北京市海淀区2020年高三年级第二次模考数学试卷(含答案)

1、数学答案第 1 页（共 10 页）海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学2020.6 阅卷须知 : 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案d a b d c c a b c c 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。题号11 12 13 14 15 答案1222144xy6 1，0, 6注：第 12 题答案不唯一，写出一个形如22221xyaa或22221yxaa（22a）的方程即可；第 14 题第一空3 分

2、，第二空2 分；第 15 题全部选对得5 分，不选或有错选得分，其他得 3 分。三、解答题共6 小题，共 85 分。（16） （本小题共14 分）解： 选择条件，不存在正整数(1)k k, 使得1kss. 解法 1 理由如下：在等差数列 na中，5115455102sadad又14a，540s. 所以由114,51040aad得2.d所以1(1)42(1)22naandnn. 0数学答案第 2 页（共 10 页）又因为110nnnssa，所以数列 ns为递增数列 . 即1k，都有1kss. 所以不存在正整数(1)k k, 使得1kss. 解法 2 理由如下：在等差数列 na中，51154551

3、02sadad又14a，540s. 所以由114,51040aad得2.d所以21(1)(1)42322kk kk kskadkkk . 令14kss，即2340kk. 解得1k或4k. 因为1k，所以1k与4k均不符合要求. 所以不存在正整数(1)k k, 使得1kss. 选择条件， 存在正整数12k, 使得1kss. 理由如下：在等差数列 na中，5115455102sadad又2d，540s. 所以由12,51040dad得112.a所以21(1)(1)12( 2)1322kk kk kskadkkk . 令112kss，即21312kk. 整理得213120kk. 解得1k或12k.

4、数学答案第 3 页（共 10 页）因为1k，所以12k. 所以当12k时，1kss . （17） （本小题共14 分）（）证明：因为e为ad中点，所以112dead. 又因为1bc，所以debc. 在梯形abcd中，/debc，所以四边形bcde为平行四边形. 所以/becd. 又因为be平面pcd，且cd平面pcd，所以/be平面pcd. 因为be平面bef，平面 bef平面pcdfg，所以/befg. （）解：（解法 1）因为pe平面abcd，且,ae be平面abcd，所以peae，且pebe. 因为四边形bcde为平行四边形，90adc，所以aebe. 以e为坐标原点，如图建立空间直角

5、坐标系exyz. 则(0,0,0)e，(1,0,0)a，(0,1,0)b，( 1,1,0)c，( 1,0,0)d. 设(0,0,)pm（0m） ，所以(1, 1, )cpm，( 1,1,0)ab. 因为pc与ab所成角为4，所以 cos,cp ab=cpabcpab=2222m=cos422.所以2m. 则(0,0,)2p，1 12(,)2 22f. 数学答案第 4 页（共 10 页）所以(0,1,0)eb，1 12(,)2 22ef，(0,1,)2pb. 设平面bef的法向量为( , , )x y zn，则00.ebef，nn即01120.222yxyz，令2x，则1z，所以( 2,0,1)

6、n. 所以 cos,|pbpbpbnnn22333. 所以直线pb与平面bef的所成角的正弦值为23. （） （解法 2）连结ec, 因为/aebc且aebc，所以四边形abce为平行四边形. 所以/abce. 因为pc与ab所成角为4，所以pc与ce所成角为4. 即4pce. 因为pe平面abcd，且ce平面abcd，所以pece. 又因为2edc，所以平行四边形bcde是矩形 . 所以在等腰直角三角形pec中，2pece. 因为pe平面abcd，且,ae be平面abcd，所以peae，且pebe. 又因为aebe，以e为坐标原点，如图建立空间直角坐标系exyz则(0,0,0)e，(0,1

7、,0)b，(0,0,)2p，( 1,1,0)c，1 12(,)2 22f. abcdpegfxyz数学答案第 5 页（共 10 页）所以(0,1,0)eb，1 12(,)2 22ef，(0,1,)2pb. 设平面bef的法向量为( , , )x y zn，则00.ebef，nn即01120.222yxyz，令2x，则1z，所以( 2,0,1)n. 所以 cos,|pbpbpbnnn22333. 所以直线pb与平面bef的所成角的正弦值为23. （18） （本小题共14 分）解: （）由图1 可知，该地区居民中年龄在7180 岁的频率为0.004 10=4%. 由图 2可知，样本中年龄在7180

8、 岁居民家庭医生的签约率为70.0%，因为该地区居民人数约为2000 万，所以该地区年龄在7180 岁，且已签约家庭医生的居民人数约为2000 4% 70.0%=56（万人） .（） 由题意，从该地区年龄在7180 岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为710. 设ia表示事件 “从该地区年龄在7180 岁居民中随机抽取两人，其中第 i 个人已签约家庭医生”（1,2i） ，则7()10ip a，73()11010ip a（1,2i）.设事件 c 为“从该地区年龄在7180 岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1 人已签约家庭医生” ，则1221ca aa a. 所以1212733721(

