绝对值及其应用

1、绝对值及其应用绝对值及其应用隋福太关键词：绝对值，绝对值的几何意义及其应用知识点精讲1.绝对值的几何定义：在数轴上表示这个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.a 的绝对值表示为a .所以33，66005588通过上例易得例.已知 x 3 x 5 12 ，求 x 的取值范围练习 1.已知 x 3 x 5 12 ，求 x 的取值范围2.绝对值的代数定义：正数的绝对值就是它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值就是它的相反数.3.绝对值的性质：非负性例. x 1 与 y 2 互为相反数，试求 ( a b)20024.根据相反数的定义知，一对相反数分居原点两侧，并且到 原 点 的 距 离 相 等 .

2、结 合 绝 对 值 的 定 义 知 aa . 由 于(ab)(ba)0 ，故 ab 与 ba 是一对相反数，同样会有abba .例.一个数在数轴上所对应的点向右移动5 个单位后，得到它的相反数，则这个数是练习 1.数轴上表示互为相反数的两点之间的距离为6，这两个数是5.在数轴上， a ， b 两点之间的距离为ab 或 ba .当知道1 / 7绝对值及其应用两点的位置关系时， 通常就去掉绝对值;当不知道两点之间位置关系时，就带上绝对值符号.由此易得6.中点公式：以p1 ( p1 ) 和 p2 ( p2 ) 为端点的线段的中点为p1p22CBA已知数轴上如图自左向右为A 、B、C 三点，它们所对的

3、数分别为 a、b、c，且都不为零， 点 C 为 AB 的中点，如果 ab -a2c b 2cab2c0，试确定原点O 的大致位置6.点 P（ p）到 Ai (ai)(i1,2,3n) 的距离和为p a1 p a2pan .（1）当 n 为奇数时， p取第 n 1个点 时（即正中间的那个2数），该距离和最小（2）当 n 为偶数时，p 取第 n 到第 n 1 个点（包括这两22个点）时，距离和最小例.求 x 1x 3x5的最小值是多少？练习 1. x1x2x3x4x5x1997 的最小值2.已知 yxax19xa96，如果 19a96 ， a x 96求y 的最小值7 三角不等式：ababab经典

4、例题选讲例 1.已知 ( x 1x2)( y2y1)( z3z1)36, 求x2 y3z 的最大值和最小值2 / 7绝对值及其应用解： x1x23 ，当1x2时等号成立；y2 y 1 3 ，当1 y 2 时等号成立； z3z 14，当 1z3时等号成立 .由条件得x 1x23 ， y2y13 ， z3z1 4，则当x2, y2 ， z3时 ， x2y3z 的 值 最 大 ， 最 大 值 为 15. 当x1, y1， z1时， x2y3z 的值最小，最小值为 -6.例2.设 x1 ， x2x3x4x5 x6 是6个不同的正整数，取值于1,2,3,4,5,6，记Sx1x2x2x3x3x4x4x5x

5、5x6x6x1，求 S 的最小值解：根据绝对值的意义得，原题等价于：从数轴上点1出发，每次走一个整数点，走完点2，点 3，点 4 点 5，点 6，最后回到点1，问最少走了多少距离？取x1 1，x2 2x3 3x4 4x55x6 6则S x1 x2x2x3x3 x4x4 x5x5 x6x6x11+1+1+1+1+1+5=10例 3.将 1，2， 3， ， 200，这 200 个数任意分成两组，每组 100 个数，将一组按由小到大的顺序排列（记为a1a2a100 ）， 另 一 组 按 由 大 到 小 的 顺 序 排 列（ 记 为b1b2b100 ），试求 a1b1a2 b2a3b3a100b100

6、的值先证明：对于代数式的任何一项aibi（ i=1,2 , 100）中的 ai , bi ，较大的数一定大于100，较小的数一定不大于100.（ 1） 若 ai 100且 bi100 ， 则 由 a1a2a100100 及3 / 7绝对值及其应用100b1b2b100 ，知 a1 , a2 ,ak , bk , bk 1 , b100 共 101 个数都不大于 100. 这是不可能的（2）若ai100且 bi 100a100 a99ak100及b1 b2b100 100，则由，知b1, b2 , , bk , ak , ak 1 , a100 共 101 个数都大于 100.这也是不可能的 .

