考研数学讲座知识点精妙讲解受益总结

1、考研数学讲座（1）考好数学的基点木桶原理 已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。在高等数学中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。在概率统计中，第一重要的概念是分布函数。不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的高等数

2、学基础。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧， 大一那会儿学的不一样。 原因就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有5 分钟时间。 而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又

3、至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分 的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，这个题目涉及的概念是 - ，而非 在哪儿做过这道题 ，才能算是有点入门了。你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。阳春三月风光好，抓好基础正当时。考研数学讲座（ 2）笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，

4、一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时写与思同步的重要性。也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得写的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。 看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或依据已知条件，我首先能得到什么？（分析法）；或要证明这个结论，就是要证明什么？（综合法）。在很多情形下， 写出第一步与不写的感觉是完全不同的

5、。下面是一个简单的例。连续函数与不连续函数的和会怎样？写成 连续 A+ 不连续 B= ？ 后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。如果， 连续 A+ 不连续 B= 连续 C移项，则 连续 C 连续 A= 不连续 B这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。有相当一些数学定义，比如函数在一点可导，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件f (1)0 ，概念深，写得熟的人立刻就会先写出h 趋于 0 时， lim(f(1+h) f(1 ）)/h 0然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写

6、不出的人就抓瞎了。又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式A=， 0，要是移项写成（A E） =0， 0，这就表示 是齐次线性方程组（A E）X=0 的非零解，进而由理论得到算法。数学思维的特点之一是 发散性 。 一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的1+2论文中有 28 个 引理 ，那就是他艰难地走向辉煌的28 步。对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是

7、不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。概率统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要

8、以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。多动笔啊 ，写 思 同步步履轻，笔下生花花自红。考研数学讲座（3）极限概念要体验给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90% 的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。很多人的失败是输在时间上的，我做事情特别注重效率。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习

9、题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过 3 分钟，这样就比别人多出 20 几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做 速读记忆让我的考研复习奔跑起来 ，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材

10、料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。想成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概30 个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字。其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做

11、题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。想学的朋友可以到这里下载也给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，一尺之竿，日取其半，万世不竭。 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，割而又割，即

12、将n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。极限概念起自于对 过程 的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是xx0 ；一类是 x，当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？如果是，则称数 a 为函数的极限。无限接近 还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。自然数列有无限增大的变化趋势

13、。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。自然数 n 趋于无穷时，数列1/n 的极限是 0 ； x 趋于无穷时，函数1/x 的极限是 0；回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x 趋于正无穷时， 正指数的幂函数 都与自然数列一样，无限增大，没有极限。x 趋于正无穷时，底数大于1 的指数函数都无限增大，没有极限。x 0+时，对数函数 lnx 趋于 ； x 趋于正无穷时， lnx 无限增大，没有极限。x 时，正弦 sinx 与余弦 conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。我国高等数学教科书上普遍都选用了震荡因子 sin（ 1/x）。当 x 趋于

14、 0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当 x 由 0.01变为 0.001时，只向中心点 x=0 靠近了一点点，而正弦sinu 却完成了 140多个周期。函数的图形在+1与 1之间上下波动140 多次。在 x=0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地挤 在一起，就好象是 电子云 。当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin （1/x ）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。x 趋于 0 时（ 1/x ）sin （1/x ）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。更深入一步，你就得体验，在同

15、一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于 0 时（或无限增大时）跑得更快 。这就是高阶，低阶概念。考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是若 x 趋于 时，相应函数值 f（ x）有正的极限，则当x充分大时， ( 你不仿设定一点x0，

16、当 xx0 时， )总有 f（x ） 0* 若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f（ x）有正的极限，则在x0 的一个适当小的去心邻域内，f （ x）恒正 这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和近朱者赤，近墨者黑 一个道理吗。除了上述 苻号体验 外，能掌握下边简单的数值体验 则更好。若 x 趋于无穷时，函数的极限为0 ，则 x 的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当 x x0 时， )函数的绝对值恒小于1若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x 的绝对值充分大时， (你不仿设定一点 x0，当 x x0 时， )函数的绝对值全大于 1*若 x 趋于0 时，函数的极

17、限为0，则在0 点的某个适当小的去心邻域内，或x 的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1（你不仿设定有充分小的数0，当 0 x 时，函数的绝对值全小于1 ）没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中无限接近 的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数 0，并利用它们。考研数学讲座（4） 存在 与否全面看定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。1 海涅定理观察 x 趋于 x0 的过程时，我们并不追溯x 从哪

