知识点与常见题型总结(教师版)

1、知识点复习与基本题型总结1平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形这个定义包含两层意义： 四边形； 两组对边分别平行2对角线的定义平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线3平行四边形的性质 从边看：平行四边形的对边平行且相等 从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补 从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积5.平行四边形的判别方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形

2、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形6.平行四边形的性质与判定的区别平行四边形的性质是指平行四边形的边,角 ,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形7.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质 具有平行四边形的一切性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 矩形是轴对称图形,它有两条对称轴9.矩形的判定 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形10.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11.矩形对角线产生的三角

3、形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形12.有关矩形面积的计算面积公式 :矩形面积 =长 宽如图 .矩形 ABCD 的两条对角线相交于O,则 S ABO1S BCO S CDO S ADOS矩形 ABCD4ADOBC13.菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形14.菱形的性质具有平行四边形的一切性质菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴15.菱形的判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等四边形是菱形1

4、6.有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分11, S S ABD SCBDBD (OA OC)BD AC22AOBDC也可以用平行四边形的面积计算公式=底高17.正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形 ,菱形的一切性质边 :四边相等 ,对边平行角 :四个角都是直角对角线 :互相平分 ;相等 ;且垂直 ;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为 45正方形是轴对称图形,有四条对称轴19.正方形的判定菱形 +矩形的一条特征菱形 +矩形的一条特征平行四边形+一个直角 +一

5、组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形 ,再判断这个菱形也是矩形20.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的辅助线添加方法正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题有垂直时做垂线构造正方形有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件22.平行四边形 ,菱形 ,矩形 ,和正方形四者之间的关系一组邻边相等菱形平行四边形对角线相等正方形矩形一

6、个内角为直角对角线垂直23.梯形定义 :一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底 :梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰 :梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形的高 :梯形两底之间的距离叫做梯形的高等腰梯形 :两腰相等的梯形直角梯形 :一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行一组对边平行但不相等的四边形是梯形25.等腰梯形的性质两底平行 ,两腰相等等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴26.等腰梯形的判定两腰相等的梯形是等腰梯

7、形在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形( 以前出现 ,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面积面积 =（上底 +下底） ×高 ÷228 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半梯形辅助线的添法（图一）中点（图二）（图三）（图四）（图五）（图六）中点（图七）（图八）基础题型1如图在平行四边形ABCD 中，A :B5:3 ，求这个平行四边形各内角的度数ADBC解：四边形 ABCD

8、 是平行四边形ADBC， AB180由于A: B 5:3故设A5x ，则B3x即 5 x 3 x180解得 x22.5因此A 522.5112.5 ，B 3 22.5 67.5平行四边形各内角度数分别是112.5 ， 67.5， 112.5 ， 67.5已知平行四边形ABCD 的周长为 38cm ， AC ， BD 相交于 O ，且 AOB的周长比 BOC的周长小于3 cm ，如图，求平行四边形ABCD 各边的长解：四边形 ABCD 为平行四边形O A，BCADO CAB CDAOB 的周长 OAOBABBOC 的周长 OCOBBC且 AOB 的周长比 BOC 的周长小于 3 cm(OCOBB

9、C )(OA OB BC) 3B CAB3又平行四边形ABCD 的周长为 38 cmBCAB19AB8cm ， BC11 cmCD8cm ， AD11 cm如图，已知：在平行四边形ABCD 中， BD 是对角线， AEBD于E，CFBD于F求证： AECFAFDEBC证明：方法一：四边形 ABCD 是平行四边形AB CD ， ABCDABECDFAEBD，CFBDAEBCFDABECDF ( AAS)AECFADO FEBC方法二：连接AC，交 BD于O四边形 ABCD 是平行四边形OAOC ，又AEBD，CFBDAEOCFO ，而AOECOFAEOCFO （ AAS ）AECF如图所示， 在

10、平行四边形ABCD 中， E ，F则 BF 与 DE 具有怎么样的位置关系？试说明理由分别是AC，CA 延长线上的点， 且 CEAF，FADB解： BFDE证明：方法一：在平行四边形ABCD 中， AB CD ， ABCD ，BACDCABACBAF180 ，ACDDCE180BAFDCE又 AFCEAFBCED ( SAS)方法二连接BD，交 AC 于O在平行四边形ABCD 中， AOCO，BODOAFCEOF OEFOBEODBOFDOE （ SAS ）FEBFDEFFADADOCOBBCEE方法三连接 BD ，交 AC 于 O ，连接 DF ， BE 由方法二知 OF OE ， OB O

