[数学]随机事件及其概率ppt课件

1、学习的意义1、重要的专业根底课：是计量经济学、抽样调查、市场调查、多元统计、统计预测与决策、时间序列分析、国民经济核算、数据处置与数据分析等专业主干课的学习根底。2、今后任务的重要工具：任务中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处置。课程构造概率论数理统计随机过程概率论根本概念与古典概率一维随机变量二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计数理统计根本概念参数估计假设检验方差分析回归分析非参数检验第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件随机景象：在根本条件不变的情况下，一系列实验或察看会得到不同的结果，在大量反复实验或察看中又呈现某种固有的规律性(统计规律性)。实验举例：E1

2、：掷一颗骰子，察看出现的点数。E2：记录某交换台一分钟内接到的呼叫次数。E3：在一批灯泡中恣意抽取一只，测试其寿命。以上实验共有的特点：1、可以在一样的条件下反复进展;2、每次实验的能够结果不止一个，并且能事先确定实验的一切能够结果;3、进展实验之前不能确定哪一个结果会出现。具有上述特点的实验称为随机实验实验。一、随机实验随机事件事件：在随机实验中，对一次实验能够出现也能够不出现，而在大量反复实验中却具有某种规律性的事情。普通用大写字母A、B、C表示事件。根身手件样本点 ：在一次随机实验中，它的每一个能够出现的结果都是一个随机事件，我们称其为根身手件样本点。样本空间根身手件空间：实验的根身手件

3、全体所组成的集合，记作 。E1: =1，2，3，4，5，6E2: =0，1，2，3，E3: =t 0t必然事件 ：在一定条件下必然会发生的事件。不能够事件：在一定条件下必定不会发生的事件。二、样本空间、随机事件事件与根身手件的关系：假设事件A发生，那么A所含的某个根身手件一定发生;假设A所含的某个根身手件发生，便说A发生。三、事件的关系与运算1、A B : 假设事件A发生，必然导致事件B发生。 2、假设 A B，B A，那么称事件A与事件B相等，记作A=B。3、A B: 事件A与事件B至少有一个发生。 我们称其为事件A与事件B的并事件或称和。 : 事件 至少有一个发生。)A( n1kk21nA

4、AAnAAA，214、 (AB): 事件A与事件B同时发生。我们称其为事件A与事件B的积事件或称交。BA)(121nkknAAAA事件 同时发生。nAAA，215、A-B: 事件A发生而事件B不发生。 我们称其为事件A与事件B的差。6、AB= : 事件A与事件B不能同时发生。 我们称事件A与事件B是互不相容的。 BA6、 = 且AB= :事件A与事件B中必然有一个发生，且只需一个发生。 我们称事件A与事件B互为对立事件，记为B= 。A显然，有 =A， = ， = 。A事件的运算规律: 事件的运算满足交换律、分配律、结合律、德莫根(Demorgan)律。(参见教材P3)假设事件 称 是两两互不相

5、容的。 ，mjijiAAji21mAA， 1第二节、 随机事件的概率一、频率定义1.1 在一样条件下，反复进展n次实验E，随机事件A在n次实验中出现的次数m称为频数，m/n称为事件A的频率，记为 ，即 )(Afn)(Afn=m/n频率的性质 设随机实验E的样本空间为，A、B为E的两个随机事件，那么在n次实验中，频率具有以下性质:1)(0Afn1、2. 1)(nf假设AB= ，那么 )()()(BfAfBAfnnn阐明: 性质3对随机实验E中恣意m个两两互不相容的事件 也成立，即 iAmi， 21)()(11iminmiinAfAf二、概率的定义定义1.2 (概率的定义) 设E是随机实验， 是E

6、的样本空间。对于E的每一个事件A，赋予一实数，记为P(A)。假设P(A)满足以下条件:1. 对于任何事件A，有 ；0)(AP2. 对于两两互不相容的事件 有 ，21iAi)()(11iiiiAPAP3.1)(P三、概率的性质性质1 0)(P性质2 (概率的有限可加性) 设 两两互不相容，那么 niAi，21)()(11niiniiAPAP性质3 设 是A的对立事件，那么A)(1)(APAP性质4 设A、B为二事件，那么)()()()(ABPBPAPBAP推行:)()1()( )()()(2111111nnkjnkjiinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP特别，有)()()( )

7、()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP性质5 设A、B为二事件，假设 ，那么有 1) P(B-A)=P(B)-P(A) 2) BA)()(APBP性质6 1)(AP特点:实验的样本空间中的根身手件只需有限个，记为 ，n212) 每个根身手件发生的概率是一样的，即)()()(21nPPP具有以上特点的随机景象称为等能够概型，又称古典概型。对古典概型，有ninPi，211)(古典概型计算需知:样本空间中包含的根身手件数;2) 事件A中包含的根身手件数。三、古典概型加法原理: 设完成一件事有m种方式，第 种方式有 种方法，那么完成这件事共有 种方法。iinmiin1乘法原理