18、里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：定理（ 1 ）极限存在的充分必要条件是，无论x 以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A 存在。这个定理条件的充分性 没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x 逼近 x0 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的必要性 独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。2用左右极限来描述的等价条件用 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：定理（ 2 ）极限存在的充分必要条件为左

19、、右极限存在且相等。这是在三类考研试题中出现概率都为 1 的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。（ 3 ）突出极限值的等价条件考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：定理（ 3 ）函数 f（x ）在某一过程中有极限A 存在的充分必要条件是，f（x） A 为无穷小。从距离 的角度来理解，在某一过程中

20、函数f（ x）与数 A 无限接近，自然等价于：函数值 f （x）与数 A 的距离 f （ x） A 无限接近于0如果记 =f（x） A ，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：f（ x） =A+（无穷小）考研题目经常以下面三个特殊的 不存在 为素材。 存在 与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用 exp （）表示以e 为底数的指数函数，（）内填指数。例 1x 趋于 0 时，函数exp （1/x ）不存在极限。分析在原点 x=0 的左侧， x 恒负，在原点右侧，x 恒正。所以x 从左侧趋于0 时，指数1/x 始终是负数，故左极限f（ 0 0）=0，x 从右侧趋于0 时，函数趋向 +，由

21、定理（ 2 ），函数不存在极限。也不能说，x 趋于0 时， exp （1/x ）是无穷大。但是，在这种情形下，函数图形在点x=0 有竖直渐近线x=0例 2x 趋于 0 时，震荡因子 sin （ 1/x ）不存在极限。俗称震荡不存在。分析用海涅定理证明其等价问题，x趋于 +时， sinx 不存在极限。 分别取 x=n 及 x=2n 两个数列， n 趋于 +时，它们都趋于+，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与 1 ，不满足唯一性定理（定理（ 1）。故 sinx 不存在极限。（构造法！）例 3x 趋于 时，函数 y=arctgx 不存在极限。分析把视为一个虚拟点，用定理（ 2）。由三角函数知识得，

22、x 趋于 +时，函数极限为 /2，x 趋于 时，函数极限为 /2，故，函数 y=arctgx 不存在极限。请注意，证明过程表明，函数y=arctgx 的图形有两条水平渐近线。即方向有水平渐近线y= /2；+方向则有有y=/2例 4 当 x1时，函数 f(x)=(exp(1/(x 1)(x 平方 1) (x 1) 的极限（A）等于 2 （B）等于 0（ C）为 （ D）不存在但不为 b分析考查 x1时函数的极限，通常认为 x 不取 1；而 x1时，可以约去分母（ x1) ，让函数的表达式化为 f(x)=(x+1)exp(1/(x 1)左极限 f （ 1 0） =0， x 从右侧趋于1 时，函数趋

23、向 +，（选（ D）（画外音：多爽啊。这不过是典型不存在1的平移。）例 5f（x ）=（ 2+exp （1/x ） （1+exp （ 4/x ） +sinx x , 求 x 趋于 0 时函数的极限。分析绝对值函数 y=|x| 是典型的分段函数。 x=0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉典型不存在 1，这个 5 分题用 6 分钟足够了。实际上x 0-时， limf （x ）=（ 2+0 ）/（ 1+0 ） 1=1x 0+时， exp （1/x ） +，前项的分子分母同除以 exp （ 4/x ）再取极限 limf （x）= （ 0+0 ）/ （0+1 ） +1=1由定理（ 2

24、）得 x0时， limf （x）=1例 6 曲线 y=exp(1/x 平方 )arctg （ x 平方 +x+1 ）(x1)(x+2 ）的渐近线共有（A） 1 条（ B） 2 条。（ C）3 条。（ D） 4 条。选（ B）分析先观察 x 趋于 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即 0 ， 1 和 2；对于每个零点 x0，直线 x=x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有x 时， limy= /4，曲线有水平渐近线y= /4其中， x时， limexp(1/x 平方 )=1 ；im （ x 平方 +x+1 ）(x1)(x+2

25、 ） =1（分子分母同除以 x平方）考查 嫌疑点 1 和 2 时，注意运用 典型不存在3，f（ 1 0） =e /2； f （1+0 ） =e /2，x=1 不是曲线的竖直渐近线。类似可以算得x= 2 不是曲线的竖直渐近线。x 0时，前因式趋向 +；后因式有极限arctg （ 1/2 ）， x=0 是曲线的竖直渐近线。啊，要想判断准而快，熟记三个不存在 。看了上面几例，你有体会吗？*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：定理（ 4 ）夹逼定理 若在点 x0 邻近（或 |x| 充分大时）恒有g(x) f(x) h(x)，且 xx0( 或 x)时limg(x)=limh(x)=A则必有 l

