(完整版)2013辽宁高考数学理科试题及答案,推荐文档

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（理） 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第I卷 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 4 下面是关于公差d 0的等差数列 P1：数列 an是递增数列； p3:数列 弘 是递增数列； n 其中的真命题为 （A） Pi, P2 （ B） P3, P4 P2:数列 nan是递增数列； P4:数列 an 3nd 是递增数列; （C） P2, P3 （D Pi, P4 5 某学校组织学生参加英语测试， 成绩的频率分布直方图如图, 60,80 ,8 20,1

2、00 .若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 频率 组距 0.02 0.015 - 0.01 - 0.005 - H (A) 45 (B) 50 (0 55 (D) 601.复数的Z 1 1模为 i 1 /、 1 (A) (B) 2 2 题目要求的 2已知集合 A x|0 log4x (C) k 2 ( D 2 1 ,B x|x 2，则 AI B A. 01 B 3 .已知点 A 1,3 ,B 4, 1 0,2 C . 1,2 D uuu 则与向量 AB 同方向的单位向量为 1, 4 4 - - 5 5 4 4 - - 5 5 O 20 40 60 80 100成绩/分 、选

3、择题：本大题共 an的四个命题: 数据的分组一次为 20,40 , 40,60 , 12 .设函数 x 满足 x2 f x 2xf x x 10 .已知三棱柱 ABC AB1C1的 6 个顶点都在球 AA1 12，则球O的半径为 A .空7 B . 2 10 C 2 11.已知函数 f x x2 2 a 2 x a2,g x H1 x max f x , g x , H2 x min O的球面上， 若 AB 3, AC 4, AB AC , 13 D .3.10 2 x2 2 a 2 x a2 8.设 f x ,g x ,m a p,q 表示 p,q 中的较大值， H1 x得最小值为A, H2

4、 x得最小值为B,则A B 2a 16 (C) 16 (D) 16 e2 ABC 内角A, B, C所对的边长分别为a, b,c. a sin B cosC 1 口 csin Bcos A b,且 a b , 2 A. 使得 3x 的展开式中含有常数项的最小的 A . 执行如图所示的程序框图, A . - B 11 开始 若输入 10 11 .6 D 10,则输出的S .36 55 72 55 否 i i 2 s s -2 i 输入n j s 0,i 2 是 已知点O 0,0 , A 0,b ,B 3 a, a .右 ABC 为直角三角形,则必有 A. b a3 C. b a3 丄 0 D .

5、 b a3 b a3丄 a a B a b 0 .b a3 min p,q 表示 p,q12 .设函数 x 满足 x2 f x 2xf x x 2 ,则x 0,时，f x 8(I ) FEB CEB; (II ) EF2 ADgBC. (A)有极大值，无极小值 (C)既有极大值又有极小值 (B)有极小值，无极大值 (D)既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 2 2 x y 15.已知椭圆2 1(a b 0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于 A, B两点，连接 a b 16.为了考察某校各班参加课外书法小组

6、的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组 的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同，则样本数据 中的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . a . 3sin x,sin x , b cosx,sinx (I )若|a b 求 x 的值； 18. (本小题满分 12 分)如图， (I)求证：平面PAC 平面PBC; ，求证：二面角 C PB A的余弦值.2 an的前n项和，若a1? 83是方程x 5x 4 0的两个 AF,BF ，若 AB 10, AF 6,cos ABF 4，则C的离心率e= . 5 17.(本小题

7、满分 12 分)设向量 0,. 2 (II )设函数f x ag),求 f x 的最大值. AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。 根，则S6 14. 19. (本小题满分12 分)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答。 (I )求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； 3 (II )已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是 3，答对 5 4 每道乙类题的概率都是 4，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数， 求X的分布列 5 和数学期望 20.(本小题满分 12 分)如图，抛物线

8、G : x2 4y,C2：x2 2py p 0，点M xy。在抛物线 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 A,B 重合于 0 时,中点为 0 . 已知函数f 2x ,g x ax x3 1 2xcosx.当 x 0,1 时, 2 (I )求证: 1-x (II )若 f 1 1 x； x恒成立，求实数a取值范围。 21 .(本12 分) C2上，过M作G的切线，切点为A, B ( M为原点O时，A,B重合于O) x。 1