7、于是代数式中100 个绝对值 a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , , a100 b100中较小的数为1，2， ，100，较大的数为101,102， 200.故原式 = （101+102+200） -（ 1+2+100） =10000.例 4. 20 x 1010 x1530 x20 最小值该题相当于在数轴上，10 点处有20 个工人， 15 点处有10 个工人， 20 点处有 30 个工人，在数轴上求一点使他们到该点的路程和最小？解.先对 10 点处 20 个工人和 20 点处 20 个工人，当这一点只要取在 10 到 20 点之间任一点这 40 个工人走的路程和最小，最小距离和为

8、 20 10=200.因而在 15 点处有 10 个工人，20 点处有 10 个工人，只需这 20 个工人所走的路程和最小即可，易得取15 到 20 之间（包括这两点）任取一点即可，取20，易得最小距离和为10 5=50.练习 1.当 x满足什么条件时，1.5x 0.52.5x 0.53.5x0.54.5x 0.5+ 5.5x 0.56.5x0.5的值取得最小值 .A. 1x1B. 1x1C. 1x 1D. 1x1119977513114 / 7绝对值及其应用例 5. a2 4 ， b 8 ，且 a b ba 求 a 和 b解 . a24表示到 2的距离等于4的点为 a=2-4=-2 和a=2

9、+4=6 两个点 .由 ab ba 知 ba，当 a=-2时，b=8;当 a=2时， b=8.例 6. (m n) 2m m ，且 2m n 20 ，求 mn解 . (mn)2m m 知m 0 . 可得 (m n) 20 ，得 m+n=0, 由2mn 20得 2m-n-2=0, 易求得 m2 ， n2 ，则 mn4 .339例 7.解绝对值方程x32 x56 x 2x 6 12解. x32 表示 x 到 3 的距离为2，故 x=1 或 x=5 x56 表示到 -5 的距离为6 的点，故 x=1 或 x=-11 x2x6 12 表示到2 和 6的距离和为12，易知到 2和到 6 的点的距离和的最

10、小值为4，故 x 一定不在2和6之间，即在2 的左边或在6 的右边， 12-4=8 ， 82 4 所以 x=10或-2.例 8.解方程2x 43x23x24x9例 9.已知 a， b， c， d 是有理数， ab 9 ， cd 16，且a b c d 25 求 b a dc 的值解：因为 25 a bcdabcd91625 ，所以只有ab 9 ， cd16则原式 =9-16=-7例 10.若 x0, 化简x2x3xx解.因为 x 0 ，所以 x30 ，原式x2xx3xx练习5 / 7绝对值及其应用6. mnp1，则 2mnpmnp3 mnp7.若 a0, b0 ， xax b a b ，则 x

11、 的取值范围为8.求满足 abab1的非负整数对a,b 的值9. 已 知 ： 三 个 数 a, b, c 的 积 为 负 数 ， 和 为 正 数 ， 且xabcabcabacbc ，求ax 3bx2cx 1 的值abcabcabacbc10.a与 b 互为相反数，且a - b4，那么a - ab b5a 2ab 111.设 a0 ，且 xa ，试化简 x1 x2a12.化简 x 12 x 113.a<0,且 xa ，试化简 x 1x2a14.化简15.化简2 x3x2x5xx 52x 316. x 12x120不相等的有理数a、 b、c 在数轴上的对应的点分别为A 、B、 C，如果 abbcac ，那么点B 的位置为21.已知 (ab)2b5b5 ， 2ab10 ，求 ab 的值22.设 k 为自然数，且ka+b=0, 则 a1 + a2 等于bb23.已知 a、 b、 c 均为整数，且满足1010，则a ba c1abbcac =24已知 0a9 ，那么a23a 的最大值