26、imf(x)=A定理（ 5 ）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）加上讲座（ 3 ）中的 近朱者赤，近墨者黑定理 。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。考研数学讲座（5）无穷小与无穷大微积分还有一个名称，叫无穷小分析 。1.概念在某一过程中，函数f （ x）的极限为0 ，就称 f（x ）（这一过程中）为无穷小。为了回避 语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。无穷小是个变量，不是0 ；y=0 视为 常函数 ，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，

27、 非法地 使用等号 来表示无穷大。（潜台词：并不表示极限存在。）比如x 从右侧趋于0 时， limlnx= ； x 从左侧趋于 /2时， limtgx=+无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。y=tgx （在 x /2左側时）是无穷大。在（0， /2）内 y=tgx 是无界变量x 趋于 0 时，函数 y= （1/x ） sin （ 1/x ）不是无穷大，但它在区间（0，1 ）内无界。不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E ，不管它有多大，当过

28、程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于 E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点 ，此点处的函数绝对值大于 E。2.运算与比较有限个无穷小量的线性组合是无穷小； 则结果不确定。乘积的极限有三类可以确定：有界变量 ?无穷小 =无穷小无穷小 ?无穷小 = （高阶）无穷小无穷大?无穷大 = （高阶）无穷大其它情形都没有必然的结果，通通称为未定式 。例 10 作数列 x=1 ，0，2 ， 0，3 ，0，-， 0， n， 0， -y=0 ，1，0 ，2 ，0 ，3 ，0，-，0 ，n，0 ，-两个数列显然都无界，但乘积xy 是零数列。这表示可能会有无界?无界 =有界两个无穷小的商求

29、极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即无穷小的比较 。如果极限为 1 ，分子分母为等价无穷小；极限为 0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。无穷大有类似的比较。无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。x 趋于 0 时， =xsin（1/x ）和 =x都是无穷小，且显然有；但它们的商是震荡因子sin（1/x ），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin （1/x ）的用途。能够翻阅分析中的反例的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。回到基本初等函数，我们看到x 趋于 +时， y=x 的 次方，指数0 的幂

30、函数都是无穷大。且习惯地称为阶无穷大。（潜台词：这多象汽车的1 档， 2 档， - ，啊。）x 趋于 +时，底数大于1 的指数函数都是无穷大；底数小于1 的都是无穷小。x 趋于 +或 x 趋于 0+ 时，对数函数是无穷大。x 趋于 时， sinx 及 cosx 都没有极限。正弦，余弦，反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。请体验一个很重要也很有趣的事实。（1 ）x+ 时， lim （ x 的 n 次方） exp（ x） =0，这表明：x趋于 +时，指数函数exp （x ）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。或者说 ， x趋于 +时，函数exp （ x）是任意高阶的无穷小。（2 ）x+

31、时， limlnx （x 的 次方） =0； 是任意取定的一个很小的正数。这表明：x趋于 +时，对数函数lnx 是比 x 的 次方都还要低阶的无穷大。在数学专业方向，通常称幂函数（ x 的 n 次方）为 缓增函数 ；称 exp （ x）为 速降函数 。只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。例 11 函数 f(x)=xsinx （ A ）当 x时为无穷大。（ B ）在（ ， +）内有界。（C ）在（ ， +）内无界。（ D）在时有有限极限。分析这和 y= （1/x ） sin （1/x ）在 x 趋于

32、 0 时的状态一样。（选（C ）例 12 设有数列 Xn ，具体取值为若 n 为奇数， Xn= （n 平方 +n）n；若 n 为偶数， Xn=1n则当 n时， Xn 是（ A ）无穷大量（B）无穷小量（ C）有界变量（ D ）无界变量分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D）请与 典型不存在1对比。本质相同。例 13 已知数列 Xn 和 Yn 满足 n 时， limXnYn=0 ，则（ A ）若数列 Xn 发散，数列 Yn 必定也发散。（ B ）若数列 Xn 无界，数列 Yn 必定也无界。（ C ）若数列 Xn 有界，数列 Yn 必定也有界。（ D ）若变量 1X

33、n为无穷小量，则变量 Yn 必定也是无穷小量。分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10 给了我们一个很好的反例。对本题的（A ）（ B）（ C ）来说，只要Yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证limXnYn=0无穷小的倒数为无穷大。故（D ）中条件表明Xn 为无穷大。要保证limXnYn=0 ， Yn 必须为无穷小量。应选答案（ D ）。考研数学讲座（6）微观分析始连续微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。大学数学还让学生学习两类 分段函数 。或

