上海交通船舶与海洋工程考研复习资料

1、第一章 绪论主要内容及解题要点研究对象：结构是由若干相互联系的构件组成的整体。结构按其构件的几何性质可分为三类：杆件结构、板壳结构、实体结构。杆件的横截面尺寸比长度小得多，若干杆件按一定方式联结组合而成的体系为杆件结构板壳结构的几何特征是厚度要比长度和宽度小得多，形状呈平面状的为板，曲面状的为壳。由薄壁构件组成，也可称为薄壁结构实体结构的长、宽、厚三个尺度大小相仿。通常所说的结构力学是指杆件结构力学，因而结构力学的主要研究对象是杆件结构。对于板壳结构(薄壁结构)和实体结构的受力分析将在弹塑性力学中进行研究。基本任务：具体包括以下几个方面：(1)研究结构的组成规律、合理形式以及结构计算简图的合理

2、选择。(2)研究结构在载荷和其他外界因素作用下的内力和变形的计算方法，以便进行结构强度和刚度的验算。(3)研究结构的稳定性以及在动力载荷作用下的结构反应。研究手段：包含理论分析、实验研究和数值计算，结构力学课程讨论理论分析和数值计算方面的内容。超静定问题必须满足以下三个基本条件，方能求解。(1)力系的平衡条件或运动条件在一组力系的作用下，结构的整体及其中任何一部分都应满足力系的平衡条件。(2)变形的几何连续条件连续的结构发生变形后仍是连续的，材料没有重叠或缝隙；同时结构的变形和位移应满足支座和节点的约束条件。(3)应力与变形间的物理条件(或称本构方程)把结构的应力和变形联系起来的物理性条件，即

3、物理方程或本构方程。结构力学的各种计算方法均是结构计算三个基本条件的具体体现，要注意各种方法在其计算过程中是怎样实现三个基本条件的要求的。实际结构的简化 实际结构很复杂，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也没必要。对实际结构进行力学分析时，需要做一些简化和假设，略去某些次要因素，保留主要的受力特征，把实际结构抽象和简化为既能反映实际受力情况又便于计算的图形。(1)结构体系的简化：空间结构和平面结构(2)杆件的简化：杆件的宽度和厚度比长度小得多，在结构计算简图中，杆件用其纵轴线表示；对由单个杆件联结起来的结构，杆件之间的连接区用结点表示，杆长用结点间的距离表示，而载荷的作用点也转移到

4、纵轴线上；但当断面尺寸增大时(例如超过杆长的1/4)，杆件用其轴线表示的简化，将引起较大的误差。(3)杆件间连接的简化结构中杆件与杆件的相互连接简化为结点。铰结点：被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动，即在连接处可以承受和传递力，但不能承受和传递力矩。如桁架结构。刚结点：被连接的杆件在连接处不能相对移动，也不能相对转动，即在连接处不但能承受和传递力，而且能承受和传递力矩。如刚架结构(4)支座的简化支座是结构与基础或支承相连接的装置，作用是把结构固定于基础或支承结构上，限制结构沿某一个或几个方向的运动，同时结构所受的载荷通过支座传到基础或支承结构上。船体结构的支座一般简化为四种形式：简

5、支、弹性支座、固性固定和弹性固定。(5) 材料性质的简化在结构分析计算中，对于组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。(6)载荷的简化实际结构受到的载荷，有体积力和表面力两大类。体积力指的是结构的重力或惯性力等；表面力则是由其他物体通过接触面而传给结构的作用力，如风压力、水压力等。杆件结构中体积力和表面力都简化为作用在轴线上的分布载荷、集中载荷或力偶。对于船舶结构来说，常见的载荷为：固定载荷、变化载荷。船舶受风浪作用的动载荷，即水动压力、波浪拍击力及运动中的惯性力等。这些载荷主要取决于海况，即与环境有关，所以是随机的。变化载荷又可分为缓慢变化载荷和快速变化载

6、荷。船舶的主要变形特征和主要破坏形式结构物在外载荷作用下，会产生变形和应力，称为结构响应。响应又可分为静响应和动响应；如船舶受到静水压力作用产生的变形和应力称为静力响应，受到波浪拍击产生的变形和应力称为动响应。在考虑船舶总强度时，可将船舶作为一根作为一根梁来研究，称为“船体梁” ；在分布重力和浮力的作用下，其主要为弯曲变形。船体梁的弯曲变形是主要变形特征之一，所以总强度一直是船舶强度的主要内容。船舶斜浪航行时，左右两舷的分布水压力一般不等，则沿船长方向会出现扭矩，使船舶发生扭转；对于大开口船这是主要变形之一，其原因是大开口降低了船舶的抗扭刚度。因强度不足，经受不起风浪的打击，称为强度破坏。因为

