2020-2021东莞市高三数学下期中一模试题及答案

1、2020-2021 东莞市高三数学下期中一模试题及答案、选择题1已知等比数列an的公比为正数，且 a3 a9 2a5 ,a2 1 ，则 a1( )A1B2C 2D 2222若直线 x y1a0,b 0 过点 (1,1)，则 4a b 的最小值为（）abA6B8C9D103在 ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且 acosB4c b cos A，则cos2A ( )7171ABCD88884已知等差数列 an,前n 项和为 Sn ,a5 a628, 则 S10( )A140B280C168D565设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，(n 1)Sn< nSn 1(n

2、a8N ) . 若 81 ，则（ ）a7ASn 的最大值为 S8BSn 的最小值为S8 CSn 的最大值为 S7 DSn 的最小值为 S76在直角梯形 ABCD 中，AB/CD ，ABC90o ， AB2BC 2CD ，则cos DAC ( )2553 1010ABCD5510107 数列 an的前 n 项和为 Sn2nn n 1, bn1 an nN* , 则数列 bn 的前 50 项和为（ ）A49B50C99D1008河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟现有一石窟的某处“浮雕像 ”共 7 层，每上层的数量是下层

3、的 2倍，总共有 1016个“浮雕像 ”，这些“浮雕像 ”构成一幅优美的图案，若 从最下层往上 “浮雕像 ”的数量构成一个数列 an ，则 log2 a3 a5 的值为（ ）A 7B 5C 5D 7A8B10C 12D 169在 ABC 中，角A,B,C 的对边分别是2 A b ca,b,c， cos2，则 ABC的形状为2 2cA直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等腰直角三角形D正三角形10已知 an为等比数列 ,a4 a7 2,a5a68,则a1 a10 ( )111等比数列 an 中， a1,q 2，则 a4与 a8的等比中项是（）8A±4B41 C41D4的看台的某一列的正

4、前和 ，第一排和最后（）（米 /秒）BA10二、填空题101 C2D71013已知实数 ，且的最小值为14已知 x,y 满足约束条件yxx y 4，则 z 2x y20y的最大值为15已知向量 a 1,x ,bx,y 2 ，其中 x 0 ，r r y若 a与 b共线，则 的最小值为x12某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 一排的距离为 5 6 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上若国歌长度约 为 秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为y216若变量x, y 满足约束条件 xy4，则 z 3x

5、y 的最小值为 _xy1xy217若变量x，y 满足 2x 3y9，则 z2x+y 的最大值是 x0yx18设变量x, y 满足约束条件：xy 2 ，则 z x 3y 的最小值为x119x 设不等式组 xy32 y 310,0,表示的平面区域为1，平面区域 2 与 1 关于直线2xy 0 对称，对于任意的1,D2，则 CD 的最小值为20已知数列 an 满足 a11，an 1 3an 2 ，则数列 an 的通项公式为、解答题21 如图，在四边形 ABCD中，AC 7 ,CD 2AD , ADC1)求 CAD 的正弦值；2)若 BAC 2 CAD ，且 ABC的面积是 ACD面积的 4 倍，求

6、AB的长.22已知正项等比数列 an 满足 S2 6， S3 141)求数列 an 的通项公式；2)若 bn log 2 an ，已知数列1bnbn 1的前 n项和为 Tn 证明： Tn124已知数列 an的前 n项和 Sn2nn2223 已知函数 f(x) x 对于任意的 x0，2 ，不等式 f(x) a成立，试求 a的取值范围2ax1a，aR.fx(1) 若 a 2，试求函数 y(x>0) 的最小值；x1)求数列 an 通项公式；2)令 bn1，求数列 bn 的前 n项和 Tn. anan 1425在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，且cosA 52 B C(1

7、)求 sin2cos2A 的值；2(2)若 b 2， ABC的面积 S 3，求 a的值26首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某 单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可 利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600吨，月处理成本12y （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似地表示为yx2 200x 80000 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；

