中值定理与导数习题

1、习题3一、填空题1设，则有_个根，它们分别位于_区间；2函数在上满足拉格朗日定理条件的；函数与在区间上满足柯西定理条件的；4函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；6；7;8函数的单调减区间是；9设在可导，则是在点处取得极值的条件；10函数在及取得极值，则；11. 函数的极小值是;12函数的单调增区间为；13. 函数的极小值点是；14. 函数在上的最大值为，最小值为；14. 函数在的最小值为;15. 设点是曲线的拐点,则;16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;17. 曲线的上凹区间为;18. 曲线的拐点为;19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;

2、20. 曲线的拐点为;21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为;23. 曲线在的曲率;24. 曲线的曲率计算公式为;25. 抛物线在顶点处的曲率为;二. 单项选择题1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在内可导,且是在内至少存在一点,使得成立的( ).必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要2. 函数，则（ ）.在任意闭区间上罗尔定理一定成立； 在上罗尔定理不成立；在上罗尔定理成立 ； 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,则必有( ).; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是(

3、).; ; ;5. 函数,它在内( ).不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且;满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.6. 若在开区间内可导,且是内任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ).;7. 设是内的可导函数,是内的任意两点,则( ) .在之间恰有一个,使得在之间至少存在一点,使得对于与之间的任一点,均有8. 若在开区间内可导,且对内任意两点恒有,则必有( ).(常数)9. 已知函数,则方程有( ).分别位于区间内的三个根;四个根,它们分别为;四个根,分别位于分别位于区间内的三个根;10. 若为可导函数,为开区间内一

4、定点,而且有,则在闭区间上必总有( ).11. 若,则方程( ).无实根 有唯一实根 有三个实根 有重实根 12. 若在区间上二次可微,且 (),则方程在上( ).没有实根 有重实根 有无穷多实根 有且仅有一个实根13. 求极限时,下列各种方法正确的是( ). 用洛必达法则后,求得极限为0;因为不存在,所以上述极限不存在;原式=因为不能用洛必达法则,故极限不存在;14. 设为未定型, 则存在是也存在的( ).必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件15. 若与可导, 且,则( ).必有存在,且 必有存在,且如果存在,且 如果存在,不一定有16. 函数在( ).单调增加 单调减少 单调

5、增加,其余区间单调减少 单调减少,其余区间单调增加17. 已知在上连续,在内可导,且当时,有,又,则( ).在上单调增加, 且;在上单调增加, 且;在上单调减少, 且;在上单调增加, 但正负符号无法确定.18. 当时,有不等式( )成立.当时,当时当时,当时19. 函数的图形,在( ).处处是凸的; 处处是凹的;为凸的,在为凹的 为凹的,在为凸的.20. 若在区间内,函数的一阶导数,二阶导数,则函数在此区间内是( ).单调减少,曲线上凹; 单调增加,曲线上凹;单调减少,曲线下凹 单调增加,曲线下凹.21. 曲线的凹凸区间是( ).为其凹区间; 为其凸区间; 当时,曲线是凸的, 时是凹的;当时,

6、曲线是凹的, 时是凸的;22. 曲线( ).有一个拐点; 有二个拐点; 有三个拐点; 无拐点;23. 若点为曲线的拐点,则( ).必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.24. 设函数在处有,在处不存在,则( ).及一定都是极值点; 只有是极值点;及都可能不是极值点; 及至少有一个点是极值点.25. 曲线 ( ).有极值点,但无拐点; 有拐点,但无极值点;是极值点, 是拐点; 既无极值点又无拐点.26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;极大值不

7、一定是最大值,极小值不一定是最小值;极大值必大于极小值.27. 函数在区间上的最小值为( ).; 0 ; 1 ; 无最小值.28. 指出曲线的渐近线( ).没有水平渐近线,也没有斜渐近线;为垂直渐近线,无水平渐近线;既有垂直渐近线,又有水平渐近线;只有水平渐近线.29. 曲线的渐近线有( ).1条 ; 2条 ; 3条 ; 4条 ;30. 设在内可导,且对于任意,当时有,则( ).对于任意 ; 对于任意 ; 函数单调增加 ; 函数单调增加.31. 设函数在上则或的大小顺序是( ).; ; .32. 设有二阶连续导数,且,则( ).是的极大值; 是的极小值; 是曲线的拐点; 不是的极值, 不是曲线