7、在应力集中区域产生裂缝，逐渐向甲板、舷侧延伸，严重时可使整条船折断，这样的破坏称为应力集中破坏。船舶受压部位承受的压力过大，可能使某些构件失稳，丧失承载能力。失稳构件承受的压力转移到其他构件上，这些构件就要承受更大的压力，又增加了失稳的威胁。如果再有构件失稳，就会出现恶性循环，使受压构件逐个失稳，导致全船失稳，这称为稳定破坏。船舶受到周期性变化载荷的作用，产生周期性交变应力，可能在构件(骨材或板材)中引起微裂纹，裂纹逐渐增大即损伤不断积累。在交变应力经过大量循环之后，裂纹变得足够大，致使构件发生断裂，称为疲劳破坏。第二章 单跨梁的弯曲理论主要内容及解题要点“单跨梁”是梁在两端有支座支持或仅在一

8、端有支座，但提供了足够支持的梁，如简支梁，悬臂等，是研究梁结构的基础。研究单跨梁的弯曲问题，就是在已知梁的尺寸、材料、支持情况(边界条件)和受到的外载荷作用下，求出梁的弯曲变形(梁的挠度、转角)和内力(弯矩、剪力)，从而计算出应力。求解单跨梁弯曲的基本方法是弯曲微分方程式的积分法，即初参数法；积分方程的基本形式和常用的边界条件；实用方法是利用已知的梁的弯曲要素表和叠加法。在应用梁的弯曲要素表解题时，应注意：了解已有的弯曲要素表的种类、应用范围、坐标及符号法则；不同荷重作用下的弯曲要素可由各个荷重的弯曲要素叠加得到，但对于复杂弯曲的梁，只有在轴向力不变时才能使用；对弹性基础梁，只有在弹性基础刚度

9、为常数时才可应用。在画梁的弯曲图与剪力图时，尽可能将梁化为两端自由支持的情形；叠加画图时注意符号及图形方向。掌握梁的应力的计算方法。2.1 梁的弯曲微分方程式梁的弯曲理论以平断面假定为基础，即变形前梁的横断面在弯曲变形后仍保持为平面。实际上平断面假定仅适用于纯弯曲的情况。当梁上有横向载荷时，剪应力将引起断面翘曲。对于细长梁，剪应力引起的断面翘曲很小，可以不计。所以按平断面假定得到的梁的弯曲理论仍能适用于有横向载荷的梁。2.1.1 坐标系统和符号法则假定梁有对称面xoy并规定x轴在梁的中性层上，原点o在梁的左端，x轴向右为正、y轴向下为正，z轴与x、y轴构成右手直角坐标系统。梁的外载荷限定作用在

10、xoy平面内，其方向与y轴正方向一致为正(力矩除外)。梁在xoy平面内发生弯曲，弯曲时x轴上点的垂直位移v叫做梁的“挠度”，v(x)叫做梁的“挠曲线”，v的正方向与y轴的正方向相同。梁横断面的转角是挠度的一阶导数dv/dx，由规定的坐标系统和规定的v的正方向可以得出，横断面转角顺时针为正。剪力、弯矩的符号法则如下规定：左端断面剪力向下为正，右端断面向上为正；左端断面的弯矩逆时针为正，右端断面顺时针为正；图中所示全部为正。简言之，两端断面剪力产生的力偶逆时针为正；两端断面的弯矩使梁上凸为正，即上表面受拉、下表面受压。图2.1.2 图2.1.3 2.1.2 梁的曲微分方程式图2.1.3是变形后的梁

11、的微段。根据平断面假定，dx微段两端断面仍为平面，且两端断面夹角为d，设为梁中性层上曲率半径，由几何关系可得 或 又因为，再利用上式关系得到 (2.1.1)式中，为梁上距中性轴y处的纤维的相对伸长，即应变由于所研究的梁是属于小变形，即小挠度，dv/dx很小，所以梁弯曲轴线的曲率可用下面的公式近似表达： (2.1.2)在所规定的坐标系中，挠度的二阶导数是负的(d2v/dx20)，即曲率为负，所以得到 (2.1.3)假定梁的材料符合虎克定律，则梁横断面上的弯曲正应力为 (2.1.4)式中，E为材料的弹性模量。梁上没有轴向力，横断面上的弯曲正应力的合力应该等于零，即 或 式中，A为梁的横断面面积。梁

12、的横断面上有弯矩，必然有弯曲正应力，正应力的合力矩应等于该断面上的弯矩。对于横剖面上的正应力来说，受拉为正、受压为负，结合所规定的弯矩的正方向，则再将(2.1.4)代入，得式中的积分为梁的横断面对z轴的惯性矩，也称为面积二次矩，通常记为I，即于是得到 (2.1.5)此式表达了梁的挠度与弯矩之间的微分关系，其中EI称为梁的弯曲刚度或抗弯刚度。由平衡条件 Y = 0得到剪力与分布外载荷之间的微分关系： (2.1.6)由M = 0得到弯矩与剪力之间的微分关系： (2.1.7)将式(2.1.5)代入式(2.1.7)可得挠度与剪力之间的微分关系： 或 (2.1.8)最后将(2.1.8)代入式(2.1.6