9、 . 2，切线 1 MA.的斜率为-。 2 (I )求p的值； (I ) FEB CEB; (II ) EF2 ADgBC. 如图，AB为e O直径，直线CD与e O相切于E.AD垂直于CD于D, BC垂直于CD于 C, EF，垂直于F，连接AE,BE。证明： 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以0为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程 分别为 4s in , cos 2 2. 4 (I )求Ci与C2交点的极坐标； (II )设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点。已知直线 PQ的参数方程为 x t3 a

10、b 3 t R 为参数，求a,b的值。 y t3 1 2 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲 已知函数 f x x a，其中a 1。 (I )当a=2时，求不等式f x 4 x 4的解集； (II )已知关于x的不等式 f 2x a 2 f x 2的解集为 x|1 x 2，求a的值。 参考答案 选择题： 1 i 1. B 由已知Z (1 i)( 1 i) 1 A,所以 |Z | 2 2 2 A B (1,2 5，这样同方向的单位向量是 1 uuu -AB 5 (I ) FEB CEB; (II ) EF2 ADgBC. 2. D 解：由集合 A, 1 x 4 ；所以 u

11、uu uuu 3. A 解：AB (3, 4)，所以 I AB Ix x 8 4.D 解：设an a1 (n 1)d dn m，所以P正确；如果an 3n 12 则满足已知，但 2 a 1 nan 3n 12n并非递增所以F2错；如果若a. n 1，则满足已知，但 1 ,是递减数列, n n 所以F3错；an 3nd 4dn m，所以是递增数列， F4正确 5.B 解：第一、第二小组的频率分别是 0.1、0.2，所以低于 60 分的频率是 0.3，设班级人数为 m , 则兰 m 0.3, m 50。 6.A 解: 边换角后约去 sinB，得 sin(A C) 1，所以sinB 2 1，但 B

12、非最大角，所以B 。 2 6 7.B 解: 通项 G (3x)n n C：3n rx ，常数项满足条件 5 r，所以r 2时n 5最小 2 1 1 1 丄(丄)，同时注意 2 i 1 i 1 s T2- i 1 -的意义在于是对尸一 1 i2 1 1 1 1 1 i 2，所以所求和为丄(丄)(丄1 2 1 3 3 5 1 一求和。因为 1 i2 1 1 L (-)=- 9 11 9.C 解：显然角 O 不能为直角(否则得a 0不能组成三角形)若 8.A 解：s 所以b a3 0 ;若 B 为直角，则利用 KOBKAB 10.C 解：由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为斜边 11 A 为直角，则

13、根据 A B 纵坐标相等， 1 0，所以选 C a 5 1 BC 中点 M 计算 AM 上，由垂径定理，0M二 AA 6， 2 2 1 得 b a3 (a 2, 4a 4)， 都在另一个函数的图象上，图象如图， A-B=( 4a 4) (4a 12) 16 g(x)顶点坐标(a 2,4a 12)，并且每个函数顶点 A、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以 r r 所以半径 R=(5)2 匕) 细线为血国杀 代入，得 f (2) 0 ;因为 x2f (x) 3 x 2 2xf(x)，两边乘以 x 后令 g(x) x f (x) e 2x f (x)L 。 求导并将 (1)式代入，g (x)

14、ex -e，显然x x (0,2)时，g (x) 0，g(x)减; x (2, 即 g(x) 有极小值。 13. 16 x )时，g (x) 0，g(x)增；并且由(2)式知g(2) 0，所以 x f (x) 0，在 x 0时得 f (x) 0， 16解：直观图是圆柱中抽出正四棱柱。 V 14. 63 解: a1 a3 5, a1a3 4 由递增，a1 1,a3 4， 所以 0,所以g(2) 0为g(x)的最小值, f (x)为增函数，故没有极大值也没 22 4 22 4 16 16 所以q2 J q 2代入等比求和 公式得S6 15.-解: 7 63 由余弦定理，62 2 2 | BF |