8、如果不获利，则需要国家至少补贴 多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除、选择题1D 解析： D 【解析】2设公比为 q，由已知得 a1q2 a1q8 2 a1q4 ，即 q2 2 ，又因为等比数列 an 的公比为 正数，所以 q2 ，故 a1 a21 2 ，故选 D.1 q 2 2 2C 解析： C【解析】 【详解】x y1 1因为直线 1 a 0,b 0 过点 1,1 , 所以 + 1 , 因此a ba b（4a b）（1+1） 5 b+ 4a 5 2 b 4a 9 , 当且仅当 b 2a 3时取等号 ,所以选 a b a b a bsinA，进而利用二倍角余C

9、. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不 等式中“正” （即条件要求中字母为正数 ） 、“定” （不等式的另一边必须为定值 ）、 “等” （等号取得的条件 ） 的条件才能应用，否则会出现错误 3C 解析： C 【解析】 【分析】 根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得 弦公式得到结果 .【详解】 acosB 4c b cosA sinAcosB4sinCcosAsinBcosA 即 sinAcosB+sinBcosA4cosAsinCsinC4cosAsinC0<C<，sinC 01 4cosA，即 cosA1，那么 co

10、s2A22cos2A故选 C点睛】 本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题4A解析： A解析】 由等差数列的性质得， a5 a6 28 a1 a10 ， 其前 10项之和为10 a1 a10210 2810 28 140 ，故选 A.25C解析： C【解析】【分析】由已知条件推导出（ n2n） d<2n2d，从而得到 d>0，所以 a7<0，a8>0，由此求出数列 Sn 中最小值是 S7【详解】 （ n+1） Sn< nSn+1 ，Sn< nSn+1 nSnnan+1即 na1n n 1 d 2< na1+n d ，2整

11、理得（ n2 n） d<2n2dn2n2n2 n2n<0d>0a8 8 < 1< 0a7a7< 0， a8> 0 数列的前 7 项为负， 故数列 Sn 中最小值是 S7 故选 C【点睛】本题考查等差数列中前 n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的灵活运用6C解析： C【解析】【分析】设 BC CD 1，计算出 ACD 的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC 【详解】如下图所示，不妨设 BC CD 1，则 AB 2，过点 D 作 DE AB ，垂足为点 D ， 易知四边形 BCDE 是正方形，则 BE CD 1

12、， AE AB BE 1 ， 在 Rt ADE 中， AD AE2 DE22 ，同理可得 AC AB2 BC25，在 ACD中，由余弦定理得 cos DAC AC2 AD2 CD2 5 2 12 3 10 ， 2AC AD 2 5 2 10 故选 C【点睛】 本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时， 弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题首先应将三角形的边长求出来，结合余7A解析： A【解析】试题分析：当 n1 时， a1S1当n2时，anSnSn 1n2n12n ,把 n 1 代入上式可得a13 .综上可得an32,nn,n2n,n.所以 bn1为奇数且 n 1.数列 bn 的前 50

13、项3,n2n,n2n, n为偶数232和为24 3 49L 4925 2226 L 505049.故 A 正确 .考点： 1 求数列的通项公式 ;2 数列求和问题 .8C 解析： C 【解析】 【分析】 数列 an ，是等比数列，公比为 2，前 7 项和为 1016，由此可求得首项 a1 ，得通项公式， 从而得结论【详解】Q 最下层的 “浮雕像 ”的数量为 a1，依题有：公比 q 2,n 7,S a1 1 2 1016 ，解 7 1 2得 a1 8，则 an 8 2n 1 2n 2 1 n 7,n N* ， a3 25,a5 27 ，从而 a3 a5 25 27 212, log2 a3 a5

14、 log2 212 12 ，故选 C【点睛】 本题考查等比数列的应用数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后 利用数列的知识求解9A 解析： A 【解析】 【分析】 先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择 . 【详解】因为 cos2 A b c ，所以2 2c1 cosA b c , ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0, 因此2 2c cosC 0， C,选 A.2 【点睛】 本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题 . 10D 解析： D 【解析】 【分析】22 由条件可得 a4，

15、 a7 的值，进而由 a10 a7 和 a1 a4 可得解 .a4a7【详解】a5a6 a4a78Q a4 a7 2 a42,a7 4或 a4 4,a72.由等比数列性质可知a102 a78,a12a4 1或 a102a77 1,a12 a48a4a7a4a7a1a107故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题11A解析： A【解析】【分析】利用等比数列 an 的性质可得 a62 a4a8 ，即可得出【详解】设 a4与 a8的等比中项是 x 由等比数列 an 的性质可得 a62 a4a8， x a615 a4 与 a8 的等比中项 x a62548 故选 A 【点睛】本题

