广东省湛江市新寮中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析

1、广东省湛江市新寮中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数在的图像大致为(    )参考答案：a2. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示执行该程序框图，输出s的值为（）a. 4b. c. d. 参考答案：c【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【详解】第一次，否，第二次，否，第三次，是，程序终止，输出s=，故选：c【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根

2、据条件进行模拟运算是解决本题的关键比较基础3. 等差数列中，则（   ）a          b        c5       d 参考答案：d4. 已知,函数的定义域为集合,   则  （    ）    a      b&#

3、160;       c         d参考答案：b略5. 由函数的图象与直线及所围成的一个封闭图形的面积是（    ）a    b     c        d参考答案：b略6. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()a12cm2  b1

4、5cm2c24cm2  d36cm2参考答案：c 7. 已知复数z满足则z=a      b.      c.        d. 参考答案：a       8. 已知是空间三条直线，则下列命题正确的是（    ）(a)若，则；(b)若，则；(c)若点a、b不在直线上，且到的距离相等，则直线；(d)若三条直线两两相交，则直线共面.参考答案：a9. 在圆内，过点有n条弦

5、的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，那么n的取值集合为                                       （    ）  

6、;     a              b           c              d参考答案：a由题意得，故选a。10. 已知集合，则a    &

7、#160; b        c     d 参考答案：b略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 方程的解是            .参考答案：答案：x1=1, x2=212. 若非零向量，满足+2+3=，且?=?=?，则与的夹角为参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，

8、结合?=?=?，可得，然后代入数量积求夹角公式求解【解答】解：由+2+3=，得，代入?=?，得，即再代入?=?，得，即cos=与的夹角为故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题13. 观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49  照此规律，第个等式为_.参考答案：试题分析：观察这些等式，第一个式子左边1个数，从1开始；第二个式子3个数相加，从2开始；第三个式子5个数相加，从3开始；第个式子有个数相加，从开始；等式的右边为前边个数的中间数的平方，故第个等式为.考点：归纳推理的应用.14. 已知函数的

9、图像在点处的切线方程是，则_.参考答案：略15. 设x，yr，向量，且，则=参考答案：15【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、向量坐标运算性质即可得出【解答】解：，=3x6=0，3y+6=0，解得x=2，y=2，=（2，1），=（1，2）则=9+6=15故答案为：15【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16. 已知随机变量服从正态分布n（1，2），若p（2）=0.15，则p（01）=    参考答案：0.35【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

10、【分析】根据正态分布的对称性计算【解答】解：变量服从正态分布n（1，2），p（1）=0.5，p（12）=p（1）p（2）=0.35，p（01）=p（12）=0.35故答案为：0.3517. 体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为参考答案：6【考点】lr：球内接多面体【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正边长的关系，求出边长，即求出底面正的面积，从而得出棱柱的体积【解答】解：由球的体积公式，得r3=，r=1正三棱柱的高h=2r=2设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为： a=1，a=2，该棱柱的体积为=6，故答案为

11、6【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正的内切圆与边长的关系得出的三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （15分）证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在中，、 所对的边分别为、，则参考答案：证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，由题设为常数1分由基本不等式2：，可得：，  4分当且仅当时，等号成立， 1分即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值  1分证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 &#

12、160;         1分于是，长方形的面积，    4分所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形2分（2）证法一：   4分       故，4分证法二  已知中所对边分别为以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，4分故，4分 证法三  过边上的高，则 4分故，4分19. (本小题满分12分)已知函数和点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.(1)求证：

13、是关于的方程的两根；(2)设，求函数；(3)在(2)的条件下，若在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求实数的最大值.参考答案：（1）略      （2）      （3）的最大值为略20. 已知数列an的前n项和为sn，且，数列bn满足，.（i）求数列an的通项公式；（）记数列的前n项和为tn，证明：.参考答案：（）；（）见解析【分析】（i）利用即可得出an. （）由（）可得得出数列的通项公式并裂项，再利用“裂项相消法”即可得出tn，证得结论【详解】（i）由，当时，两式相减得，所以数列是公比为

14、2的等比数列，而，得，的通项公式为.（）由，得，即，所以.【点睛】本题考查了数列前n项和与数列通项公式间的关系：、考查了裂项的技巧及“裂项相消法”求和的方法，属于中档题.21. （本题满分12分）已知：三个内角a，b，c所对的边，向量，设（1）若求角（2）在（1）的条件下，若，求三角形abc的面积。参考答案：因为，即，所以或（舍去）   6分（2）由，则，所以，又因为所以所以三角形abc是等边三角形，由所以面积为            12分 略22. 已

15、知正方形abcde、f分别是ab、cd的中点，将ade沿de折起，如图所示，记二面角adec的大小为（0）（i）证明bf平面ade；（ii）若acd为正三角形，试判断点a在平面bcde内的射影g是否在直线ef上，证明你的结论，并求角的余弦值参考答案：考点：直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题3804980专题：计算题；证明题分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ade内找到与直线bf平行的直线就可以了，易证四边形ebfd为平行四边形；（2）判断点a在平面bcde内的射影g是否在直线ef上，可以从两种角度去思考：方法一：过点a作ag垂直于平面bcde，垂足为g，然

16、后证明射影g在直线ef上方法二：连接af，在平面aef内过点作agef，垂足为g然后再证明ag平面bcde，即g为a在平面bcde内的射影g二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法由前面“判断点a在平面bcde内的射影g是否在直线ef上”可知：ag平面bcde，所以过g作gh垂直于ed于h，连接ah，则ahde，所以ahd为二面角adec的平面角即ahd=解答：解：（i）证明：ef分别为正方形abcd得边ab、cd的中点，ebfd，且eb=fd，四边形ebfd为平行四边形bfedef?平面aed，而bf?平面aedbf平面ade （ii）解法1：如右图，点

17、a在平面bcde内的射影g在直线ef上，过点a作ag垂直于平面bcde，垂足为g，连接gc，gdacd为正三角形，ac=adcg=gdg在cd的垂直平分线上，点a在平面bcde内的射影g在直线ef上，过g作gh垂直于ed于h，连接ah，则ahde，所以ahd为二面角adec的平面角即ahd=设原正方体的边长为2a，连接af在折后图的aef中，af=a，ef=2ae=2a，即aef为直角三角形，ag*ef=ae*afag=在rtade中，ah*de=ae*adah=gh=cos= 解法2：点a在平面bcde内的射影g在直线ef上连接af，在平面aef内过点作agef，垂足为gacd为正三角形，f为cd的中点，afcd又因efcd，所以c