15、10 2 10|BF | ，解得| BF | 所以 A 到右焦点的距 离也是 8， ， 由椭圆定义：2a 6 8 14，又 2c 16. 10 5 a 7,b 7, c 解：设五个班级的数据分别为 a b c c d e (a 7)2 (b 7)2 (c 7)2 7 ， 10 5 e 14 7 d e。由平均数方差的公式得 (d 7)2 (e 7)2 4，显然各个括号为整数。设 10,所以 5 7,e 7分别为 p,q,r,s,t，(p,q,r,s,t p q r s t 0L L L L (1) 。 设 2 2 2 2 2 2 2 22 f(x) (x p) (x q) (x r) (x s

16、)= p q r s t 20L 4x2 2( p q r s)x (p q 2 r 2 2 s ) = 4x 2tx 20 t2 ，因为数据互不相同，分析 的构成，得 f(x) 0恒成立，因此判别式 V 0，得 t 4， 所以t 3，即 e 10。 17解： (1) 由 a (x/3sin x)2 (sin 2 2 x) 4sin x， Z)，则 7,d f(x) 2 b ,得 4sin2 x 1 b 2 2 (cosx) (sin x) 1，及 a 1 0,从而sin x ，所以 (Il) x . 6 2 3 c 1 c sin x = sin2x cos2x 2 2 1 sin(2x )

17、 2 6 2 3 0.时，sin (2x-)取最大值1-所以f (x)的最大值为一. 3 2 6 2 f (x) a b 3sin x cosx 18 .解：(I)由 AB 式圆的直径，得 AC 丄 BC、 由 PA 丄平面 ABC BC?平面 ABC 得 PA 丄 BC. 又 PA? AC=A,PA?平面 PAC, AC?平面 PAC 所以 BC 丄平面 PAC. 因为 BC?平面 PBC. 所以平面 PBC 丄平面 PAC. (II)(解法一)过 C 作 CM/AP,则 CM 丄平面 ABC.，如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB CA、 CM 为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角

18、标系 不妨令 x=1、则 n2 （1、. 3、0）. 3 / 6 于是 cos= , 2血 4 V6 4 ABC CM?平面 ABC,所以 PA 丄 CM. 故 CM丄平面 PAB,过 M作 MN 丄 PB 于 N,链接 NC,由三垂线定理得 CN 丄 PB. 所以/ CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角 在 RtA ABC 中，由 AB=2、AC=1、得 BC 73 CM 二 、BM ， 2 在 RtA PAB 中，由 AB=2、PA=1、得 PB= J5 . 因为 RtA BNMsRtA BAR 所以 MN 1 又在 RtA CNM 中，CN=30，故 cos/ CNM=6 5 4 所

19、以二面角 C-PB-A 的余弦值为 4 。 19解：（I）设事件 A= “张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题，则有 A=”张同学所取的 甲类题“.因为 AB=2、AC=1、所以 A（0、1、0）、B （幺。）、P （0、1、1） uuu ,CP二（01、1）设平面 BCP 的法向量为1= （x、y、z）. 所以3x . y z 0. ULUT 不妨令 y=1.则 n1=（ 0、1、-1）.因为AP 斗 uuu - 故 CP = /3O、O） 0, uuu T CB m 则 uuu 1 CB m 0, 设平面 ABP 的法向量为n2 = （x、y、z）. UUU - （0、0、）、AB二

20、 G/3,-10） uuuu AP n UUU AB n2 0, z 0. ,所以 - 0, 3x y 0. 3 道题都是 所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为 _ C3 i 因为 P(A) CC0 -，所以 Cio 6 5 P(A) 1 P(A). 6 （ll）X 所有的可能取值为 0、1、2、3. J 3 0 2 1 4 P(X 0) C () 125 ； 5 5 5 P(X 1) C1 3 1 (-)1 (|)1 1 c；（3）0 (f)2 4 28 ； ， 亠 5 5 5 5 5 5 125 P(X 2) C； 3 2 U) (5)0 1 d1 2 1 （14 57 5 5

