设设在光滑曲线在光滑曲线 L 上连续上连续, , L满足条件满足条件:( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若满足条件满足条件: 是否有是否有 ( , )d0?Lf x ys ( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若满足条件满足条件: 是否有是否有 ( , )d2( , )d ?LL