13、)得梁的弯曲微分方程式 或 (2.1.9)在推导梁的弯曲微分方程式的过程中，用到了平断面假定，忽略了剪应力引起的横断面的翘曲，认为材料服从虎克定律，并且是小挠度。2.1.3 梁的曲微分方程式的求解利用挠度与剪力、弯矩、断面转角及载荷的关系，逐次积分弯曲微分方程，可得到 (2.1.15)式中，积分常数是梁的左端面(x = 0)处的挠度v0、断面转角0、弯矩M0和剪力N0。习惯上称梁的挠度v、断面转角、弯矩M、剪力N为梁的“弯曲要素”。梁左端(x = 0) 为梁的初始端，4个弯曲要素v0、0、M0和N0称为“初参数”。2.1.4 初参数法用简单的方法确定其特解，它对应的q是梁跨内部分的分布载荷或集

14、中力、集中力矩。把梁分为两段考虑，令0x< b为第一段，bxl为第二段，并把集中力P看作是作用在第二段的初始点。因此在第一段，梁的挠曲线可写为第二段相对于第一段，在其左端多了一个集中力，相当于该段初始端的剪力。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时将仅增加一相与集中力P有关的项P3/6EI。一般外载荷作用下的梁的挠曲线方程式为梁的支座型式及所对应的边界条件梁端的边界条件就是梁端弯曲要素的特定值或梁端弯曲要素之间的特定关系，它取决于梁端的支座情况。不同的支座对梁有不同的约束，因而给出不同的边界条件，所以研究梁的边界条件必需由梁的支座谈起。自由支持在刚性支座上、刚性固定在刚性支座上、弹性支座、弹

15、性固定端梁的应力梁断面有弯曲正应力和剪应力。弯曲正应力沿断面高度线性分布、沿断面宽度均匀分布，相应于规定的符号法则(2.1节)，断面距中性轴y处的正应力为 (2.2.17)矩形断面梁距中和轴y处的剪应力为 (2.2.18)其中 (2.2.19)为断面上从y到边缘部分的面积对中性轴的静距。对于b × h的矩形断面，可得出 (2.2.20)从中可以看出剪应力沿断面高度为二次抛物线分布，沿断面宽度均匀分布。在中性轴(y = 0)处剪应力最大，其值为剪切对梁弯曲变形的影响推导微分方程式EIIV = q时，在平衡方程式中考虑了剪力，但平衡方程式只是把M与q联系起来，最后仍基于纯弯曲时M与的关系

16、导出与q的关系。因此，由EIvIV = q求出的挠度通常理解为仅由弯矩引起的挠度。本节要来考虑剪切对梁弯曲变形的影响。其做法有两种，其一是从弹性力学出发，得出剪切对梁弯曲变形的影响，这样做严格，但很复杂；其二是不改变梁的基本关系式EI = M，而是在求出了梁的剪应力后，单独考虑剪应力产生的弯曲变形，再把所得变形与不考虑剪切时的结果相加。第二种做法相当于对前面所述的弯曲变形作一次剪切修正，这样做的优点是简单，又能满足需要，故采取这一种方法。下面先分析为什么剪切会引起挠度。仍旧在梁中取长度为dx的微段来研究，见图2.3.1。微段的两个断面上作用有剪应力，因此就要发生剪应变。暂时先不考虑剪应力沿断面

17、高度的变化，这时在图2.3.1所示的剪应力作用下，微段将发生歪斜，于是就产生了由于剪应力的存在而产生的挠度d2。事实上梁断面上的剪应力沿高度是不均匀分布的，在中性轴处剪应力最大，在上下表面剪应力为零，因此梁的剪应变亦必然在中性轴处为最大，在上下表面处为零。这祥一来，所述的微段除了发生剪切挠度以外，断面不再保持平面，而将发生翘曲，如图2.3.2所示。图2.3.1 图2.3.2在这种情况下，通常把梁的剪切挠度定义为中性轴处剪切应变相应的挠度。设中性轴处的剪切角为max，则有 (2.3.1)式中G为材料的剪切模量，As为梁断面的“有效抗剪面积”，它小于断面的真实面积A，As乘上最大剪应力即为断面上的

18、剪力。于是由上节的结果可知：短形断面理As = 2A/3；圆断面As = 3A/4；薄壁工字断面As Aw 。公式(2.3.1)中的负号表示剪力N为负时，剪切挠度2为正。剪切引起的挠度计算现从所得的关系式(2.3.1)出发，计算梁因剪切形成的挠度v2。设1为弯矩形成的挠度，则将前面导得的关系式EI 1 = M及EI 1 = N代入式(2.3.1)中，即得 (2.3.2)积分后得 (2.3.3)式中c1为积分常数。另一方面，由2.1节中的公式(2.1.14)可知，梁在受分布载荷q(x)作用的情况下： (2.3.4)此式可改写为 (2.3.5)式中，；a、b、c、d为四个新的积分常数。对式(2.3

19、.5)求导得 (2.3.6) (2.3.7)如果梁上受任意外载荷，则应利用公式(2.1.18），此时仍可写成(2.3.5)的形式，但其中的f(x)为(2.1.18)式后面三项组成的函数。将代入式(2.3.3)中，即得剪切挠度为梁的总挠度为与之和，因此有 (2.3.8)式中积分常数a、b、c、d，要由梁的边界条件决定。在用边界条件时注意到：(1) 梁的挠度为；(2) 由于剪切变形引起断面翘曲，但没有改变断面的中性轴处的转角，认为剪切不影响断面的转角，从而梁断面的转角将仍用公式(2.3.6)表示；(3) 梁的弯矩与剪力为， 实际上，剪切对变形的影响只是增加了一个附加挠度2。在考虑剪切对弯曲变形的影