16、考查了等比中项的求法，属于基础题12B解析： B【解析】试题分析： 如下图：BAC 30o由已知，在 ABC中， ABC 105o, ACB 45o,BC 5 6 ,从而可得：由正弦定理，得：AB 10 3 ,AB 5 6sin 45o sin 30o那么在 Rt ADB中， ABD 60o, AD ABsin 60o 10 3 3 15，2 33 即旗杆高度为 15 米，由 15 50 ，知：升旗手升旗的速度应为 （米 /秒）10 10 故选 B 考点：解三角形在实际问题中的应用二、填空题13 3+54【解析】【分析】由 a+b2 得出 b 2a 代入代数式中化简后换元 t 2a1 得 2a

17、t+1 得出 1<t<3 再代入代数式化简后得出 2t6t-（t2+5）然后在分 式分子分母中同时除以 t 利用基本不等解析】 分析】由 a+b2得出 b2a，代入代数式中，化简后换元 t2a1，得 2a t+1，得出 1<t< 3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值【详解】解：由于 a+b2，且 a>b>0，则 0< b<1<a<2， 所以，令 t2a1（1， 3），则 2at+1， 所以，当且仅当 ，即当时，等号成立因此，的最小值为【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值

18、，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能 力，属于中等题1410【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何 意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如 图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时解析： 10【解析】【分析】 画出不等式组表示的可行域，由 z 2x y 得 y 2x z ，平移直线 y 2x z ，根据 z的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值【详解】 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示由 z 2x y 得 y2x z 平移直线 y距最大，此时z ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 A

19、时，直线在 y 轴上的截 z 取得最大值2x0 x 6 ，解得 ， y2xy4由y2故点 A 的坐标为 (6, 2) ，所以 zmax 2 6 2 10 故答案为 10 【点睛】 用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函 数中 z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种， 其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域15【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关 系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】其中且与共线 即当且仅当即时取等号的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析： 2 2

20、【解析】【分析】 y2根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出 x ，利用xx 基本不等式求得其最小值，得到结果 .【详解】r1,x ，r其中 x 0 ，rrab x, y2，且 ar 与 b 共线1y2x x ，即2 yx2yx2 22 x2 2 ，当且仅当 x2即 x 2 时取等xxxxy的最小值为2 2 .x【点睛】 该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用 基本不等式求最值，属于简单题目 .168【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的ABC及其内部其中 A（22）B（）C（32）设z=F（xy）=3x+y

21、将直线 l：z=3x+y进行平 移当l经过点A（22）时目标函数 z达解析： 8【解析】【分析】表示的平面区域，53得到如图的 ABC 及其内部，其中 A（2，2）， B（ ,）,C（3，2）22设 z=F（x，y）=3x+y，将直线 l：z=3x+y 进行平移，当 l 经过点 A（2， 2）时，目标函数 z达到最小值z 最小值=F（2，2） =8故选： C175【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函 数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取 解析： 5【解析】【分析】 由约

22、束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方 程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论 .详解】xy2作出变量 x, y满足 2x 3y 9的可行域如图，x0由 z 2x y 知, y 2x z ， 所以动直线 y 2x z的纵截距 z 取得最大值时， 目标函数取得最大值，xy2由 得 A 3, 1 ，2 x 3 y 9 结合可行域可知当动直线经过点 A 3, 1 时， 目标函数取得最大值 z 2 3 1 5 ，故答案为 5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题 . 求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”

23、：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.18-10 【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点 时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析： -10【解析】 作出可行域如图所示：x zx z由 z x 3y 得 y ，平移直线 y ，由图象可知当直线经过点 A 时，直线 3 33 3xzy 的截距最大，此时 z 最小33x1由 得 A（ 1,3） ，此时 z 1 3 3 10 xy2故答案为 1019【解析】作出不

