微专题1：与双切点有关的一类问题(含解析)

1、1 微专题：与双切点有关的一类问题【原题呈现】 （南通市2019 届高三第二次调研测试第19 题第 3 问）已知函数21( )2ln2f xxxaxa，r ，是否存在一条直线与函数( )yf x 的图象相切于两个不同的点？并说明理由【典例】已知217( )ln,( )(0),22f xx g xxmxm直线l与函数( ),( )f xg x 的图像都相切，且与( )f x 图像的切点为(1, (1),f则 m 等于. 【变式 1】若存在过点(1,0) 的直线与曲线3yx 和21594yaxx都相切，则 a 等于. 2 【变式2】已知函数( ), ( )ln,.f xx g xax ar 若曲线

2、( )yf x 与曲线( )yg x 相交，且在交点处有相同的切线，求( )g x 的解析式及该切线的方程. 【变式3】二次函数222yxx与2(0,0)yxaxb ab的图像在它们的一个交点处互相垂直，求14ab的最小值 . 【变式 4】已知函数325( )2f xxxaxb（,a b为常数），其图像是曲线c.已知点a为曲线c上的动点，在点a处作曲线c的切线1l 与曲线c交于另一点b， 在点b处做曲线c的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k .问：是否存在常数，使得21kk ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3 【感悟高考 】 （四川高考题改编）已知函数22,0

3、( )ln,0 xxa xf xx x，其中a是实数，设11(,()a xf x,22(,()b xf x为该函数图象上的两点，且12xx ，若函数( )f x 的图象在点a ，b处的切线重合求证：ln21a【拓展延伸 】已知函数2( )f xxxt0()t，( )lng xx ，直线l与函数( )f x ，( )g x 的图象都相切.试讨论直线l的条数，并说明理由.4 再问若把0()t去掉呢？【小试牛刀 】已知函数( )exf x，( )lng xx ，是否存在直线l，使得l同时是( )f x ，( )g x 的切线？说明理由 . 5 微专题：与双切点有关的一类问题【学习目标】1. 熟练掌握

4、消元法处理一类双切点问题的策略；2. 体会设而不求、转化与化归、函数与方程等数学思想. 引入：同学们，函数图象的切线问题内涵丰富，一直是高考重点考查的内容，而双切点问题更是重中之重.今天这节课，我跟大家一起来研究与双切点有关的一类问题首先，一起来回顾一下二模考试第19 题的第 3 问.【原题呈现】 （南通市2019 届高三第二次调研测试第19 题第 3 问）已知函数21( )2ln2f xxxaxa，r ，是否存在一条直线与函数( )yf x 的图象相切于两个不同的点？并说明理由【思路分析 】1. 设两个不同的切点111()t xy，222()t xy，.2. 分别写出切线方程1l ：111(

5、)()()yf xfxxx，2l ：222()()()yf xfxxx3. 因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().fxfxf xx fxf xx fx，4. 研究方程组122211222112ln2ln22x xxxxx，是否有解【解题策略 】方法 1：由122211222112ln2ln.22x xxxxx，消去2x 得，22112122ln022xxx 令212xt，由120 xx 与122x x，得(01)t，6 记1( )2lnp tttt，则222(1)21( )10tp tttt，所以( )p t 为 (01)，上的单调减函数，所以( )(1)

6、0p tp从而 式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数( )f x 的图象有两个不同的切点方法 2：由122211222112ln2ln22x xxxxx，得：2211212121221221()()2ln2xxxxxxxxxxx xxx 令12xtx，由120 xx ，得(01)t，记1( )2lnp tttt，则222(1)21( )10tp tttt，所以( )p t 为 (01)，上的单调减函数，所以( )(1)0p tp从而 式不可能成立， 所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数( )f x 的图象有两个不同的切点师：在以上两种解法中主要用到了怎样的解题策略？消元方

7、程是否有解 （请学生回答）【总结提炼 】双切点问题中多变量的处理方法主要就是消元法，常见的消元法有带入消元、齐次化消元、整体消元等，消元以后转化为研究方程根的问题【感悟高考 】 （四川高考题改编）已知函数22,0( )ln,0 xxa xf xx x，其中a是实数，设11(,()a xf x,22(,()b xf x为该函数图象上的两点，且12xx ，若函数( )f x 的图象在点a ，b处的切线重合求证：ln21a【证】当0 x时，( )22fxx；当0 x时，1( )fxx.所以当120 xx或210 xx时，12()()fxfx，所以120 xx .7 函数( )f x 的图象在点11(

8、,()xf x处的切线方程为：21111(2)(22)()yxxaxxx，即211(22)yxxxa .函数( )f x 的图象在点22(,()xf x处的切线方程为：2221ln()yxxxx，即221ln1yxxx.所以12221122ln1xxxxa，由及120 xx 知，110 x.由消去2x 得，2211111ln1ln(22)122axxxx. 令122tx，(0t， ，则112tx.记22( )(1)ln1ln24ttp tttt ，(0t， ，则2122( )1022tttp ttt，所以( )p t 在 (0， 是减 函数 .则( )(2)ln 21p tp，所以ln21a.

9、 师：刚才两个问题都涉及到一个函数的双切点问题，如果是两个函数又该如何处理呢？【拓展延伸 】已知函数2( )f xxxt0()t，( )lng xx ，直线l与函数( )f x ，( )g x 的图象都相切.试讨论直线l的条数，并说明理由.【解】设直线l分别切( )f x ，( )g x 的图象于点11(,()a xf x,22(,()b xg x. 由( )21fxx，得l的方程为：21111()(21)()yxxtxxx. 由1( )gxx，得l的方程为：2221ln()yxxxx. 所以12212121ln1xxxtx，消去1x 得：22222(1)ln(1)04xxtx. 8 令22(

10、1)( )ln(1)4xh xxtx，0 x，则23331121(21)(1)( )222xxxxxhxxxxx. 令( )0h x，得：1x. 当(0 x， 时，( )0h x，( )h x 单调递减；当(1x，时，( )0h x，( )h x 单调递增 . 从而min( )(1)h xht . 当0t时，min( )0h x，方程在(0，存在唯一解，即存在一条满足题意的直线. 当0t时，min( )0h x，方程在(0，无解，不存在满足题意的直线. 师：从刚才的分析过程中，我们可以体会到，两个函数跟一个函数的处理方法其实是一样的，还是通过消元转化为方程根的问题.【小试牛刀 】已知函数( )

11、exf x，( )lng xx ，是否存在直线l，使得l同时是( )f x ，( )g x 的切线？说明理由 . 【解】假设直线l分别切( )f x ，( )g x 的图象于点11(,()a xf x,22(, ()b xg x. 由( )exfx，得l的方程为：111ee ()xxyxx. 由1( )gxx，得l的方程为：2221ln()yxxxx. 所以112121ee (1)ln1xxxxx，消去2x 得：111e (1)1xxx. 令( )e (1)1xh xxx，则( )e (2)1xh xx. 令( )e (2)1xp xx，则( )e (3)xp xx . 令( )0p x，得3x. 当(3)x， 时，( )0px；当(3)x，时，( )0p x；所以( )p x 在 (3)， 上单调递增，在(3)，上单调递减 . 即( )hx 在 (3)， 上单调递增，在(3)，上单调递减 . 9 所以3(3)1e( )0hh x，所以( )h x 单调递减 . 又(1)20h，2(2)e30h，根据零点存在性定理可得( )h x 在 (1，上存在唯一零点，即方程有唯一解. 所以