《高等数学》电子课件（同济第六版）：01第三章 第1节 中值定理

1、2导数的几何意义：导数的几何意义：oxy)(xfy TM0 x)()(,()(000 xfKxfxMxfy处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点：问题：下面图形的特点特点：是最大的或最小的。附近，在)(f0)(f结论：轴。对应的点切线平行于x3费马引理：( )( )( )( )( )( )( )( )0.f xUxUf xff xff设函数在点 的某邻域内有定义，并且在 处可导，如果对任意的，有或，则有证明：情况：仅证明)()(fxf有对于)(Ux),()(fxf, 0)()(fxf4, 0 x若; 0)()(xfxf则有, 0 x若; 0)()(xfxf则有0()( )( )lim0;xfxf

2、fx 0()( )( )lim0;xfxffx ,)(存在f ).()(ff. 0)(f有50)(,fba）使（至少存在?0)(f定存在问题：在什么条件下一下面给几个图形特点：）连续；（ 1）可导（2）两端点函数值相等。（3结论：6一、罗尔(Rolle)定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，

3、在该点的导数等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf7点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释: :变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC8证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在b

4、axf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在),()(,fxfbax有因此，任由费马引理可知，. 0)(f定理得证。9注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,21 ,310 ,1)(xxxxxf 1 , 1,)(xxxf2,0,)(2xxxf10例例1 1.10

5、155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根112例例有几个实根

6、。有几个实根。说明说明的导数，的导数，不求不求0)()7)(5)(3()( xfxxxxxf解：解：0)7()5()3()0(ffff上应用罗尔定理，上应用罗尔定理，、分别在分别在对对7 , 55 , 3 3 , 0)(xf使得使得、至少存在至少存在),(),(),(755330321xxx, 0)()()(321xfxfxf上应用罗尔定理，上应用罗尔定理，、分别在分别在再对再对,)(3221xxxxxf 使得使得、至少存在至少存在),(),(322211xxxx , 0)()(21 ff两个实根，两个实根，为二次多项式，最多有为二次多项式，最多有又因为又因为)(xf 只有两个实根。只有两个实

7、根。0)( xf123例例设 在0, 上连续,在(0, )内可导,证明至少存在一点(0, ),使得 =)(xf)( f cot)(f证明: 只要证明 0sincos)()( ff0cos)()(sin ff0sin)( xxxfxxfxFsin)()(设设0)()0( FF则则由罗尔定理由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点 0)(0 F），使得），使得，（0cos)(sin)( ff即即 cot)()(ff134例例.)(2)(21, 2)2(,21) 1 ()2 , 1 (2 , 1 )( ffffxf）使得）使得，（证明至少存在证明至少存在内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在设设证明：

8、证明：.)(2)( ff0)(2)( ff0)(2)(42 ff,)()(2xxfxF作作21)2() 1 ( FF则则上用罗尔定理上用罗尔定理，在在对对)(21xF使得使得至少存在一点至少存在一点2 , 1 0)( F.)(2)( ff14罗尔定理的推广：罗尔定理的推广：abafbff)()()( 15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式

9、 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成16ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba17作辅助函

10、数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :1 1、也成立；也成立；定理对定理对ab 18xfxfxxf)()()( 则有则有设设),(,baxxx).()(10 xxxfy即即.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.一表达法：一表达法：、拉格朗日中值公式另、拉格朗日中值公式另

11、2之间之间与与在在xxx 10, xx令令。、定理的条件必不可少、定理的条件必不可少319证证: 在 I 上任取两点.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf定理定理3, )(,2121xxxx在 上用拉格,21xx朗日中值公式 , 得)()(12xfxf)(12xxf 0)(21xx )()(12xfxf由 的任意性知, 21xx、)(xf在 I 上为常数推推论论CxgxfxgxfI)()(),()(则则上上如果在如果在20例例5 5).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arcco

12、sarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 ) 1 , 1(,)(xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 ,2 C即即,2arccosarcsin xx) 1 , 1(x2) 1 () 1( ff而而 1 , 1x21例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxx

13、x 即即227例例babaarctanarctan证明证明证明：证明：, ab 不妨设不妨设,arctan)(xxf作作上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理在在对对,)(abxf)(arctanarctanbafba bababa)(11arctanarctan2 238例例. 0)(), 0)(),(, 0)()(),()(,)()( fbacfbacbfafbaxfbaxfxf使得使得（少存在一点少存在一点证明：至证明：至使使且存在且存在内存在，内存在，在在上连续，上连续，在在、设设证明：证明：上分别用中值定理上分别用中值定理在在对对,)(bccaxf, 0)()()(1acafcff

14、 , 0)()()(2cbcfbff 上用中值定理上用中值定理在在再对再对,)(21 xf bafff 0)()()(1212使使）（故存在故存在),(,21bcca240)0(, 0)( fxf设设9例例 证明对任意 有有0, 021xx)()()(2121xfxfxxf 证明： 不妨设 210 xx 因为 )0()()()()()()(12211221fxfxfxxfxfxfxxf1112xfxf)()( 2122xxx )()()(2121xfxfxxf所以所以121( )()0 x f 121()( )xff12110 x25三、柯西(Cauchy)中值定理柯西柯西（CauchyCau

15、chy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .26几何解释几何解释:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).(

16、)()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba27, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf28例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一

17、点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF设设,)(),(条件条件上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的在在则则10 xFxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即29四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关

18、系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.3013413P习题.14,12),2(11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 131思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.32思考题解答思考题解答 1, 310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.33一、一、 填空题：填空题：1 1、 函

19、数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练练 习