8、: 设完成一件事有m个步骤，第 个步骤有 种方法，那么完成这件事共有 种方法。iinmiin1陈列公式:从m个不同元素中不反复地选取n个元素进展陈列，那么陈列的种数为 当n=m时，称 为全陈列公式。！)()(nmmPAnmnm！mPmmnkAP中包含的基本事件数中包含的基本事件数A)(2) 从m个不同元素中可反复地选取n个元素进展陈列，共有 种方法。nmmmm假设从m个不同元素中可反复地选取n个元素，组成一组而不论其顺序，一切不同组合的总数为 ！) 1() 1(1mnnmCnnm组合公式:1) 假设从m个不同元素中不反复地选取n个元素，组成一组而不论其顺序，称为从m个不同元素中选取n个元素的组

9、合。一切不同组合的总数，记作 或 。nmCnm！)(nmnmCnmnm公式： ! nCAnmnm例2、(装箱问题) n个箱子按序编号(彼此有区别)，r个球按以下方式装入箱中，rn:小球可辨，每箱容量不限；2) 小球可辨，每箱不超越一球；小球不可辨，每箱不超越一球；小球不可辨，每箱容量不限。 设A=某预先指定的r个箱中各有一球，求P(A)。设事件B=某r个箱中各有一球，在第1)种装箱中，求P(B)(生日问题)： ，rrnnrCBP!)(rrnnrCBP!1)(当n=365，r=40，P(B)=0.109。0.9990.9970.9700.8910.7060.5070.41110064504030

10、2320r)(BP古典概型的典型问题：分房问题、抽球问题、随机取数问题例3(随机取数) 在12000的整数中随机地取一个数，求取到的数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。设 A=取到的数能被6整除，B=取到的数能被8整除。欲求)(BAP例4(分房问题) 将15名新生随机地分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。设A=每个班级分到一名优秀生，求P(A)；2) 设B= 3名优秀生分到同一班级，求P(B)。例5(抽球问题) 设箱中有a+b张奖券，其中a张中奖，b张不中奖。现将奖券一张张摸出，求第k次摸出中奖奖券的概率。)1 (bak计算古典概型的解题步骤：根据标题要求，确定根身手件和样本

11、空间 ；设出需求概率的事件A，此时应留意A能否确由某些根身手件所组成；3. 确定与A中包含的根身手件数，计算 P(A)。实践推断原理(小概率原理)： 概率很小的事件在一次实验中几乎不发生。二、几何概型特点：1、实验的能够结果有无数个，且能找到一个度量大于零的区域G，使实验的一切能够结果与区域G中的点一一对应。2、实验的每个能够结果出现的能够性一样。 度量：长度、面积、体积等设事件A一切能够结果与区域G的某个子域g中的点一一对应，那么 P(A)=g的度量/G的度量例：见教材P7-9，例1.2.1-1.2.4第三节 条件概率与事件的独立性条件概率也是概率条件概率也是概率, , 故具有概率的性质：故

12、具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非负性q 归一性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPABPq )()()(21121ABBPABPABBPq 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式)0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBPABP推行推行) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP乘法公式乘法公式 某厂消费的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解解 令令 A

13、 灯泡能用到灯泡能用到1000小时小时 B 灯泡能用到灯泡能用到1500小时小时所求概率为)()(APABPABPAB218 . 04 . 0)()(APBP例例2 2例例3 3 盒中装有盒中装有5 5个产品个产品, , 其中其中3 3个一等品，个一等品，2 2个个二等品二等品, , 从中不放回地取产品从中不放回地取产品, , 每次每次1 1个个, , 求求1 1取两次，两次都获得一等品的概率取两次，两次都获得一等品的概率; ;2 2取两次，第二次获得一等品的概率取两次，第二次获得一等品的概率; ;3 3取三次，第三次才获得一等品的概率取三次，第三次才获得一等品的概率; ;4 4取两次，知第二

14、次获得一等品，求取两次，知第二次获得一等品，求 第一次获得的是二等品的概率第一次获得的是二等品的概率. .解解 令令 Ai 为第为第 i 次取到一等品次取到一等品11034253)()()(12121AAPAPAAP(3) 213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152提问：第三次才获得一等品的概率, 是?)()(321213AAAPAAAP还是2直接解更简单5/3)(2AP)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP25342534352(4)()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP5 . 0153103条件概率与无条件概率条件概