34、是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。1函数的连续性定义 设函数f(x) 在点x0的邻近有定义。当x 趋于x0时，如果函数有极限.且极限值等于函数值f(x0) ，就称函数f 在点 x0 连续。否则，称函数 f 在点 x0间断。 x0 是它的间断点。函数 f 在点 x0的邻近有定义 意味着，如果函数在点x0没有定义，那 x0 只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。函数y=1

35、/x 在原点就是这样的。有极限 意味着 存在 。在分段函数情形，要立即转换成左右极限存在且相等。 函数在一点连续的定义等式，左极限 = 右极限 =中心点函数值 ，最多可以得出两个方程。如果在这里出题： 用连续定义求参数值。则函数可以含一个或两个参数。如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。最值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。有 ，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。介值定理 如果数 c 能被夹在连续函数的两个值之间，则c 一定属于此函数的值域。请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论

36、上讲，求方程 F(x)=0的根，可以转化为讨论函数 F 的零点。例 16 试证明，如果函数f 在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。分析函数 f 在闭区间上连续，f 必有最大值M=f （ x1），最小值m=f （x2），闭区间 m ， M 内的任一数c，自然就夹在f 的两个最值之间，因而属于f 的值域。即f 的值域就是这个闭区间。例 17 试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。（潜台词：没有零点的连续函数定号。）分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）例18函数f 在闭区间a，b 上连续，其值域恰好也是a

37、， b，试证方程f(x)=x在区间 a， b上有解。分析作F=f(x) x，它显然在已知闭区间上连续。且有F(a) 0而 F(b) 0如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。（潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）2间断点分类连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。对于第

38、二类间断，我们只学了两个特例。即x=0是震荡因子y=sin （1/x) 的震荡间断点。（画外音：请联想典型不存在（2 ）x=0 是函数只要函数在y=exp(1/x) 的无穷间断点。（画外音：请联想典型不存在（x0 的一个单側为无穷大，x0 就是函数的无穷间断点。x=x01） ）是图形的竖直渐近线。考题中经常把问题平移到别的点去讨论。例19确定y=exp(1/x)arctg（ x+1 ）/ （ x 1）的间断点，并说明其类型。分析函数的解析表达式中，分母有零点0， 1（潜台词：两个嫌疑犯啊。）在点 0，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0 点是无穷间断点.在点 1，前因子连续非零，后因子

39、的左极限是/2，右极限为/2，第一类间断。三个特殊的 不存在 记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。例 20 设函数 f(x)=x (a+exp(bx)在(,+ )内连续，且 x 时，极限 limf(x)=0 ；则常数 a， b 满足（A ） a<0 ，b<0 （ B ）a>0 ， b>0（ C） a0， b>0 （D ） a0， b<0分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。已知函数连续，则其分母不能为0 ，而指数函数exp(bx

40、) 的值域为 (0,+ )，故 a0又， x 时，极限limf(x)=0 表明， f(x) 分母是较分子x 高阶的无穷大，即要指数函数exp(bx) 为无穷大，只有 b<0 ，应选（ D ）。（画外音：一个4 分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！）*例 21 已知函数f(x) 在区间 a ，b上处处有定义，且单调。若f(x) 有间断点，则只能是第一类间断点。分析（构造法）不仿设f(x) 在区间 a， b上单增，但是有间断点x0 ；我们得证明f 在点x0的左右极限都存在。已设 f 在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有x x0时， f 单增，显然f(b)

41、是它的一个上界。故左极限存在。x x0+时，自变量从右向左变化，相应的f 值单减。显然f(a) 是其一个下界。右极限也存在。构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。考研数学讲座（7）导数定义是重点选定一个中心点x0，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是：在x0 点邻近，如果自变量x 有一个增量x，则函数相应该有增量y=f（ x0+x） f（ x0），我们如何表述，研究及估计这个y呢？最自然的第一考虑是变化率 。中国人把除法称为归一法 。无论 x的绝对值是多

42、少，y x总表示， 当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。定义令 x趋于零，如果增量商y x的极限存在，就称函数在点x0 可导。称极限值为函数在点x0的导数。记为x0， lim （ yx）=f (x0)或 x0，lim( （ f（x0+x） f（x0 ） (x x0） )=f (x0) 或 xx0 ，lim( （ f（ x） f（ x0） (x x0）)=f (x0)理解 1 你首先要熟悉 增量 这个词。它代表着一个新的思维方式。增量y研究好了，在x0 邻近， f（x ）=f （ x0）+y，函数就有了一个新的表述方式。回头用 增量 语言说连续，则函数在点 x0 连续 等价于 x趋于 0

