17-空间向量与立体几何-及其运算题库

1、空间向量及其运算"阿£ 知识框架,空丽量：L 一潮向§的语与雌J空司向sfi翊症a）两个向量的夹角与数量积牺a向量的百福半帝盯百角半标云篁空间向堂在立体几何中的应用：/屋的方向向量与平面的法向量的假念；空间®至与立先何附平行关系：啜大与*重合）="匕；I （设整占，%的方向向量分31为电，平面小£的法向量为小工）线面的平行共系：仪或4 ua o存在买数口丁，使二灯”十了以；t其中石，曾为平面工内的两个不联的向量）面面的平行关系：a/f C a -重合、o* 云；直与画：4 1, o1_L o彳伺=0 ；85© =卜0乂1,3

2、）|（ 8为 1，1 舸角,6e（0,3）；R殿面垂直与线面所成角：?i J_ a。，3 ；cosd = sin。豆（6为&与平面1所成的角.0£（。，口， 2血dM直与面面所成角（_®fti）: , , a J. ©=% l«j oq .0=口 ；sin6 = sin（豆，帚（8为平面a, 0所生成的二面角，&e 0, tt）glMlfe 高考要求空间向量在 立体几何中 的应用要求层次重难点空间直 角坐标 系空间直角坐标系B（1）空间直角坐标系了解空间直角坐标系，会用空间直 角坐标表示点的位置.会推导空间两点间的距离公式.（2）空间向量

3、及其运算了解空间向量的概念，了解空间向 量的基本定理及其意义，掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示.空间两点间的距离公 式B空间向 量的应 用空间向量的概念B空间向量基本定理A空间向量的正交分解 及其坐标表示B空间向量的线性运算 及其坐标表示C空间向量的数量积及 其坐标表示C掌握空间向量的线性运算及其坐标 表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表 示，能运用向量的数量积判断向量的共 线与垂直.运用向量的数量积判 断向量的共线与垂直C隹例题精讲13*板块一：空间向量及其运算（一）知识内容1 .在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示. 用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向

4、量.2 .起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或6.在手写向量时，在字母上方加上箭头，如AB.3 .表示向量力的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作1大，有向线段的方向表示向量的方向. 有向线段所在的直线叫做向量的基线.4 .如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于记为a 方.5 .向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似；6 .空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a, b （乃*0）, a /;的充要条件是存在实数x,使。=高.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.共面向量定理：如果两个向量a,不共线，则向量与

5、向量。，方共面的充要条件是，存在唯一 的一对实数x , y ,使c = xa + yb .空间向量分解定理：如果三个向量。，bt "不共面，那么对空间任一向量万，存在一个唯一的有 序实数组 x, y , z ,使 = xa + yB + zc.表达式总+ M + zL叫做向量a, bt 2的线性表示式或线性组合.上述定理中，a, bf 3叫做空间的一个基底，记作，/；",其中，；，/；，3都叫做基向量.由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.7 .两个向量的夹角：已知两个非零向量£，；，在空间任取一点O,作。4 = a, OB = bt JW

6、ZAQB叫 做向量。与力的夹角，记作九，；.通常规定0W6"；Wjt.在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且。，/；）=/；，a）.如果，司= 90。，则称。与方互相垂直，记作8 .两个向量的数量积：已知空间两个向量a, 6,定义它们的数量积（或内积）为：/；=l£ll/；lcos5"；空间两个向量的数量积具有如下性质：(l)a e =1 a Icos(£r > e) ； (2)。_L = a = 0 ；I a F = a a ； (4) a b W a b .空间两个向量的数量积满足如下运算律：(l)(2d)- h = A(a - b)

7、 ； (2) a 6 = B 4 ； (3) (a + 区). c = a . c + B . c .9 .空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系。斗，分别沿工轴，y轴，z轴的正方向引单位向量；，j,"这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底G，N,这个基底叫做单位正交基底.空间直角坐标系6”,也常说成空间直角坐标系。：7,10 .坐标：在空间直角坐标系中，已知任一向量。，根据空间向量分解定理，存在唯一数组a, %, %), 使£ = a/+aJ + %R , %；，分别叫做向量£在；，1,1方向上的分量，有序实数组 (% , 出 , %)叫做向量。在此

8、直角坐标系中的坐标.上式可以简记作£ = (，见，/).若a = (q ,生，)，b = (bt , h2 , b3), 9 -W-W贝!J： a + = (q + ， + % , % +。3); 。一 = (q - ，/ 一 , % 4)； Aa = (24 , Aa2 , Aa3) ； a b = ab + a2b2 + ayb3 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.11.空间向量的平行和垂直的条件：设£ =(%,伉，G),方=(4,2，么)，a1=Ah1a / b (8x6)a = Ab <=> <a2

