南京工业大学概率论与数理统计试题三套附答案

1、南京工业大学概率论与数理统计课程考试试题(A、闭)(2008/2009学年第二学期)院(系)班级 学号一姓名 得分一、填空题(每空2分，计20分)1. 设 P(A) =0.4 , P(B | A) = 0.7 ,贝U (1) P(AB ) = (2) P(A B)=o2. 设随机变量X N (0,1) , Y N (0,1)且X ,Y独立，则X +Y ,22X +Y 。3. 设随机变量 X N (0,1)，贝U E | X |= , EX 2 =。4. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从概率p =0.6的0-1分布，贝U PX =丫=5. 设随机变量XB(10,0.1)(二项分布)丫兀(3)(

2、泊松分布 = 3 )，且X与Y第19页共18页相互独立，贝U E(X -2Y +3) =； D (X -2Y +3) =。26. 设总体XN (比CT ) , (X 1, X 2，X n)是来自总体X的样本，已知 nc乏(X i X)2是CT 2的无偏估计量，贝U c = i云二、选择题(每题2分，计10分)1. 当事件A和B同时发生时，必然导致事件 C发生，则下列结论正确的是()(A) P(C)芝 P(A) +P(B) 1(B) P (C) £ P(A) + P(B) 1(C) P(C)=P(ApB)(D) P(C)=P(AB)2. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概

3、率为p(0 < p <1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(2(A) 3p(1 - p)(C) 3p2(1 - p)23. 设X,Y独立，X,Y的概率密度分别为 条件概率密度fX|Y(x|y)为( )(A) fX (x) fY(y) (B) fX (x)/ fY (y)2(B) 6 p(1 - p)(D) 6 p2(1p) 2fX (x), fY (y),则在Y = y的条件下,X的(C) fX (x)(D) fY(y)4. 下列结论正确的是()。(A)若P(A) =0，贝U A =中(不可能事件)(B)若DX则 D ( X Y) = DX DY(C)若X ,Y不相关，

4、则X ,Y独立(D )若X ,Y不相关,5. 设 X - t(n)，贝U X(A) F (n,1)(B) F (1,n)(C) 72(n)(D) 72(1)三.(10分)有两个口袋，甲袋中有 2个白球，1个黑球；乙袋中有1个白球，2个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，(1)求取到白球的概率；(2)若发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋的球，黑、白哪种颜色可能性大？C四.(8分)已知随机变量x的概率密度为f (x)=月尸,x >0 , (1)求常数C的值; /1 x0, x £ 0(2)设Y =ln X ,求Y的密度函数。五.(10分)设独立的随机

5、变量X、Y的概率密度分别fx(x)1, 0 ：: x : 10, otherwise-yfY (y) = *e , y 0，工、0, otherwise，求Z = X +Y的概率密度。. 2,0 < x < 1,0 < v < x六. (12分)随机变量(X ,Y)的概率密度f (x,y) ="' L . 一 ,求EX , EY ,DX 'DY'Cov(X'Y)' PXY。七. (10分)某车间有同型号机床 200部，每部开动的概率为 0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车

6、间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。(中(1.65) = 0.950 )八. （10分）设总体X N （四CT2），其中卜已知，而b2未知，（1）求b2的极大似然 估计；（2）证明此估计是o'2的无偏估计。九. （10分）为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法（无添 加剂）及新方法（有添加剂）各浇制了10块预制板，其承载数据如下：原方法：78.1 ,72.4 , 76.2 , 74.3 , 77.4 , 78.4 ,76.0 , 75.5 ,76.7 , 77.3;新方法：79.1 ,81.0 , 77.3 , 79.1 , 80.0 , 7

7、9.1 ,79.1 , 77.3 ,80.2 , 82.1设两种方法所得的预制板的承载力均服从正态分布。试问新方法能否提高预制板的承 载力（取 a =0.05 ）。（灭=76 .23 ,=79 .43 , s： = 3.325 , s： = 2.225 ,F°.025（9,9） =4.03, t°.°5（18） =1.734 ）概率统计 课程考试试题（A、闭）2008-2009学年第2学期概率论与数理统计试卷 A答案）一、填空题(每空 2分，共20分)1.0.28, 0.1222. N (0,2) , L (2)3. E , 14.0.525.-2 , 12.96