20、响时需要保留，则梁的挠度增大。如果仅考虑弯曲变形，要舍弃项，则梁的挠度减小。这相当于在理论上提高了梁的抗弯刚度(实际上并没有提高)，所以是偏于危险的。梁的弯曲其他型式梁复杂弯曲的微分方程式梁上除了垂直于梁轴线的载荷以外，同时还受到沿着梁轴向作用的载荷(这种载荷叫做梁筑纵向载荷)，这时梁的弯曲叫做“复杂弯曲”，又称为“纵横弯曲”。轴向力的存在一方面使得梁断面的正应力增加一项沿断面均匀分布的量T/A(A为梁的断面面积)，同时对梁的弯曲要素也有一定的影响。梁在复杂弯曲时，认为平断面假定和虎克定律仍然相符，基本关系式EI = M不变。弹性基础梁第四章 力法主要内容及解题要点0.1 叙述了用力法分析杆件

21、结构的原理及其应用。研究对象为船体结构中的连续梁、不可动节点简单刚架及板架；讨论了船体结构中弹性支座与弹性固定端的形成及其柔性系数的计算问题。0.2 所述的力法以单跨梁建立的弯曲要素表和叠加原理为基础，通过以结构中某些特殊节点(如支座处、断面变化处、相交节点处)的节点力(或力矩)为基本未知数，以这些节点处的变形连续条件建立方程式，解出未知力，从而将复杂的杆系结构化为一根在节点处相联系的单跨梁。因此力法在具体计算时对象仍为单跨梁。0.3 对于在刚性支座上的连续梁及不可动节点简单刚架，一般将结构在支座或节点处拆为一段段两端自由支持的单跨梁加上未知弯矩，然后用转角连续条件求解。因此有几个未知弯矩必有

22、几个的转角连续方程式，即三弯矩方程式。对于在弹性支座上的连续梁，还需在每一个弹性支座处列补充方程式，最后所所得的转角连续方程式即为五弯矩方程式。0.4 在板架(交叉梁系)计算中，将主向梁与交叉构件在节点处分开代以节点力，再用主向梁与交叉构件相交节点挠度相等的条件求解。对于船体板架，一般认为外荷重全部由主向梁承受。一根交叉构件与许多根同样主向梁组成的板架的解法是综合力法与弹性支座概念而形成的计算方法。计算时交叉构件化为弹性基础梁，弹性基础梁的荷重及弹性基础刚度与主向梁上的荷重形式、主向梁边界情况有关。求解弹性基础梁，即可通过其挠度(板架的节点挠度)求出节点力。0.5 在连续梁与平面刚架结构中，如

23、果所研究的受载杆件与不受外载荷的杆或杆系相连，则总可以将不受载的杆及杆系化为受载杆的弹性固定端。方法是：(1) 将受载杆和与其相连的不受载杆或杆系在连接支座处分开，加上弯矩M，此弯矩亦可令其为1。(2) 计算不受载杆在M作用断面处的转角，此必然与M同方向，与M的比值就是所需的受载杆弹性固定端的柔性系数。在板架或一般的交叉梁系结构中，原则上说不受载杆对受载杆的支持可化为弹性支座，只要对不受载杆能写出在与受载杆相交节点处节叔力R与挠度之间的正比关系。弹性支座的柔性系数A = /R，计算方法与步骤与上述弹性固定端的计算相同。4.1 超静定结构概念一个结构，如果它的支座反力和各构件的内力都可以用静力平

24、衡条件唯一地确定，叫做静定结构；如果结构的支座反力和各构件的内力不能完全由静力平衡条件唯一地确定，就叫做超静定结构。静定结构是没有多余约束的几何不变体系，而超静定结构是有多余约束的几何不变体系。超静定次数就是超静定结构中多余约束的个数。如果从一个结构中去掉n个约束，结构就成为静定的，则原结构即为n次超静定结构。当结构的内力(轴力、剪力、弯矩)无法求出，需解除结构内部约束时，减少的内约束个数亦结构的超静定次数。4.2 力法的基本概念力法是解超静定结构的一种基本方法，兼顾考虑了静力平衡条件和变形协调条件。4.2.1 思想方法在超静定结构中涉及到的问题是计算多余的未知力X1，只要设法求得了X1，其余

25、的问题就是静定问题了。力法的基本思想方法和解题的过程，大致有如下几步：(1) 将超静定结构的多余约束去掉，用约束反力代替，使其成为一个静定结构。这个结构称为原来结构的基本结构。(2) 在去掉约束的地方，列出变形协调方程，以保证基本结构的变形与原结构相同，变形协调方程是力法的基本方程。(3) 求解变形协调方程，解出约束反力，以后的问题便为静定问题。对于n次超静定结构，首先将这n个未知力对应的约束解除，得到力法的基本结构。然后在这n个约束处及约束方向上建立变形协调方程，这些协调方程就是力法的基本方程式，共有n个方程。根据迭加原理，这些方程可写为 (4.2.6)式(4.2.6)为n次超静定结构的力法