9、= Ah2 ；% = Ab3a±b<=>ab = O<=> ab + a2b2 + a3b§ = 0 .两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：7,而=Hl=Jb；+b；+b；, a1bl + a2b2 +a3b3(二)主要方法：1 .通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.2 .利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系.(三)典例分析：【例1】已知空间两个动点A(m, 1 + ?，2 + m), B(-m, 3- 2m, 3m),则1411的最小值是【例2】 已知4 = (2,4,5), = (3,

10、 x, y),若aZ?,则尤=, y =.【例3】已知向量。=(0,2,1)5 = (-1,1,-2),则。与/；的夹角为.【例4】已知两个非零向不，石不共线，如果血=4+&,衣=24+此，A力=3耳-3弓, 求证：A,5,C,O共面.【例5】 已知G = (l, 1,0),万=(0, 1, 1), d = (l, 0, 1),万=2-凡 * = d + 2方-5 ,则无*=【例6】已知点A3,0,0),8(0,，0),C(0,0,c),其中血工0,求平面A3C的一个法向.【例7】 若0 + 3万»(71-5母,且(G-祠),(7"55),则不与B的夹角为【例8】关

11、于空间向的四个命题中正确的是()A. OP = -OA + -OBf则尸、A、3三点共线 23B. =2OA-OB-OC t 则M、A、8、C 四点共面C. AABC为直角三角形的充要条件是前 衣=0D.若，儿狗为空间的一个基底，则 +九/； +屋+。构成空间的另一个基底【例9】已知两个非零向怎不共线，如果A* = + , AC = 2e1 +8< ,人万=坛-坛，求证：A, B,C,。共面；【例10】已知A, 8, C三点不共线，对空间中一点尸，满足条件。户=:以+ ：。8 + 2反，试判断：点JU0。与A, 5, C是否一定共面？【例11】设四面体。43c的对边8C的中点分别为P,

12、Q; OB, G4的中点分别为R, S; OC 9居的中点分别为U, V时，试证明三线段P。，RS . i/V的中点值合.【例12】已知斜三棱柱ABC-ABC,设A* = 6, AC； =凡A4； =心 在面对角线AU和棱8C上分别取点M和N,使得AM=RAC；,W1),求证：A/M与向心亍共面.【例13如图，在空间四面体A8C0中，P、。、M、N分别为边AB、AD , BC、8的中点，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向:【例14】平行六面体ABCD-AMCQ中，M为AC和4。的交点，设A8； = a，4“ =九4印=(：，化简:一L+Lj+3；上+上+凝上办演一上,B+乙 22222

13、222【例15如图所示，在平行六面体中，p是CA,的中点，M是CR的中点，N是G2的中点，点。在 C4 上，且 CQ：QA=4:1,设 A* = a, AZ5 = /；, AC： = Z,用基底“，/；,狗表示 以下向:(Dap； (2)am； (3)an；豆.【例 16已知 6 = (5,-2,0), /； = (一1,3, - 2) , 3 = (0,1,2),求( + 5).(B-2c), a + 2b + 2c ；(2)问当实数的值为多少时，坂+工的模最小；问是否在实数入，使得向量。垂直于向量B +问是否在实数储 使得向量。平行于向量5+后:.【例17】设Q/i = a, OB = b

14、9 OC = c9则使A、3、。三点共线的条件是()A. c = a + B. c = ci + -h C. c = 3n-助 D. c = 4a-3b 23【例18】设向量n = (3,5,-4), B = (2,1,8),试确定乙的关系，使/+ /；与z轴垂直.【例19】已知47,0,1), 8(-y,4), C(l,4,7),且A, 8, C三点在同一直线上，求实数.一)，的值.【例20】已知平行六面体ABCO-AFCT/,如图，在面对角线AD',上分别取点M, N ,使4 _ -AM = AADf, BN = ABD (0<2<l),记A8 =。, AD = b .

15、 AAr = c 9(D若用基底表示向量a3、mc. CN.2求证：向量用2与向量a, 2共面.例 21 已知三个非零向 i，j ,及 不共面，i = i + 2j + 3k 9b = 3i + 2j + k 9 c = 7/+ 8y + 9k 9 求证：a9b,c这三个向量共面；【例22】设点O为空间任意一点，点A, 8,C是空间不共线的三点，又点夕满足等式：7)P = xOA + yOB + zOC ,其中x,y,zeR,求证：P，A, 8, C四点共面的充要条件是 x + y + z = .【例23】设向量。与/；互相垂直，向量；与它们构成的角都是60、且面=5, 1/7 1=3,3=8