8、.1n 1二、 单项选择题（每题2分，共10分）1.A2. C 3. C 4. D 5. B三、解.设A = "从甲袋中取出的是白球” 乙袋中取到白球”。,B = "从甲袋中取出的是黑球” ，C = “从则A,B构成一个完备事件组，则由全概率公式2 2137P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C |B)= , + 一, = , ,53 43 412p(a|c)=Q 顼A)P(C|A)二些二4P(C)P(C) 7/127P(B|C)=* = P(B)P(C|B) =±=3P(C)P(C) 7/12710'所以白球可能性大。四、解.（1）由规范

9、性12_ .x = C =1，贝U C = 。 , 2x22二2e(2)由 y =ln x,得 x =ey，贝U fY(y) = fx (ey)(ey)= 。，8二(1 e y)五.(10 分)解 由卷积公式得 fZ(z) = C fx (x)fY (zx)dx4'(e-1)e",z N16'=«1 -e" ,0 <z <18'0, otherwise 10六、（10分）1 x121 x11解.EX =2乂乂2(=2乂乂= - , EY=dxy2dy= x2dx= , , 4'40.0心3-0L0-03_21 x 213

10、1_21 x 21 231EX = dx x 2dy = 2x dx = ， EY = dx y 2dy =x dx = ，00.02.0.0. 0 36DX =EX 2 _(EX )2 = 1 _4 =上，,6，2918DY =EY 2 _(EY )2 =1 一1 =二 ,8，6918E(XY ) = f dx jxy2dy = j x3dx = ,1 21Cov (X ,Y) = E (XY ) - EX EY = - 一 = , , 10'4 936Cov(X,Y) _1/36DX DY 1/18= 1/2 ,12',、1,第i部机床开 七（10分）解.设最少需要15x个

11、单位电能，Xi =，i =1,2，200 ,0,第i部机床关200X =X Xi =开动机床数。贝 UX B （200 ,0.7） , ,5'i ziP(15X £15x) =P(X 三 x) =P(X -200 0.7.200 0.7 0.3x- 200 0.7 ) .200 0.7 0.3,x140-：()=0.95. 428'则 XT40 .1.65<42,贝u x =150 .6932 ，贝u 15x=2260 （答在2260至2265之间都算对），,10'八（10分）解.（1）In L_ n2=In . I. f ( xj, ；) = In1/

12、. 2(2二广/ -质疽)M (xi -，')2 ,2 二,4'dn(ln L)= 一 2。212、(Xi -)=0n i -1.6'则&2是a2的无偏估讨.10'（10分）解.（1）先验证己与。：是否相等，H._ 2 0 : "-'12。2 ； H21 一 ，二=_、 (Xin i2 1 一.由于 E ;? = _、 E(XC 2,2_ 2S1 I 二1X -Y t(18) ,8'S.F = 2 = F (9,9)(从假该 H ° 出发),S2 /。2 S2则 f =1.49 , F 0.025 (9,9) =4.0

13、3 , F1 工林(9,9) = 1 / 4.03 = 0.25 ,5'显然 0.25<1.49<4.03,故接受 H 0 ., （2）在b：=。：的前提下，假设H 0 : H > 2 , H1 :改也，则，选统计量ni n2计算得t =1.295 ,拒绝域为t壬ta（18） = t0.05 （18 ） =1.734 , t在拒绝域中，故拒.10'南京工业大学 概率统计课程考试试题（A）（江浦）（2003/2004学年第二学期）题一一三四五六七八九总所在院（系）学号姓名班级分分一、填空题(每空2分，计14分):1. 设 P(A)=L , P(B)= - , P