26、方程式一般形式。根据位移互等定理，系数ij与ji是相等的，即ij = ji。所以式(4.2.6)为正则方程式。将式(4.2.6)用矩阵表达，得力法方程式的矩阵表达式4.2.3 三弯矩方程式求解连续梁的著名方法研究有n+2个支座的连续梁，其支座编号为0、1、 n+1，这是一个n次超静定梁。将连续梁中的1、2、 n支座处切开，得到n+1个简支梁，切开处的约束用力矩代替。简支梁是静定的，这n+1个简支梁也是原结构的基本结构。切开端的变形协调条件是其左右端面的转角相同，可以建立如下的力法正则方程 (4.2.9)支座i处的转角仅与i-1i和ii+1两段梁有关，而与其他梁段无关。这两段梁端共有三个未知弯矩

27、M i-1、Mi和M i+1，建立i支座处变形协调方程时，只与这三个弯矩有关，方程中只有三个弯矩出现，故称为三弯矩方程。三弯矩方程式广泛应用于求解连续梁和简单刚架上。值得指出的是，如果连续梁上受到均布荷重、两端为刚性固定，并且是等断面、等跨度的，则连续梁的每一跨度的变形都将相同，从而梁在中间支座断面的转角等于零。这种连续梁可以将每一个跨度处理为两端刚性固定的单跨梁，无需进行连续梁计算。4.3 简单刚架和简单板架的计算在船体结构中，有些骨架结构可以简化为刚架，有些可以简化为板架结构。刚架和板架构造的复杂程度因船而异，计算也有所不同。下面首先研究简单刚架和简单板架的计算。4.3.1 简单刚架计算船

28、体结构的刚架大都是由横梁、肋骨与肋板组成的“肋骨刚架”。刚架中杆件的相交点叫做刚架的“节点”。如果刚架中节点汇交的杆件只有两根，则这种刚架叫做“简单刚架”；如果刚架节点汇交的杆件大于两根，则叫做“复杂刚架”。在实际情况中，大多数刚架的节点在刚架受力变形后的线位移可以不计，故称为“不可动节点刚架”。节点有较大的线位移发生，这种刚架称为“可动节点刚架”。不可动节点简单刚架可以看作是连续梁的“折合”，刚架的节点相当于连续梁的支座，因此计算并不困难。4.3.2 简单板架计算船体结构中，相互交叉的梁系叫做板架，板架受垂直于杆系平面的载荷作用而弯曲。板架中梁的交又点叫做板架的“节点”。在船体结构中的板架，

29、其周界大都是矩形的，两个方向的梁是正交的，并且两个方向的梁的数目一般是不等的。其中数目较多的一组梁叫做“主向梁”，与其交叉的数目较少的梁叫做“交叉构件”。节点数目较少且主向梁与交叉构件都是等断面的简单板架计算。用力法计算板架时，常用的办法是将板架两个方向的梁在相交节点处拆开。如果忽略梁的扭转，则把两向梁拆开后，它们之间的相互作用力就是集中力，然后再用变形连续条件建立方程式求解这些集中力。力法并不一定把原结构化为静定结构，但须有现成解可利用。4.3.3 结构对称、载荷对称的简化计算结构对称、载荷对称的刚架，在对称节点处节点转角与节点断面弯矩大小相等、方向相反；在对称轴线上，转角与剪力都等于零。在

30、对称处有杆子(或支座)的刚架，此时刚架除了对称节点的转角与弯矩大小相等、方向相反以外，在对称轴的节点转角等于零，但左右断面中的弯矩与剪力均不等于零，从而可把刚架在对称轴处作为刚性固定端。4.4 弹性固定端与弹性支座的实际概念4.4.1 弹性固定端杆件的弹性固定端是与其相连的不受外载荷的杆件作用的结果；换言之，受载杆与不受载杆相连时，不受载杆就相当于受载杆的弹性固定端。计算弹性固定端的柔性系数，只需把受载杆与不受载杆在相交处切开并加上相互作用的弯矩M，计算无载杆在弯矩M作用处的转角，与M的比值就是柔性系数。由于在计算柔性系数时不需要知道M的大小，所以可以假设M = 1，这时计算出单位弯矩作用处的

31、转角，就是柔性系数的数值。柔性系数的数值主要取决于无载杆的杆长与断面惯性矩，而与无载杆端点的固定情况关系不大。这一结论说明，在杆系分析中要计算某一根杆件，事实上只需考虑与它相连的那些杆件的影响，而无需考虑远离此杆的其他杆件对它的作用。4.4.2 弹性固定端的固定系数“固定系数”(fixitvfactor) 反映的式弹性固定端固定程度，是弹性固定端断面的弯矩与假想为刚性固定时的断面弯矩之比，常用表示之： (4.4.3)在0到1中变化： = 0，即M弹 = 0，表示自由支持； = 1，即M弹 = M刚，表示刚性固定。与都是用来表示弹性固定端的系数，但在定义时并未要求弹性固定端中的转角一定要和弯矩成