21、5 5 5 5 1 P(X 3) 2 3x 2。 4 36 C () () 5 5 5 125 X 0 1 2 3 14 28 57 36 P 125 125 125 125 型邑3空2 所以 E (X)=ox125+i x125 +2 x125 125 2 1 x 1 20.解：因为抛物线 C1： x 4y上任意一点（x,y）的切线斜率为 y ,且切线 MA 的斜率为, 2 2 M(Xo, y)的坐标为 由得 MA , MB 的交点 x1x2 2 X1 2 X2 6 由得 2 4 X y,x 0. 3 Xo yo 土 . 2 原 M ( Xo, yo)在 C2上，即 xo 4yo,所以 2

22、4 当Xi X2时，A,B 重合与原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足X - y . 3 1 所以 A 点坐标为（-1 ,）。故切线 MA 的方程为 4 1 1） 7 因为点 1 尹_ M(1 ,2, yo)在切线 yo yo 由得 1 _ 2(2厨 (1 迈)2 2p p=2. - 4 3 22 MA 及抛物线 3 2.2 4 2p C2上，于是 (II)设 N(x,y),A(x1 2 2 x2 _) B(x2 ), x1 4 4 X1 X2,由 N 为线 AB 中点知 的方程为 2 y (x 2 x1x2 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 2 4 X 3y. 21. (I)证明：要

23、证 X 0,1时，(1 X)e 2X 仝 1-X,需证明(1 X)e X 仝(1 x)eX. X X 1 x X 记h(x) (1 x)e (1 x)e ,则h (x) x(e e )，当 x( 0,1 )时 h1(x)0,因此 h(x)在【0,1】上市增函数，故 h(x)仝 h(0)=0.所以 f(x) 1 x,x 0,1 要证 x 0,1时，(1+x) e-2x ，只需证明 ex x 1. 1 x 记 K(x) ex x 1,则 K1(x) ex 1,当x (0,1)时，K1(x) 0，因此 K (x)在0,1上试增函数，故 K (x)耿(0)=0 所以 1 f (X) -,X 0,1.

24、1 X 1 综上，1 x f (x) ,x 0,1. 1 X (II)(解法一) 3 f (x) g(x) (1 x)e 2x (ax 1 2xcosx) 2 3 1 x ax 1 2xcosx 2 2 x 1 x(a 1 2cos x) 2 ， 2 设G(x) - 2cos x,则G1(x) x 2sinx. 2 记 H (x) =x-2si n x,则 H1 (x) =1-2cos x,当 xx (0,1)时，H( x) 0,于是 G ( 从而当x? (0,1)时，G1(x)G1(0)=0,故G(x)在0,1上是减函数，于是 G(x) A+1+G(x)-3 时，f(x) g(x)在0,1上

25、不恒成立.在 0,1 上试减函数, G(0) 2,，从而 1 x f(x) g(x) 3 x c ax 2xcosx 2 ax 1 x 1 x(1 3 x 2xcosx 2 2 x 2cos x) 2 记 I (x) I1(x) 2cos x= 1+x a G(x),则 (1 x)2 为a+1+2cos 1,a+3. 因为当 a-3时， a+30所以存在 上不恒成立. 综上，实数 a 的取值范围是( 1 _. 1 G (x),当x (0,1)时，I (x)O,此时 f(Xo)0，于是G(x)在0,1上试增函数, 当 x?0,1时，1 G(x)G(0)=0 从而 F(x)在0,1上是增函数，因此

26、 F(x)才(0)=0 所以 1 2 x cosx 2 同理可证，当x 0,1时，cosx 所以 x 0,1 时,1 cosx 1 1 2 x 4 1 2 x . 4 因为当 x? 0,1 时, f(x) g(x) (1 x)e 2x (ax 3 x 1 2xcosx) 2 (1 x) ax x3 1 2x(1 x2) 4 (a 3)x. 所以当 a3 时，f(x) f(x) g(x) (1 g(x)在0,1上不恒成立.因为 3 (ax x 2 x3 x)e 2x 1 2 x cosx) 1 ax 2 2x(1 lx2) 2 2 (a 3)x 当2x4时，f(x) 4 x 4 无解; 当 x 4 时，由 f(x) 4 x 4 得 2x 6 所以 f （x） 4 x 4 的解集为 x x 1 或