三角模糊数及其应用

1、第第 1 章 抽样调查数据处理方法及其应用章 抽样调查数据处理方法及其应用1.3 三角模糊数及其应用三角模糊数及其应用1.3.1 三角模糊数的概念三角模糊数的概念若模糊数a可由),(umlaaa决定，) 10umlaaa，且隶属函数（或特征函数）为：uummuumllmllaaxaxaaaxaaxaaaaxaxx00)(则称a为规范的三角模糊数，记),(umlaaaa ，当umlaaa时，a是一个精确数。 三角模糊数的分布 （特征函数或隶属函数） 如图 1-3-1 所示。 在方案评价中，la是（被测试者）最保守（悲观）的估计值（三角模糊数的下界），ma是最可能的估计值，ua是最乐观的评价值（三

2、角模糊数的上界）。mulmaaaa，为模糊度。若，1 则模糊度过大；一般取 1/2，1 较合适。1.3.2 三角模糊数的运算性质三角模糊数的运算性质设),(umlaaaa 和),(umlbbbb 为两个三角模糊数，则其运算法则如下：（1）加法：),(uummllbabababa（1-3-1）（2） 倒数：)1,1,1(1umlaaaa（1-3-2）（3） 三角模糊数a的期望值5：102/ )1()(umlaaaae（1-3-3）值的选择取决于决策者的风险态度。当 10.5 时，称决策者持偏向乐观的态度（也称决策者是追求风险的）；当=0.5 时，表示决策者持中立的态度（也表示决策者是风险中立的）

3、；当 00.5 时，表示决策者持偏向悲观的态度（也表示决策者是厌图 1-3-1三角模糊数的分布图alamau恶风险的）。（4）倍数：),(umlaaaa0（1-3-4）（5） 距离：21222)()()(31),(uummllbabababad（1-3-5）即为三角模糊数a到b的距离。（6）相似度：311),(uummllbabababas（1-3-6）),(bas越大， 则a与b相似程度越大。 当1),(bas时， 则规范三角模糊数a与b相等。（7）三角模糊数互补判断矩阵234：设三角模糊数判断矩阵：nnijaa )(（1-3-7）其中,uijmijlijijaaaa，,ujimjiljij

4、iaaaa若1ljiuijmjimijujilijaaaaaa，5 . 0uiimiiliiaaa，uijmijlijaaa0，nji,，则称矩阵a是三角模糊数互补判断矩阵。若由多位专家根据评价目的和评价指标的相关资料， 建立关于评价指标间相对重要度的三角模糊数互补判断矩阵，然后用由专家权威性而设定的权重对其进行集结，得到关于评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵元素：),(111kkkuijkkkkmijkkkklijkijawawawa， i、 j = 1， 2， ， n（1-3-8）k 是负责确定互补判断矩阵的专家个数；wk指第 k 专家所打数据的权威性，k =1，2，k；,kuijkmi

5、jklijkijaaaa是第 k 个专家给出的关于第 i 指标相对于第 j 指标重要度的三角模糊数表示。可见最终的综合三角模糊数互补判断矩阵nnijaa)(是 k 位专家的判断信息按权威性的集结。三角模糊数互补判断矩阵建立过程为：由专家（评价主体）根据一定标度（常用0.10.9 标度，如表 1-3-1 所示），在充分掌握有关评价指标和评价对象信息的条件下分别两两对比评价指标建立。由于考虑到评价主体思维的模糊性，以及评价指标属性有时很难用清晰数进行定量表示或比较，常用三角模糊数表示。上述标度对应的三角模糊数如表 1-3-1 所示。当然矩阵建立时，专家也可以直接利用三角模糊数建立矩阵，同时根据自己