32、正比。所以，用定义的固定端与用定义的固定端在意义上并不相同。换言之，如果一个梁的固定端中的转角与弯矩不成正比，那么无意义，但仍存在。4.4.3 弹性支座弹性支座的形成由板架结构来考虑。在一个板架结构中，如果其中不受载荷作用杆的节点力与节点挠度成正比，则可以将它化为与其交叉的有载荷杆的弹性支座，节点力与挠度间的比例系数就是弹性支座的柔性系数。4.5 弹性支座上连续梁的计算4.5.1 弹性支座上连续梁计算五弯矩方程式法具有弹性支座的连续梁可以把中间支座断面切开加上弯矩，得到图4.5.2中的基本结构，再建立支座断面转角连续方程式求解。考虑到中间支座断面的转角与弹性支座的挠度有关，因此转角连续方程式为

33、 (4.5.1)式中为弹性支座的挠度，可以写作 = AR，此R为弹性支座受到的力，即弹性支座对梁的图4.5.1 图4.5.2支反力，可分别对梁0-1与1-2计算后得到：于是 (4.5.1)对于中间弹性支座较多的连续梁，采取切开中间支座断面的基本结构。其变形协调条件是支座左右两侧梁的断面转角连续(相同)。其中第i个中间支座转角连续方程式为 (4.5.1)式中，i(qi)与i(qi+1)分别代表梁的第i跨度与第i + 1跨度上外荷重在支座处引起的转角与刚性支座上连续梁比较式(4.5.3)中多了与弹性支座的挠度有关的两项，其它并无差别。由于i-1与M i-2、M i-1、M i有关，i与M i-1、

34、M i、M i+1有关，i+1与M i、M i+1、M i+2有关，将它们代入(4.5.3)式后得到的方程式包含M i-2、M i-1、M i、M i+1、M i+2五个弯矩，所以叫做“五弯矩方程式”。4.5.2 阶梯形变断面梁的计算设想在断面变化处加上一个柔性系数A = 的弹性支座，于是便可按弹性支座上双跨梁的方法来计算了。列出方程式 = AR，因为有A = ，故有R = 0，即 (4.5.4)将式(4.5.4)代入式(4.5.3)中，即可解得弯矩M和挠度。第五章 位移法主要内容及解题要点0.1 叙述了用位移法分析杆件结构的原理及其应用。研究对象为船体结构中的不可动节点复杂刚架、可动节点简单

35、刚架及简单板架。由于位移法中采用的杆端弯曲要素的符号法则与第二章单跨梁及第四章力法中的符号法则不完全相同，因此首先要明确位移法中新的符号规定：杆端弯矩和转角以顺时针方向为正；杆端剪力和挠度根据杆件的局部坐标来定，剪力与挠度的正向相同。0.2 位移法解杆系问题时是将各组成杆件视为两端刚性固定的单跨梁，然后强迫可以发生位移的支座或节点断面产生协调一致的变形，并要满足支座或节点处力的平衡条件。因此位移法的几何协调条件自行满足，联系位移与力的关系的物理条件是刚度系数，建立方程式组的条件是力的平衡条件，基本未知数是位移。位移法是矩阵法的基础。0.3 用位移法求解不可动节点复杂刚架是角位移法。计算时首先分

36、析结构中有几个支座或节点可以发生转角，并把这些转角作为未知数，再在这些支座或节点处列出汇交杆件的弯矩平衡方程式。这样，有几个未知转角就有几个相应的弯矩平衡方程式，即可联立求出转角。最后通过转角计算杆端的弯矩与剪力。在进行上述计算时，要注意到：(1) 位移法中的杆端弯矩为固端弯矩与杆端发生转角的弯矩之和，即。(2) 固端弯矩可查两端刚性固定的单跨梁的弯曲要素表得到，但要注意表中的符号规定与位移法不同。(3) 杆端因发生转角而产生的弯矩和利用公式计算。这一公式在建立节点弯矩平衡方程式时要用，当解出转角后孩要用来计算杆端弯矩。(4) 在建立支座或节点的弯矩平衡方程式时，如果该节点上有外加弯矩，则在弯

37、矩平衡方程式中应予计入。(5) 如果支座或节点s有弹性固定端(柔性系数为s)，则在该处建立平衡方程式时还应计及弹性固定端的弯矩Ms = - s /s。0.4 用位移法求解可动节点简单刚架及板架时，先分析结构中有几个节点或支座可以发生转角及线位移(挠度)，并把它们作为未知数。然后，对每一个发生转角的节点或支座处列弯矩平衡方程式；对每一个发生线位移的节点或支座处列剪力平衡方程式。在计算时，杆端弯矩为固端弯矩与杆端发生转角及线位移时的弯矩之和，即；杆端剪力为固端剪力与杆端发生转角及线位移时的剪力之和，即。若节点或支座s处有弹性支座(柔性系数As)和弹性固定端(柔性系数为s)，那么在建立剪力和弯矩平衡

38、方程式时，还应分别计及弹性支座的剪力Ns = - s /As及弹性固定端的弯矩Ms = - s /s。5.1 位移法原理5.1.1 位移法的基本思想方法力法在选择基本结构时，是将超静定结构的多余约束解除，使之成为静定结构。位移法是反其道而行之，要在超静定结构上再加约束，使它成为更高次的超静定结构。图5.1.2(a)所示的双跨梁，在支座0，1，2处加上抗转约束后，便可拆为图5.1.3(a)所示的两个两端刚固的单跨梁。比较图5.1.2与图5.1.3(a)中的梁，可以看出有以下两点差别：(1) 图5.1.2中的梁是连续的，支座0与支座2是自由支持的，所以梁在支座0、1和2断面将发生转角。而图5.1.