24、等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC构成其中作出直线显然点 A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为 点 A 到直线的距离的 2 倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 解析： 2 55【解析】作出不等式组所表示的可行域 1 ，如图阴影部分，由三角形 ABC 构成，其中A（1，1）,B（3，0）,C（1，2） ，作出直线 2x y 0 ，显然点 A到直线 2x y 0的距离最近，由其几何意义知，区域2 内的点最短距离为点 A 到直线 2x y 0 的距离的 2倍，由点到直线的距离公式有： d间的最近距离为 255 ，即 CD2122 122555 ，所以区域 1

25、内的点与区域 2 内的点之5点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题 . 巧妙识别 目标函数的几何意义是解答本题的关键 .20【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而 故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关 系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析： 2 3n 1 1【解析】【分析】待定系数得到 an 13 an，得到【详解】因为 an 满足 an 1 3an 2 ， 所以 an 13 an，即 an 1 3an 2 ，得到 1 ， 所以 an 1 1 3 an 1 ， 而 a1 1 2 ，3为公比

26、的等比数列，故 an 1 是以 2 为首项， 所以 an 1 2 3n 1， 故 an 2 3n 1 1. 故答案为： 2 3n 1 1. 【点睛】 本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题三、解答题21 （1）（2） 7【解析】【分析】（1） ACD 中，设 AD x（x 0） ，利用余弦定理得到 x 1 ，再利用正弦定理得到答案 （2）利用面积关系得到 AB sin BAC 4 AD sin CAD. 化简得到 AB cos CAD 2AD.根据（ 1）中sin CAD 21解得答案 .71所以 1 AB AC2sin BAC 4 1 AD AC sin2CAD

27、 ，【详解】（1）在 ACD 中，设 ADx(x0)，由余弦定理得 7= x2 4x22 x 2x2 cos3整理得 7 x2 7 ，解得 x 所以 AD 1,CD 2.1.DCAC217由正弦定理得 sin DAC2sin3，解得 sin DAC（2）由已知得 S ABC 4 SACD ，7.所以 AB 2sinCAD cosCAD4 AD sinCAD,于是 AB cosCAD 2 AD21因为 sin CAD 21 ，且CAD为锐角，所以cos CAD7代入计算 AB2 7 2 1化简得 AB sinBACCAD.4 AD sin因此 AB71 sin2 CAD 277【点睛】 本题考查

28、了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能 力.22 （1） an 2n；（2）见解析 .【解析】【分析】（1）由等比数列前 n 项和公式求出公比 q和首项 a1 ，得通项公式；2）用裂项相消法求出和 Tn ，可得结论 详解】Q S26， S314 ，显然 q 1，a112 q6a1 21q解得 1a113q314q21qnan 2n ；2)证明：由( 1)知， bnn，则bnbn 11 1 1 n(n 1) n n 1Tn b1 b2bn 1 bn11111 1 1 1 11n 1 n n n 1 n 1223QnN*Tn1点睛】本题考查等比数列的前n 项和与通项

29、公式，考查裂项相消法求数列的和基本量法是解决 等差数列和等比数列的常用方法裂项相消法、错位相减法、分组(并项)求和法是数列 求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和23 ( 1) 2；( 2) 3,4解析】 分析】2)先化简不等式，再根据二次函数图像(1)根据基本不等式求最值，注意等号取法，( 确定满足条件的不等式，解不等式得结果 . 【详解】2(1) 依题意得1-4.f (x) x2-4 x 1 y= = =x+ xx11因为 x>0, 所以 x+ 2. 当且仅当 x= 时 ,xx即 x=1 时,等号成立 . 所以 y-2.所以当 x=1时,y= f (x) 的最小值为 -2.x(2) 因为 f(x)-a=x 2-2ax-1,所以要使得“对任意的 x0,2, 不等式 f(x) a成立”只要“x 2-2ax- 10在 0,2 恒成 立”.不妨设 g(x)=x 2-2ax-1,则只要 g(x) 0在 0,2 上恒成立即可 .所以 g(0)g(2)0,0,0-0-1 0,4-4a-1 0,33解得 a 3 ,则 a 的取值范围为, .44【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑 ”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”即（条件要求中字母为正数 ）、“定”不（等式的另一边必须为定值 ）、“等 ”等（号取得的条件 ） 的条