15、率与无条件概率之间的大小无确定关系之间的大小无确定关系)()()()()(BPAPBPAPABPABP假设假设AB普通地普通地条件概率条件概率无条件概率无条件概率例例4 4 为了防止不测为了防止不测, ,矿井内同时装有矿井内同时装有A A 与与B B两两两种报警设备两种报警设备, , 知设备知设备 A A 单独运用时有效单独运用时有效的概率为的概率为0.92, 0.92, 设备设备 B B 单独运用时有效的概单独运用时有效的概率为率为0.93, 0.93, 在设备在设备 A A 失效的条件下失效的条件下, , 设备设备B B 有有效的概率为效的概率为 0.85, 0.85, 求发生不测时至少有

16、一个求发生不测时至少有一个报警设备有效的概率报警设备有效的概率. .设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 85. 0ABP 92. 0AP 93. 0BP知求BAP解解解解由)(1)()(APABPBPABP08. 0)(93. 085. 0ABP即862. 0)(ABP故988. 0862. 093. 092. 0)()()()(ABPBPAPBAP解法二解法二BAP988. 0)(BAP)()()(ABPAPBAP012. 085. 0108. 0)(1)(ABPAP定义定义设设 A , B A , B 为两事件，假设为两事件，假设)()()(BPAPABP那么称事件 A 与事件

17、B 相互独立 两事件相互独立的性质两事件相互独立的性质q 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的q 假设)()(, 0)(ABPBPAP则假设)()(, 0)(BAPAPBP则q 假设, 0)(, 0)(BPAP那么“事件 A 与 事件 B 相互独立和 “事件 A 与 事件 B 互斥不能同时成立 (自行证明)q 四对事件BABABABA,;,;,;,任何一对相互独立,那么其它三对也相互独立试证其一独立独立BABA,现实上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP三事件三事件 A, B, C A, B, C 相互独立相互独立是指下面的关系

18、式同时成立：是指下面的关系式同时成立：注：1) 关系式(1) (2)不能相互推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 )()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 定义定义例例5 5 有一均匀的八面体有一均匀的八面体, , 各面涂有颜色如下各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次, 察看向下一面出现的颜色。设事件R 红色W 白色Y 黄色 1 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y 2184)()()(YPWPRP那么那么

19、81)()(,83)(RYPWYPRWP81)(RWYP)()()(WPRPRWP)()()(YPWPRP但但)()()()()()(YPRPRYPYPWPWYP本例阐明不能由关系式本例阐明不能由关系式(2)推出关系式推出关系式(1)例例6 6 随机投掷编号为随机投掷编号为 1 1 与与 2 2 的两个骰子的两个骰子 事件事件 A A 表示表示1 1号骰子向上一面出现奇数号骰子向上一面出现奇数 B B 表示表示2 2号骰子向上一面出现号骰子向上一面出现奇数奇数 C C 表示两骰子出现的点数之和为表示两骰子出现的点数之和为奇数奇数 那么2/ 1)()()(CPBPAP4/1)()()(CAPBC

20、PABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP本例阐明本例阐明 不能由不能由 A, B, C 两两独立两两独立A, B, C 相互独立 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定义定义常由实践问题的意义常由实践问题的意义 判别事件的独立性判别事件的独立性例例7 7 知事件知事件 A, B, C A, B, C 相互独立相互独立, ,证明事件证明事件A与CB也

21、相互独立证证)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAPq 假设 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这q n 个事件恣意分成 k 组,同一个事件不能q 同时属于两个不同的组,那么对每组的事件q 进展求和、积、差、对立等运算所得到q 的 k 个事件也相互独立.命题命题利用独立事件的性质计算其并事件的概率利用独立事件的性质计算其并事件的概率假设假设 A1, A2, , An A1, A2, , An 相互独立相互独立, , 那么那么)()(211nniiAAAPAPniiAP1)(1

22、 (1)(121nAAAPniiAP1)(1)(121nAAAP)(1niiAPniiAP1)(1 (1pAPi)(当当 ，那么，那么nniipAP)1 (1)(1特别，特别，例例8 8 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为为0.4%, 0.4%, 求来自不同地域的求来自不同地域的100100个人的个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率血清混合液中含有肝炎病毒的概率解解 设这设这100 100 个人的血清混合液中含有肝炎个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件病毒为事件 A, A, 第第 i i 个人的血清中含有个人的血清中含有 肝炎病毒为事件肝炎病毒为事件 Ai

23、 i =1,2,100 Ai i =1,2,100 那么1001iiAA)(11)(1001iiAPAP33. 0)004. 01 (1100假设Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，那么 , 2 , 110,)1 (1)(nBPnn1)(limnnBP 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生一个元件(或系统)能正常任务的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件衔接方式：串联并联1221系统的可靠性问题例例9 9设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常任务的概率为 p , 每个元件能否正常工作相互独立.两系统的衔接方式如以下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP22)2