8、的拐点.33. 在区间内,方程( ).无实根 ; 有且仅有一个实根; 有且仅有两个实根; 有无穷多个实根34. 设时,与是同阶无穷小,则为( ).1 ; 2 ; 3 ; 4 .35. 函数不可导点的个数是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 设函数在的某个邻域内连续，且为其极大值，则存在当时，必有（ ）。； ；37 函数在取得极值，则（ ）。0 ； ； 1 ； 2 。38 下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（ ）。； ； 。39 设为正整数，则（ ）。； 1 ； 0 ； 40 =（ ）。1 ； ； ； 。三. 计算题1. 求下列极限: ;2.求极限: ;3.求极限: ;4. 求

9、极限: ; 5. 求极限: ;6. 求极限: ;7. 求极限: ;8. 求极限:; 9. 求极限: ; 10. 求极限: ; 11. 求极限: ; 12. 求极限: ;13. 求极限: ; 14. 求极限: . 15. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4. 16. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3. 17. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 18. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式. 19.求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 20. 判定函数f(x)=a

10、rctan x-x 单调性. 21. 判定函数f(x)=x+cos x (0£x£2p)的单调性.22. 确定下列函数的单调区间: y=2x3-6x2-18x-7;23. 确定下列函数的单调区间: (x>0); 24. 确定下列函数的单调区间: ;25. 确定下列函数的单调区间: y=(x-1)(x+1)3;26. 确定下列函数的单调区间: 27. 确定下列函数的单调区间: y=xne-x (n>0, x³0);28. 确定下列函数的单调区间: y=x+|sin 2x|. 29. 判定下列曲线的凹凸性: y=4x-x2 ;30. 判定下列曲线的凹凸性:

11、 (x>0);31. 判定下列曲线的凹凸性: y=x arctan x ; 32. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: .y=x3-5x2+3x+5 ;33. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y=xe-x ;34. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: y=(x+1)4+ex ;35. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y=ln(x2+1);36. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 37. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点

12、.38. 求函数的极值: y=2x3-6x2-18x+7; 39. 求函数的极值: y=x-ln(1+x) ; 40. 求函数的极值: ; 41. 求函数的极值: ; 42. 求函数的极值: y=ex cos x ; 43. 求函数的极值: ; 44. 求函数的极值: y=x+tan x . 45. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.46. 求下列函数的最大值、最小值: y=2x3-3x2 , -1£x£4; 47. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.48. 问函数(

13、x<0)在何处取得最小值？49. 问函数(x³0)在何处取得最大值？50. 求椭圆4x2+y2=4在点(0, 2)处的曲率.51. 求曲线y=lnsec x在点(x, y)处的曲率及曲率半径.52. 求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径. 53. 求曲线x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0处的曲率.四.证明题1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上的正确性.3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.

14、4. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f ¢(x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间. 5证明恒等式: (-1£x£1). 6若方程a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.7设a>b>0, n>1, 证明: nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) .8设a>b>

15、0, 证明: 9证明下列不等式:(1)|arctan a-arctan b|£|a-b|;(2)当x>1时, ex>e×x .10证明方程x5+x-1=0只有一个正根. 11证明下列不等式: 当x>0时, ;12. 证明下列不等式: 当x>0时, ;13. 证明下列不等式: 当时, sin x+tan x>2x; 14. 证明下列不等式: 当时, ; 15设=0, 证明多项式f(x)=a0+a1x+× × ×+anxn在(0,1)内至少有一个零点.16设f(x)在0, a上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)

16、=0, 证明存在一点xÎ(0, a), 使f(x)+xf ¢(x)=0.17设0<a<b, 函数f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点xÎ(a, b)使.18设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f ¢(x)|<g¢(x), 证明: 当x>a时, |f(x)-f(a)|<g(x)-g(a). 19设函数在上连续，在内具有二阶导数，且连接点和的直线与交于点，证明：存在，使.20. 设在内连续, 在内可导,且为单调增函数,令,证明:在为单调增函数.21. 设函数对一切,

17、满足方程,证明:当在点处取得极值,则此极值必是极小值.22. 证明: 当时,.五.应用题1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？2. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆, 截面的面积为5m2, 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？ 3. . 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角j取多大时, 做成的漏斗的容积最大？4. 求内接于椭圆 且两边分别平行于坐标轴的面积最大的矩形.5. 欲作一个容积为3000的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积造价的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省?6.