11、D四边形 BEDF 为平行四边形BFDECE如图，已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，AC38 cm ， BD24 cm ，AD 14 cm，那么OBC 的周长为DCOAB解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知BC AD14cm， OB1112cm ， OC11BD24AC38 19 cm2222OBC 的周长为 BCOB OC 141219 45 cm如图平行四边形ABCD 中， EFAB ， GH AD ， EF 与 GH 交于 O ，则该图形中的平行四边形的个数共有（）78910DHCEOFABG由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH ，EAGO ，HOFC

12、，OGBF ，DAGH ，HGBC ，DEFC ， EABC ， DABC 所以共有 9个 . 如图，平行四边形ABCD 中， AF 平分DAB 交 CD 于 N ，交 BC 的延长线于F ，DEAF ，交 AB 于 M ，交 CB 延长线于 E ，垂足为 O ，试证明： BECFADMONEBCF证明：四边形 ABCD 为平行四边形A DB，CAB CD ， ABCDD A F，ADEE，EDCAMDFD E，AOMAOD90A FAF 平分 DAB ，DAFBAFO AO AAOMAOD （ ASA）A D M，F，EDCEAM BAFA B， CDCEB FB FCEBEC F如图，已知

13、：D ， E ， F使 FG2FD 求证：AG 与分别在 ABC 的各边上，DE 互相平分DEAF ， DEAF ，延长FD到G，AAEEFFBCBCDDGG证明：连接AD ， EGD EA，F DEAF四边形 AEDF 是平行四边形D FA，EDF AE又 FG2FDDGDF1FG2DGAE ，而 DFAE四边形 AEGD 为平行四边形AG 与 DE 互相平分如图，已知 D 是ABC 的边 AB 的中点， E 是 AC 上的一点 DF BE ， EFAB 试说明：AE 与 DF 互相平分AAFFDDEEBCBC证明：连接AF ， DEDFBE ， EFAB四边形 BDFE 为平行四边形，EF

14、BDD是 AB中点BDADADEF ， ADEF四边形 ADEF 为平行四边形AE 与 DF 互相平分10 如图， 点 M ， N 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC ， AD 上，且 BMDN ，MEBD ，NF BD ，垂足分别为E ， F ，求证： MN 与 EF 互相平分ANNDADEFFEBMCBCM证明：连接 EN ， MF四边形 ABCD 是平行四边形BCAD ，CBDADBMEFNFE90， MEBNFD90ME NFBMDNBMEDNF ( AAS)MENF四边形 EMFN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）MN 与 EF 互相平分11如图， AF 与

15、 BE 互相平分，交点为M ， EC 与 DF 互相平分，交点为N ，那么，四边形 ABCD 是平行四边形么？你是怎么判定的？DDECCEMNMNABABFF解：四边形ABCD 是平行四边形证明：连接AE，BF ，EF ， DE，CFAF 与 BE 互相平分四边形 ABFE 是平行四边形EFAD ， EFADEC 与 DF 互相平分四边形 BCEF 是平行四边形EF BC ， EFBCADBC ， ADBC四边形 ABCD 是平行四边形12 . 如图，已知BE , CF 是ABC 的高， D 是 BC 的中点求证：DEDFAFEBCD证明：BE ， CF 是ABC 的高，BFC ，BEC 均为

16、直角三角形D 是 BC的中点DF 是 Rt BFC 斜边上的中线，DE 是 Rt BEC 斜边上的中线11D FB，CDEBC22DEDF13 . 如图，先将矩形纸片ABCD 对折一次折痕为EF ，展开后又将纸片折叠使点A落在 EF上，此时折痕为BM ，求NBC 度数的大小AMDAMDEFEFNNBCBGC提示：根据题意得AEBEDFFC1 CD1 AB1 BN222过点 N作 NGBC ，垂足为 G则 NG1，NBC30（直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半，反BN2过来也成立）14 . 过矩形 ABCD 对角线 AC 的中点 O 作 EFAC分别交 AB，DC 于E, F ，点G