16、,那么(a + 3c) (3b - 2。)=9 I 2。+ B - 3cl=【例24】已知。和是非零向量,且11 = 11 = 1"-I,求。与。+人的夹角.【例25】已知向。和(不共线，向6 s且(a b)c = S.c)a , 2 = a + c,则()，/»=.【例26】已知工是空间中两两垂直的单位向, m=a+b,n=b-c,则而与的夹角为【例 27】设 l?l=ly 11=2, 2】 + 与，一 3 垂直，a = 4m - n 9 = 7， + 2，贝Ijln 1=, b 1=。，b) =.【例28】已知空间四边形ABC。中，AB±CDf AC1.BD,

17、求证：ADLBC.A【例29】已知向a = Q + l，0,2/l), B = (6,2-1,2),若。/；,则九=, /=.例30若 A(m +1, /? +1,3) f B(2m, n, m-2n),+ 3, 一3,9)三点共线.则 m + =.【例31已知£ = (2,4,x), b = (2, y,2)9 若 1。1=6,且贝lx + y =.Q【例32若向量£ = (1，2), B = (2, -1,2),。/夹角的余弦值为：，贝1/=-【例 33如图，在空间四边形 OA4c 中，3 = 8, AB = 69 AC = 4, BC = 5, ZOAC = 450

18、9 ZOAB = 60°9求。4与8C的夹角的余弦值.【例34】在正方体A8C。-a4Gs中，求二面角A-Q-G的大小.【例35】已知A(2,2,1), B(-l,2,4), C(-2,4,3),。(一 1,4,2),求线段AC、的长；求证：这四点A、B、C、。共面；求证：ab/cd9 ac±bd；求向量AC与AB所成的角.【例36】已知A(0,2,3), 8(-2,1,6),。(1,一1,5),求平面ABC的一个单位法向量；证明：向量工=(3,-4,1)与平面ABC平行.【例37如图，已知矩形A5C。和矩形APQ所在平面互相垂直，点M,N分别是对角线8。，AE的 中点.求

19、证：MN平面COE.【例38】已知A, 3, C三点不共线，对空间中一点尸，满足条件。户=+ Q月+机玩，试判断：点JOP与A, 5, C是否一定共面？【例39如图，已知空间四边形OABC,其对角线。8, AC, A1,N分别是对边OA, 3c的中点，点G在线段MN上，且MG = 2GN,用基底向量方，0氏天;表示向量。匕.o【例40如图，在四面体ABC。中，。，0,加，"分别为边43,从。，3。，8的中点，G为MCO的重心.(D 求证：AG = L(AB + AC + AD).3记 A 片=«, AC = h9 AD = c9 用基底a,/；，c表示向量 86、0C、PN

20、 .【例41】设 1)1=1,面=2,且£,/；的夹角为 120。，则0 + &.(】-2) =, I2Z + /；I=.【例42】已知)，B, 2是空间中两两垂直的单位向量，m = a + b , n = b-c ,则;与n的夹角为 (例43】校长为。的正四面体ABCD中，AB BC AC 8力的值等于.【例44已知a = (l,2,-2), 5 = (3,4,0), " = (-2,-4,3),求 a + B + c , 3b + 2c ；(2)计算：(a + + c).(3加 + 2c) 9 a + b + c 9 (a 9 a+ b + c)；(3)写出与向

21、量£ + $ +(：平行的单位向量；写出与向量£3同时垂直的，且长度为何的向量；当实数2的值为多少时，a±(b+Ac).【例45】【例46】已知)= (5,-2,0),5=(-1,3,-2). 2 = (0,1,2),求(a + b) (b - 2c) , a+ 2b + 2c i问当实数的值为多少时，方+苏的模最小；问是否在实数储 使得向量。垂直于向量B + &：；问是否在实数4,使得向量。平行于向量(2004年北京)如图，在正方体A8CD-A4Gq中，夕是侧面38CC内一动点，若尸到直线8c与直线G2 的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线

22、 B.圆 C.双曲线 D.抛物线【例47】【例48】(2004年北京)在正方体中，。是侧而88£C内一动点.若P到直线CR与它到直线BC的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是;若P到直线CR的距离是它到直线BC的距离的;，则动点P的轨迹所在的曲线是若P到直线GR的距离是它到直线8c的距离的2倍,则动点。的轨迹所在的曲线是(2000年上海春)四棱锥P-ABC。中，底面 A5CD是平行四边形，aQ =(2,-1,-4), AZ> =(4,2,0), 而=(-1,2,-1).求证：姑_1平面钻8.求四棱锥P - ABCD的体积；对于向量£ =区，升，4),B =(z，%，z

23、. ) = 3，%，Z3),定义一种运算：(axb) c=内力Z3 +占4 +x3ytz2一%)%3 - Wi，试计算CAAx而).衣的绝对值；说明其与四棱锥尸-ABCZ)的体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB x AD)- AP的绝对值的几何意义.【例49】（2004年北京）如图，在正方体A8CD-A4G，中，p是侧面3片G。内一动点，若尸到直线8。与直线GR 的距离相等，则动点尸的轨迹所在的曲线是（A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线【例50】（2007北京东城二模）如图，在四棱锥P-ABCO中，侧面姑。为正三角形，底面ABCO为正方形，侧面鬼。_1底 面458. M为底面A3co