9、)() ()()()1010101050p cp a p ap a p a. 所以这两人中恰有1 人已签约家庭医生的概率为2150. （）应着重提高年龄在3150 岁居民的签约率. 数学答案第 6 页（共 10 页）理由如下：依题意，该地区年满18 周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升11%；年龄在3150 岁居民人数在该地区的占比约为：21%+16%=37%，占比大；年龄在3150 岁居民的医生签约率较低，约为37.1%；该地区年满18 周岁居民的人数在该地区的占比约为：0.008+0.005 0.7) 10=0.8851-(；所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提

10、升至100%，可将该地区年满18 周 岁 居 民 签 约 率 提 升 37%(137.1%)0.88537%62.9%23% ， 大 于11%. （19） （本小题共15 分）解： （）由题意，222132.bcaabc，解得2,1.ab所以椭圆w的方程为2214xy. （）由题意，直线l不与坐标轴垂直. 设直线l的方程为：1ykx（0k）. 由221,44.ykxxy得22(41)80kxkx. 设11(,)c xy，因为10 x，所以12841kxk. 得21122814114141kkykxkkk. 即222814(,)41 41kkckk. 又因为(0,1)b，所以2212141141

11、8441kkkkkk. 数学答案第 7 页（共 10 页）由1,2.ykxy得1,2.xky所以点m的坐标为1(,2)k. 所以22131kkk. 所以1213344kkkk. （20） （本小题共14 分）解： （）( )e (sincos )+e (cossin )xxfxxxxx2e cosxx. 令( )0,fx得22()22kxkkz. 所以( )f x 的单调递增区间为(2,2)22kk()kz. （）证明：要证曲线( )yf x 在区间(0,)2上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程( )2fx在区间(0, )2上有且只有一个解. 令( )fx2e cos2xx，得e cos1x

12、x. 设c(1)eosxg xx，则( )e cose sin2e sin()4xxxg xxxx. 当(0,)2x时，令( )0g x，得4x. 当x变化时，( ),( )gxg x 的变化情况如下表：x(0,)44(,)42( )gx0( )g x极大值所以( )g x在 (0,)4上单调增，在(,)4 2上单调减 . 数学答案第 8 页（共 10 页）因为0(0)g, 所以当(0,4x时，( )0g x；又1(0)2g，所以当(,)4 2x时，( )g x 有且只有一个零点. 所以当(0,)2x时，c(1)eosxg xx有且只有一个零点. 即方程2( )fx，(0,)2x有且只有一个解

13、. 所以曲线( )yf x 在区间 (0,)2上有且只有一条斜率为2的切线 . （21） （本小题共14 分）解： （）由题知( 2,2),(3,1)ab，进而有2222|(2+1)(32)34oaob，2222| |(2+2)(31)32oaob，所以2222|oaoboaob. 所以,a b两点相关；由题知(4,4),(2, 3)cd，进而有2222| =4+3)(24)85ocod（，2222|4+4)(23)89ocod（，所以2222| |ocodocod，所以,c d两点不相关 . （） ( ) 设(1,1)a的相关点为( , )b x y，, x yz，,nxnnyn, 由题意，

14、(1, )ay，( ,1)b x. 因为点,a b相关，则222242| 12| 12|xyxyyyxx. 所以| 10 xyxy. 所以(| | 1)(| 1)0 xy. 当0 x时,|0,1y, 则(1,1)a相关点的个数共3 个; 数学答案第 9 页（共 10 页）当| 1x时, 则(1,1)a相关点的个数共42n个; 当| 2x时, | 1y，则(1,1)a相关点的个数共4 (1)n n个 . 所以满足条件点b共有24 (1)42345n nnn( 个). ( ) 集合s中元素个数的最大值为81n. (0,0),(0,1),( 1, 1),( 1,),( 2,),(,)snnnn符合题

15、意下证：集合s中元素个数不超过81n. 设1122(,),(,)a x yb xy，若点,a b相关，则2222111122222|2|xyxyxyxy2222121221212|2|xyxyxyxy.则11221221| |x yx yx yx y. 所以1212(|)(|)0 xxyy. 设集合s中共有m个元素，分别为(,)iiia x y，1im，*in，不妨设12| |mxxx，而且满足当1| |iixx，1| |iiyy. 下证：12| |myyy. 若1| |iixx，1| |iiyy. 若1| |iixx，则必有1| |iiyy. 记，11|iiiiidxyxy，11im，*in，显然，数列id至多连续3 项为 0，必有1231iiiidddd，假设81mn，则1281123481()21nnddddddddn. 而12818181| 21nnnddd