17、为 AE的中点，若AOG30，求证： OG1 DC3FCDFCDOOAGEBAGEB证明：连接CE四边形 ABCD 是矩形OAOCEFACEF 是线段 AC 的垂直平分线EAECAOG 30ACB60， OCE 30BCE 301BEEC2G 是 AE中点OG11CEAG GEAE22O GAG GEO G1D C315 . 在矩形 ABCD ， AB6, BC8，将矩形折叠，使点C 与点 A 重合，折痕为EF ，在展开，求折痕 EF 的长EADOBFC解：AB6, BC8由勾股定理可得AC10根据题意有 AFCF ，设 AFCFx ， BF8x由勾股定理 AB2BF 2AF2 ，即 62(8

18、x)2x2解得 x254FC254S AFCE CFAB25675 ， S AFCE1ACEF422EF15（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）216 已知：如图， O 是矩形 ABCD 对角线的交点， AE 平分BAD ， AOD120 ，求 AEO的度数ADOBCEABE 为等腰直角三角形，OAB 为等边三角形，答案：提示OBE 为等腰三角形OBE30， OEB75，OEA75453017 . 如图， MN 为过 RtABC 的直角顶点 A 的直线，且 BDMN 于D，CEMN 于点 E，ABAC ， F 为 BC 的中点，求证： DFEFAENAENDDMMBCBCF

19、F证明：连接AFABC为直角三角形，F为斜边BC 的中点BFAFCFBAC90BAMNAC90BDMN， CEMNBAMDBA90 ，BDAAEC90DBAEAC ，又ABACDBAEAC（AAS）DBAEABAC ，BAC 90，F为BC的中点ABCFAC 45DBAABCCAFCAN ，即DBFFAE又 DBAE，AFBFDBFEAF （ SAS ）DF EF总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线18 如图 E 是菱形 ABCD 边 AD 的中点， EFAC于 H ，交CB的延长线于 F ，交AB于G ，求证： AB 与 EF 互相平分AEDAEDGHGHF

20、BCFBC证明：四边形 ABCD 是菱形B A CD AACEG ，AHAHAHEAHG （ ASA ）AE AGAE1 ADAG1 AB22AD BCFA E GBGFAGEAGEBGF （ AAS ）EGFG，AGGB即 AB 与 EF 互相平分方法二：连接AF，BE由 AE11得AGEAEGBGFBFG ，则 AE AG BGBFAD，AGAB22AE BF 且 AE BF四边形 AFBE 为平行四边形AB 与 EF 互相平分19 如图，在ABC 中，ACB90 ， AD是A 的平分线，交BC于点 D，CH 是 AB边上的高，交 AD 于 F ， DEAB 于 E 求证：四边形 CDEF

21、 是菱形CDFABHE证明：AD 是 A 的平分线C A DE AA C B9 0，CHABCADCDA90 ，FAHAFH 90C D AA FAFHCFDC F DC DCFCDAD 是 A 的平分线， CDAC，DEABC DDE CFDEC HA，BABDECHDE四边形 CFED 是平行四边形C DC F平行四边形CFED 是菱形20 菱形 ABCD 中，DAB120 ，如果它的一条对角线长为12 cm，求菱形ABCD的边长解：DDACAOCBB若对角线 AC12 cm ，如图四边形 ABCD 为菱形，且DAB120DACBAC60 则ADC 为等边三角形菱形 ABCD 的边长为 1

22、2 cm若对角线 BD12 cm ，如图四边形 ABCD 为菱形，且DAB120DACBAC60 则ADC 为等边三角形又OD OBODOB6cm设 OAx ， AD2 x ，由勾股定理可得(2 x)2x262 ，解得 x23，AD 43 cm综上所述：菱形ABCD 的边长为12 cm或 4 3cm22 如图，四边形ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， F 是 BC 上的一点，且 BF 3FC求证： AE EFADADEEBCBCFF证明：连接 AF ，设 FCk ，则 BC4k四边形 ABCD 是正方形BCD 90 ， AB BC CD AD 4kE为CD 中点DEEC2k在 RtA

23、BF 中， AF 2AB 2BF 225k2在 RtECF 中， EF 2EC2FC 25k2在 Rt2AD222ADE 中， AEDE20k则 AE2EF 2AF2，AEF 是直角三角形AEF9 0AEEF（到初三的时候此题还有额外的证明方法）23 如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P ，作 PEBC于 E，作 PFCD于F，连接 AP ， EF 求证： APEF，AP EFADADPFPFBCBHCEE证明：连接 PC ，延长 AP 交 EF 于点 H四边形 ABCD 是正方形ABPCBP45， ABBCBPBPABPCBP （ SAS ）APCP ， BAPBCPPEBC，