39、3(a)中的梁在支座0、1和2处被刚性固定了，因而在该处转角为零这是二者变形的差别。(2) 图5.1.2中的梁的中间支座左端断面与右断面的弯矩大小相等，方向相反(弯矩平衡)，且支座0和2弯矩为零。而图5.1.3(a)中的梁被分成了两个刚性固定的单跨梁，在外力作用下，梁0-1在1断面的弯矩和梁1-2在1断面的弯矩显然不等，并且在0和2断面中的弯矩亦不等零这是二者力的差别。图5.1.2 图5.1.3为了使图5.1.3(a)中梁的受力与变形的情况与图5.1.2中的梁一致，并把图5.1.3(a)中的两个单跨梁联系起来，现在强迫图5.1.3(a)中梁0-1的0端转动一个角度0，l端转转动一个角度1；同时

40、梁1-2的1端亦转动一个角度1，2端转动一个角度2。设为两端刚性固定的单跨梁在外力作用下的固定断面的弯矩，称之为“固端弯矩”；再设M 为两端刚性固定的单跨梁仅因固定端发生转角而引起的在固定端断面中的弯矩，把上述两个阶段(图5.1.3(a)与(b)叠加，并设0、1、2恰好转到这样的大小，使得梁端的总弯矩应该具有的条件满足，即对支座0，弯矩等于零的条件满足 (5.1.1)对于支座1，弯矩平衡条件满足 (5.1.2)对于支座2,弯矩等于零的条件满足 (5.1.3)于是就可以从这三个方程式中解出未知转角0、1、2。求出这三个转角后，还可以求出因转角而引起的弯矩M ，于是每一根梁的梁端总弯矩即可由公式：

41、 (5.1.4)以上所述的就是位移法的基本原理。由于这个方法是以节点转角(角位移)为基本未知数，再根据杆件节点断面弯矩平衡条件建立方程式，最后解出位移，所以叫做“位移法”。对于刚性支座上连续梁或不可动节点刚架，因为节点只有转角位移，所以又称为“角变形法”。5.1.3 位移法的符号法则在上面求解连续梁的过程中，要建立支座处的力矩平衡方程。对于刚架、板架，有时还需要建立剪力平衡方程。5.1.4 位移法的刚度方程用杆端位移来表达杆端力的关系式，称为位移法的刚度方程式。现在讨论一长度为lij、断面惯性矩为Iij的等断面直杆，将其置于局部坐标系下。(1) 由杆端转角引起的杆端弯矩 (5.1.5)(2)

42、由杆端转角引起的杆端剪力 (5.1.6)(3) 由杆端挠度引起的剪力、弯矩 (5.1.7) (5.1.8)(4) 由杆端挠度和转角引起的杆端剪力和弯矩 (5.1.9)杆端同时有挠度和转角反映杆的一般弯曲情况，所以式(5.1.9)称为一般杆弯曲的刚度方程式。用矩阵表达为 (5.1.9a)式中方阵是杆一般弯曲时的刚度矩阵，是一个对称矩阵。5.1.5 位移法的平衡方程设不可动节点刚架第i节点是汇交着s根杆件(图5.1.10)，此节点的力矩平衡方程为 (5.1.10)令 (5.1.11)则式(5.1.10)可变为 (5.1.12)它表示了结构中第i节点的平衡。对于整个结构，若有N个节点有转角发生，则所

43、有节点的平衡都可类似列出，从而可得到 (5.1.13)此方程式组叫做“位移法方程式”，它的实质是平衡方程式。由式(5.1.11)可知kij = kji，故位移法方程式是正则方程。5.1.6 弹性支持边界条件结构在受到弹性支座约束时，其平衡方程需要补充处理。(1) 弹性固定端对图5.1.14的结构，强迫第i节点转动i，转动后各杆端和节点的弯矩如图5.1.15所示。若i节点为弹性固定端，则在节点转动i时，弹性固定端必然抵抗其转动，产生一个约束反力矩Mi。此力矩大小正比于i，但其方向与i相反。此时i节点平衡方程为Mi1 + Mi2 + + Mis + Mi = 0 (5.1.14)设弹性固定端的刚性

44、系数为Ki，则有Mi = Ki · i将其代入式(5.1.14)，再与式(5.1.10)和式(5.1.11)对比会发现，只有主系数Kii发生了变化，即增加了一项Ki；而副系数无变化。 (5.1.15)(2) 弹性支座 (5.1.18)其主系数 (5.1.19)当支座i无弹性支座时，则主系数中无KiA一项。这与弹性固定端的情况完全一样。5.1.7 位移法的计算步骤综上所述，下面将位移法求解平面不可动节点复杂刚架或刚性支座上连续梁的一般计算步骤加以归纳，其他类型的结构如板架，变断面梁等，计算步骤完全一致。(1) 首先分析结构的节点，观察一下有几个节点可以发生转角，以决定有几个未知数。一般