24、内的一个动点，且满足PM=MC.则点M在正方形A5CQ内的 轨迹为（）比分别在二面角的两个面内，且都垂直【例51】在位的二面角的棱上，有A,8两点，线段AC、于已知AB = 4, AC = 69 BD = 8 .求CO的长度；求CD与平面a所成的角.【例52】（2000年上海春）四棱锥尸-他8中，底面A5c。是平行四边形，加=（2,-1,-4）, Xd =（4,2,0）, 而=（-1,2,-1）.求证：必_1平面450求四棱锥尸-ABCD的体积；（3）对于向量£ =（%，K , 4）,5 = （4，%，4）9 2 = （&，X，q）,定义一种运算:（"xB）2=玉为

25、+&一芯为乙2 一%，R3一天为1，试计算(而X而).丽的绝对值；说明其与四棱锥尸-ABC。的体积的关系，并由此猜想向量 这一运算(AB xAD)AP的绝对值的几何意义.地州里课后作业【例53】已知向量 =(0,2,1), = (-1,1,-2),则公与的夹角为()A. 0°B. 45° C. 90° D. 180°【例54】设“ = (-2,2, 5)、)=(6,-4, 4)分别是平面a/的法向£ 则平面的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定【例55】已知A4BC的三个顶点为A(3,3,2), 5(4,-3,7)

26、, C(0,5,l),则8c边上的中线长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【例56】已知向a = (2/，m，2),方=。，"1 + 1, -5) 9若。，8垂直，则 +。=【例57】已知正方体A8C。一 A4G2中，A后=1而一若荏=八湎+义,万+陋)，则4【例58】已知向£ = (2,-3,0)4=伙，0,3),若。与/；成120。角，贝必=.【例59已知刁= (1,1,0), /； = (-1，0,2),且依+/?与垂直，贝必的值为()A. 1 B. 1 C. 3D. Z555【例60】已知0。垂直正方形ABC。所在平面，AB = 29 £是总的中点，

27、cos<DP,AE>=-.以A4、 3DC、OP所在直线分别为x轴、)，轴、z轴建立空间坐标系，则点上的坐标为;又在平面EW内有一点尸，当点F是 时，EF上平面PCB.【例61】空间四边形。48c中，QB = OC, ZAO8 = ZAOC = m，贝Ijcosc),灰：的值是()A. 1 B.正 C. -1 D. 0222【例62若向。= (1, 0, 2),方=(0, 2, 1)确定平面的一个法向= = (x, y, 2),则向c = (l,后，2)在'上的射影的长是【例63】在平行六面体中，下列四对向:A月与G"；AC；与3D；;AD；与C.B；4)与BC,

28、其中互为相反向的有对，贝|J=()A. 1B. 2C. 3D. 4【例64已知a = (2, - 1,3)高=(-1,4,-2),二(7,5,/1),若九九Z三向共面，则等于()A. B. 9 C. D, 777【例65】空间四边形(M5C中，OAa.OBb.OCc ,点M在OA上，且2。面=/加，N为8c的中点，则a/N=.(用向量£，九2来表示.).【例66若办均为单位向，且&画= 60。,则+留=;【例67】已知I。1=2,=3,且。与8的夹角为三，< =* + 2/? , d = ma-b 9若则加=. 2【例68已知 = (2,2,1) , /> = (

29、4,5,3), a = .B = 0, 且贝。=【例69】已知I力=1, 11=1 , 13-2/7 1=3,贝小32 + 加=.【例70】已知空间四边形ABCO,连结AC, 5。，设M , G分别是BC, CD的中点，化简下列各表达式,并标出化简结果向:(Dab + bc + cd；()AB + -(BD + BC)； 2(S)AG-(AB + AC). 2【例71】已知向量)= (0,3,3), t = (-l,l,0),则n与的夹角为;【例72】已知向a = (l，l，0), B = (-l,0,2),且U+ /；与2a-互相垂直，则上的值是.【例73已知丽= (1,2,3),丽= (2,1,2),丽= (1,1,2), O为坐标原点，点。在直线OP上运动，则当豆型取得最小值时，点。的坐标为【例74】已知点A,8的坐标分别为(-2,3,5),(1,-1,-7),则向量A8的相反向量的坐标是【例 75】已知三棱锥。-ABC, OA = 49 03 = 5, OC = 3, ZAQ3 = ZB" = 60° , ZCOA = 900 9 M、N分别是棱3、BC的中点，求：直线MN与AC所成角的余弦值.【例76已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，RSA = SB = SC = 19 M9 N分别是AB,