24、 PFCD，BCCD四边形 PECF 为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）PCEFP AE FPFEC， EPFPEC90PEFEPC （ HL）PFEPCEPFEBAPABBC， PEBCABPEBAPEPHPFEPEH90EPHPEH90AP EH24 如图正方形 ABCD 中， M 是 AB 的中点， MNDM ，BN平分CBE，交 MN 于N求证： DMMNDCDCNFNAMBEAMBE证明：取线段AD 的中点 F ，连接 FM四边形 ABCD 为正方形A B，AABC90A DF 为 AD中点， M 为 AB中点D FA FA MAFMAMF45DFM135BN 平分 CBECBN

25、EBN45MBN135DFMMBND MM NDMANMB90DMBADM90ADMMBN在 DMF与 MNB中MDFNMDFMBDMFM(NASA)DMMNDFMMBN思考：若点M 是线段 AB 上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？DCDCNFNABEAMBEM请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了25 如图，在梯形ABCD 中， AD BC ， ADBC， E， F 分别是 AD ， BC 的中点，且EF BC ，求证：梯形ABCD 为等腰梯形EDAEDABFCBMFNC证明：过 E 分别作 AB ， DC 的平行线交 BC 于 M

26、 ， N ，易知四边形 ABME 和四边形 DCNE都是平行四边形A E，DE NC，ABEM， DCENB ME， F 分别是 AD ， BC 的中点AEDE，BF CFBMCNBFBMCFNCMFNFEFBCEMENEF 是线段 MN 的垂直平分线MENEABCD故梯形 ABCD 是等腰梯形26 已知等腰梯形ABCD 中， ABCD ，B 60， AD15 cm ， BC49 cm ，求它的腰长ADADBCBEC解：方法一：过点A作 AEDC ，交 BC 于点 EA DB C四边形 AECD 为平行四边形ADEC ，DCAEABDCAEABB60四边形 ABCD 为等边三角形BEABAD1

27、5， BC49BEBC CE BC AD 49 15 34ABCD34 cm方法二ADBCMN过点 A作 AMBC ，垂足为 M ，过点 D 作 DNBC ，垂足为 N四边形 ABCD 为等腰梯形ABCD ，BCAMBDNC90ABMDCN （ AAS ）BMCNAMNMNDADN90四边形 AMND 为矩形A DM NBC49，AD15BMCN1115)172(BC AD )(492B60BAM30AB2BM 34cm27 如图，在ABC 中， ABAC ， AD 平分 BAC ，CD AD ，点 E是 BC 的中点求证： DEAB1( ABAC ) DE2AAFDDCBCBEE证明：延长

28、CD 交 AB 于点 FA DC，DADCADF90AD 平分BACDACDAFA DA DADCADF （ ASA）（ AD 又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）ACAF，FDDC点 E是 BC的中点DE 是三角形CBF 的中位线DEBF ， DE1BF2 AB AF BFBFABACDE1( AB AC)228 如图，在梯形ABCD 中， DC AB ， BC DCAB ， E是 AD中点求证： CEB90DCDCEEFABAB证明：取 BC 中点 F ，连接 EF由梯形中位线性质可知EFDC AB 且 EF1AB)(DC2BC DC AB2EFBCEF CF FBCEB 90

29、基础知识达标一、精心选一选（每小题3 分，共30 分）1、在 ABCD中， A： B： C： D 的值可以是（）A 1：2：3： 4B 1：2： 2： 1C 2： 2： 1：1D 2： 1： 2：12、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A对角线相等C对角线互相平分B对角线互相垂直D对角线互相平分且相等3、下列命题中的假命题是（）A等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B对角线相等的四边形是等腰梯形C等腰梯形是轴对称图形D等腰梯形的对角线相等4、四边形ABCD的对角线AC、 BD 交于点 O，能判定它是正方形的是（）A AO OC，OB ODB AOBO CO DO， AC BDC AO OC， OBOD， ACBDD AO OCOB OD5、给出下列四个命题一组对边平行的四边形是平行四边形一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直的矩形是正方形顺次连接等腰梯