6、的偏好选择支撑的上界和下界大小。表表 1-3-10.10.9 标度的含义标度的含义（8）三角模糊数互补判断矩阵的期望矩阵：设三角模糊数互补判断矩阵nnijaa)(，则称nnijeaea)(（1-3-9）为三角模糊数互补判断矩阵nnijaa)(的期望矩阵。显然，矩阵nnijeaea)(是普通的模糊互补判断矩阵。（9）三角模糊数互反判断矩阵10：设模糊互补判断矩阵nnijaa)(，若记jiijijaah，nji,，（1-3-10）则矩阵nnijhh)(是模糊互反判断矩阵。三角模糊数互补判断矩阵的作用和三角模糊数互反判断矩阵一样都是为避免确定值不科学性，反映考评主体决策的模糊性而提出的，通常都是用来

7、确定评价指标相互间的权重大小或方案间的重要性大小， 在进行决策判断时建立哪一种矩阵主要是根据评价者的偏好。值得注意的是为了提高权重计算的可信度和准确性，在建立三角模糊数判断矩阵的过程中，要保证同一建立者前后信息的一致性程度在一定范围内，以及不同建立者偏好一致性也在一定程度内。（10）三角模糊数互补判断矩阵nnijaa)(的一致性判断指标1112：（1-3-11）其中，wi是根据和积法处理模糊互反判断矩阵nnjiijaeae)()(得到。一致性判断系数：ricicr/（1-3-12）其中， ri 是平均随机一致性指标，来修正 ci ，可查表所得。若 crx1x3。因此，x2为最佳候选人。1.3.

8、7 三角模糊数群体多属性决策问题的群体理想解算法（二）1、三角模糊数正群体理想方案三角模糊数群体多属性决策问题的群体理想解算法（二）1、三角模糊数正群体理想方案称向量tkjjjjaaaa),(21（j=1，2，n）为对应于评价指标ju的三角模糊数正群体理想方案。其中，效益型：)(max,)(max,)(max),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebeaaaa（1-3-62）成本型：)(min,)(min,)(min),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebeaaaa（1-3-63）

9、2、三角模糊数负群体理想方案2、三角模糊数负群体理想方案称向量tkjjjjcccc),(21为对应于评价指标ju（j=1，2，n）的三角模糊数负群体理想方案。其中效益型：)(min,)(min,)(min),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebecccc（1-3-64）成本型：)(max,)(max,)(max),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebecccc（1-3-65）针对每个单一评价指标ju，为采用理想点法将评价者个体判断集结成评价者群体判断，并在集结过程中考虑评价者个体

10、的综合重要性程度，引入如下两个距离，即备选方案 xi在评价指标ju下的所有 k 个评价者个体评价值构成的加权评价向量：)(,)(,)(2211kijkijijijijijijbebebeb（1-3-66）其中，),(kuijkmijklijkijbbbbk=1，2，k到三角模糊数正群体理想方案ja和三角模糊数负群体理想方案jc的欧氏距离ijs与ijs。3、备选方案、备选方案ix在评价指标在评价指标ju下的距正理想方案的欧氏距离下的距正理想方案的欧氏距离ijs22221)()()(kijijijijddds（1-3-67）其中，21222)()()(31kujkuijkkijkmjkmijkki

11、jkljklijkkijkijareareared（1-3-68）4、备选方案4、备选方案ix在评价指标在评价指标ju下的距负理想方案的欧氏距离下的距负理想方案的欧氏距离ijs22221)()()(kijijijijddds（1-3-69）其中，21222)()()(31kujkuijkkijkmjkmijkkijkljklijkkijkijcrecrecred（1-3-70）5、 综合评价综合评价ijtijijijijssst（1-3-71）tij表示评价者群体 e 对于方案ix在指标ju下的综合评价，其值越大该方案越优。6、构造决策矩阵构造决策矩阵 tmnmmnntttttttttt212