45、来说，除了结构中的刚性固定节点(刚性固定端)以外，其余的节点都可能发生转动。若结构的节点总数为N，刚性固定节点数为r，则未知数的数目为n = N - r。在结构分析中，常将结构节点的独立位移数目叫做结构的“动不定(kinematic indeterminancy)次数”,所以位移法中未知数的数目正好等于结构的动不定次数。(2) 在可能发生转角的节点处加上抗转约束，使之不能转动。这样，结构中的各杆均成为两端刚性固定的单跨梁。计算这种梁在外载荷作用下杆端弯矩，即固端弯矩。(3) 强迫加上抗转约束的节点转动，使之发生转角1、2、n，再按式(5.1.5)列出各杆端因发生转角而引起的杆端弯矩；查弯曲要素

46、表或计算出由载荷引起的固端弯矩；然后将因转角发生的弯矩和外载荷引起的固端弯矩相加，得到杆端的总弯矩，即(4) 对发生转动的各节点建立弯矩平衡方程(5.1.10)，如果有弹性固定端存在，要对其所对应的平衡方程的主系数进行修正，按式(5.1.15)进行。(5) 求解弯矩平衡方程组，得出各未知转角1、2、i、n。按式(5.1.5)计算各杆因杆端发生转角而引起的杆端弯矩，再按式(5.1.20)和杆的固端弯矩相加，得到杆端的完整弯矩。杆端剪力的算法完全类似杆端弯矩的计算，不再多述。杆的剪力、弯矩全部计算毕，可根据需要绘出剪力、弯矩图，计算应力或校核刚度等。第七章 能量法主要内容及解题要点0.1 能量法是

47、利用结构在外载荷作用下的功及应变能的概念解决计算问题的方法。在具体分析时，能量法常用来处理解析法不能适用的复杂结构问题。本章主要解决的对象为复杂结构形式及复杂荷重作用下的梁及曲杆、圆环等。此外，能量法还可以来分析非线性结构的问题。0.2 虚功原理是位移法的基本原理，包括虚位移原理和虚力原理。虚位移原理等价于结构的平衡条件，因此基于虚位移原理的方法是位移法。由虚位移原理可导出位能驻值原理、应变能原理及单位位移法的计算公式。常用的计算方法是位能驻值原理的近似法，即李兹法。虚力原理等价于结构的变形协调条件，因此基于虚力原理的方法是力法。由虚力原理可导出余能驻值原理、应力能原理及单位载荷法的计算公式。

48、常用的计算方法是最小功原理及卡氏第二定理。要理解与上述原理有关的量：外力功、应变能、余功、余能，总位能、总余位能、力函数等的意义以及在不同应用中的表达式，还要注意线性体系和非线性体系的差别。0.3 李兹法求解的弯曲问题是本章的重点。李兹法可用来求解任意结构形式的梁变断面的，有弹性支座、弹性固定端或有弹性基础的，在任意载荷作用下的挠曲线。其计算步骤如下：(1) 建立梁的坐标系。(2) 将梁的挠曲线写成级数形式式中，n(x)是满足梁端位移边界的基函数，是选定的；an为待定系数。(3) 计算梁的应变能V，此应变能必须表达为(x)的函数。一般情况下，梁的应变能包括梁本身的弯曲应变能 ，梁上弹性支座的应

49、变能 及梁上弹性固定端的应变能 。如果梁在a x b有弹性基础，则还要加上弹性基础的应变能。(4) 计算梁的力函数，它等于梁上外力与对应的位移的乘积之和。对于所选取的(x)，计算时应注意外力的方向是否与位移一致。在一般情况下，力函数为(5) 计算结构的总位能 = V - U，并将对an偏导，得出n个联立方程式：， n = 1，2，3 解之可得an，代入(x)的式中得梁的挠曲线，并可进一步求出梁的弯矩、剪力等弯曲要素。0.4 最小功原理是最小余能定理在线性体系中的应用，常用来计算曲杆、圆环等静不定结构的多余约束力。其计算步骤为：(1) 选定结构的多余约束力Xi(i = 1，2，3 )。(2) 计

50、算结构的应变能V，此应变能必须表达为力(外力及多余约束力)的函数。因此，杆件的弯曲应变能应写作 ，梁上弹性支座与弹性固定端的应变能应写作 及 。这样结构的应变能就成为多余约束力Xi的函数。(3) 建立方程式 ， i = 1，2，3 即可求得Xi，并进一步可得结构的弯矩及剪力。0.5 如果需要计算曲杆、圆环等的变形，可用卡氏第二定理。对于线性体系，有式中，k为对应于结构上广义力Pk的广义位移。对于静不定结构，应先用最小功原理求解了结构的静不定后，再用卡氏定理求位移。7.1 应变能和余能能量法从能量的角度来描述结构，使力的平衡条件和变形连续条件同时满足。7.1.1 外力功和应变能在研究线性结构时，材料服从虎克定律并且是小变形，可以使用叠加原理。更为普遍的情况是，弹性体的外载与变形间的关系是非线性的。非线性结构有两种形式：一是材料