43、 时，相应的函数增量y一定趋于 0理解 2 要是以产量为自变量x ，生产成本为函数y ，则 yx表示，在已经生产x0 件产品的状态下，再生产一件产品的平均成本。导数则是点x0 处的 边际成本 。（画外音： 生产 过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。）如果用百分比来描述增量，则（y/y）（x/x）表示，在 x0状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。如果x趋于零时极限存在，称其（绝对值）为y 对 x 的弹性。理解 3 如果函数 f 在区间的每一点处可导，就称f 在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为f 的导函数。简称导数。函数概念由此得到深

44、化。用定义算得各个基本初等函数的导数，称为求导公式 。添上 和，差，积，商求导法则 与 复合函数求导法则 ，我们就可以计算初等函数的导数。例 24 设函数 f(x)= （ n） lim( （1+x ）（1+x 的 2n 次方） ),讨论函数 f(x) 的间断点，其结论为（A ）不存在间断点（ B）存在间断点 x=1 （ C ）存在间断点 x=0 （ C）存在间断点 x= 1分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x) 的解析表达式，再讨论其连续性。任意给定一点 x ， (视为不变。 )此时，把分母中的 x的 2n 次方 项看成是 （x 平方）的 n 次方 ，这是自变量为 n 的指数函数。令 n

45、 求极限计算相应的函数值。鉴于指数函数分为两大类，要讨论把 x 给定在不同区间所可能的影响。 （潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！ ）算得 1 x1 时， f(x)=1+x ；f(1)=1 ；f( 1)=0而 x 1 或 x 1 时，恒有 f(x)=0 ，观察得 x1时， limf(x)=2 ；应选（ B ）。理解 4 运用定理（ 2），极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。则函数在点x0 可导 等价于 左，右导数存在且相等。讨论分段函数在定义分界点x0 处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0 两側算左导数，右导数。例 25 （1）h 趋于 0+ 时

46、， lim(f(h) f(0 ） )/h 存在不等价于函数在0 点可导，因为它只是右导数。（2 ）h 趋于 0 时， lim(f(2h) f（h ）/h 存在不等价于函数在0 点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。请对比 : 如果 f （x ）函数在0 点可导 ，则 h0 时，lim(f(2h) f（ h ） /h=lim(f(2h) f(0） +f(0 ） f（h） /h=2lim(f(2h) f(0 ）)/2h lim(f （h） f(0)/h=2f (0)f (0)=f (0)（画外音：我把上述恒等变形技术称为添零项获得增量。考试中心认为你一定会这个小技术。（ 2 ）

47、中的不等价，要点在于，即便（ 2）中的极限存在， f（x ）在 0 点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除 不存在不存在 = 存在 ）例 26 若函数 f（x ）满足条件 f（ 1+x ）=af （x ），且 f (0)=b，数 a0， b0则（ A ） f（ x）在 x=1 不可导。（ B ） f (1)=a（C） f (1)=b（D ） f (1)=ab分析将 f (0)=b还原为定义lim(f(0+h) f（0 ）/h=b,要算 f (1)，考查 lim(f(1+h) f（ 1） /h；如何向 f (0)的定义式转化？！只能在已知恒等式上下功夫。显然f(1+h)=af（h

48、 ）；而f（1 ）=f（1+0 ） =af （ 0）lim(f(1+h) f（ 1）/h=lima(f(h) f（ 0） /h=ab应选（ D）。*理解5 两个无穷小的商求极限，就可以看成是两个无穷小的比较。于是，连续函数 f （x ）在点 x0 可导的充分必要条件是，xx0时，函数增量y是与 x同阶，或较x高阶的无穷小。考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为双特殊情形 。这时，要讨论的增量商简化为f （x）/x ，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，双特殊情形 下函数在原点可导，等价于 x 趋于 0 时，函数是与自变量 x 同阶或比 x 高阶的无穷小。如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。例 27 设函数 f（x ）在点 x=0 的某邻域内有定义，且恒满足f(x) x平方，则点x=0 必是 f(x)的（A ）间断点。（B ）连续而不可导点。 （ C）可导点，且f (0)=0（ D）可导点，且f (0) 0分析本题中实际上有夹逼关系0 f(x) x平方，在x=0 的某邻域内成立。这就表明f（0） =0，且f(x)/x x，由夹逼定理得，f (0)=0，应选（ C ）。例 28 设有分段函数 f(x) ：x 0 时， f(x)=(1