12、222111211（1-3-72）考虑到指标权重tn),(21的群体判断决策矩阵 t*mnnmmnnnntttttttttt221122222111122111*（1-3-73）称 t 或 t*为群体判断决策矩阵，它反映了专家群体 e 对各方案在属性集 u 下的判断。至此，原三角模糊数群体多属性决策问题已转化为一般多属性决策问题，可利用传统理想点法进行求解，则记：效益型：ijjmijtm1*max， 成本型：ijjmijtm1*min（j=1， 2， ， n） （1-3-74）效益型：ijjmijtn1*min， 成本型：ijjmijtn1*max（j=1， 2， ， n） （1-3-75）6

13、、综合评价指数6、综合评价指数)(ixl（方案（方案ix到理想方案的接近度）到理想方案的接近度）iiiidddxl)(i=1， 2， ， m（1-3-76）其中，njjijjimtd12*)(（1-3-77）njjijjintd12*)(（1-3-78）)(ixl称为评价者群体 e 对各个方案的群体多指标综合评价指数，显然，)(ixl取值越大，则对应方案越优。针对三角模糊数群体多属性决策问题提出的群体理想解算法， 是在专家个体多属性决策矩阵的基础上找到专家群体关于各目标的理想解， 由此进行三角模糊数个体多属性决策矩阵的集结，得到群体判断决策矩阵，从而转化为一般多属性决策问题，进一步求得专家群体

14、对各方案的评价排序，并选出最优或最满意的方案。算例分析算例分析76对于上节的算例，在其计算的基础上，（1）对于评价属性 u1，根据表 1-3-11 和式（1-3-43）、式（1-3-44）可得加权矩阵：*jb（2）根据式（1-3-62）式（1-3-65）得到对应于评价属性 u1的三角模糊数正群体理想方案和三角模糊数负群体理想方案分别为：（3）根据加权矩阵*jb和式式（1-3-67）式（1-3-70）计算各方案到对应于属性u1的三角模糊数正负群体理想方案的欧式距离ijs和ijs分别为：211100155. 1s221105717. 1s231108858. 1s211103145. 1s2211

15、08800. 1s231103045. 1s（4）由式（1-3-71）得 t11=0.5642，t21=0.3589，t31=0.5956同理可得 t12=0.4520，t22=0.6426，t32=0.4668；t13=0.5931，t23=0.4943，t33=0.3884因此，可得群体判断决策矩阵 t，并加权得到矩阵（这里假设决策者给出的属性权重值为1=0.36，2=0.40，2=0.24）t*（5）由式（1-3-74）和式（1-3-75）得：（6）根据式（1-3-77）和式（1-3-78）得：（7）由式（1-3-76）得：4991. 0)(4760. 0)(5353. 0)(121xl

16、xlxl（8）根据 l(xi)的大小得 3 个候选人的排序为：x1x3x2。因此，x1为最佳候选人。作业：作业：1、应用三角模糊数评价决策方法对产品造型意象词汇进行选择。2、应用三角模糊数评价决策方法对机电产品（选电动车、电吹风、挖掘机、打印机）艺术造型进行评价（评价指标参见产品系统设计p266、p239）。3、基于理想点的三角模糊数多指标决策法64、基于改进三角模糊数的网络安全风险评估方法155、基于三角模糊数的综合保障评价指标权重分析166、三角模糊数型多属性决策的灰色关联法177、基于一致性三角模糊数互补判断矩阵的专家方案优选188、一种基于三角模糊数多指标信息的聚类方法209、基于 t

17、fn-ahp 综合评价模型的机器人设计选择21参考文献：参考文献：1 宋久鹏，董大为，高国安. 基于层次分析法和灰色关联度的方案决策模型研究j. 西南交通大学学报，2002，37（4）：463-4662 姜艳萍，樊治平. 三角模糊数互补判断矩阵排序的一种实用方法j. 系统工程，2002，20（2）：8992.3 orlorski s a. decision-making with a fuzzy preference relationj. fuzzy sets and systems,1978, (1)：155167.4 kacprzyk j. group decision making wi

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