14、(A B)=-，贝U P(AB)=; P (A U B) =。432一，.xOcxcl, ，一，,十2. 设随机变量 匕的概率密度为f (X)=，以n表示对芸的三次独立重0,其它.复观察中事件芸< 1 出现的次数，贝U P»!=2=。23. 若随机变量 巴在(0 , 5)上服从均匀分布，贝U方程4x?+4 ： x+E+2=0有实根的概率4.设总体XN(P,。2)，其中P未知，o2已知，(Xi, X2, X3)是样本。作样本函数如4下:一X131 1 n+ -X3 ;£ (Xi -)3 n «_ 122一X1 + _ X2 X3 ;3332Xi32 -X23O

15、这些函数中是统计量的有有;最有效的是二、选择题(每题3分，计9分)：1.设随机变量匚服从正态分布N(*o2),则随。的增大，概率P3- P|<CT 。(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定则下列式子肯定正确的是 D 听=0(D) DDn=02.如果随机变量，与n满足d (E +叮)=D (E 听)，(A) E与听相互独立 (B) £与不相关 (C)3. 在假设检验中，H。为原假设，备择假设 H1,则称()为犯第一类错误。(A) H0为真，接受 H0(B) H0为假，拒绝H0(C) H0为真，拒绝H0(D) H0为假，接受H0三. (10分)一个工厂有甲、乙、丙

16、三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别占产量的5%、4%、2%。(1) 从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？(2) 从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？r2x四. (12分)设连续型随机变量E的分布函数为：F(x)=JA+Be 2,若x>0,0, 若x苴0.试求i)系数a及b； 2)随机变量&的概率密度；3)随机变量匚落在区间(jin;,jin6)内的概率。五. (7分)设匚和听是两个独立的随机变量，匕在0, 1上服从均匀分布，n的概率密度六.斗侦，为：

17、f (y) = 20, ky 0,y £0,求P:芝4。(& , H)有联合概率密度:其中明)，3xy f(x,y) =160,(x,y)-G.G为0Mx壬2及0壬y壬x2所围的区域。试求eE, E», D&, Pih。并考察，与吐独立性。(x,y) G,D ， Cov (,(1)求和n的联合概率密度； (14分)设二维随机变量七. (12分)设总体X的概率密度为f (x) = J( +1" , °<xw1；其中8 A-1是未知参数，X1, X2,，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本。试分别求0的矩估计量和极大似然估计量。

18、八. (10分)已知总体XN (改。P(A)= £ P(H i ) P(A|H i)=0.80+0.15 X5 +0.05 X "仲 0.9646.)。试分别在下列条件下求指定参数的置信区间：(1) 。2 未知，n=21 , 1=13.2 , s2=5, 口 =0.05。求卜的置信区间。(2) 卜未知，n=12 , s2=1.356 , a =0.02。求。2 的置信区间。(已 知 t0.025 ( 20 ) =2.0 8 6 ,0 10.025 ( 21 ) = 2.0796,意.01 ( 11 ) = 24 .725,2 2 20.99 (11) i66 20.053

19、0.01 ( 12 ) 26.217 。但(12) 3.571 )九. (12分)某化工厂为了考察某新型催化剂对某化学反应生成物浓度的影响，现作若干试验，测得生成物浓度(单位：%)为使用新型催化剂(X): 34 35 30 32 33 34不使用新型催化剂(Y): 29 27 32 31 28 31 32假定该化学反应的生成物浓度X、Y依次服从N (吕，B；)及N(H2, b：)。取显著性水平 a=0.01。(1) 检验假设 H ° :=。：，H 1 :#。2 ;(2) 若(1) H °成立，再检验H ° ：比壬巳，H：巴 > 匕。(F 0.005 (5,6

20、) =11 .46, F。.。5 (6,5) =14.51 ,顷暗(11 ) = 3.1058 ,顷1 (11 ) = 2.72 )南京工业大学概率论与数理统计课程期末考试试A=（通过验收.由条件，易见题解答（B卷）P(H°)=0.80 , P(H i)=0.15 , P(H 2)=0.05 ; P(A|H0)=1 ,P(A|HC 4C231 )C4C 24一.填空八11.(4 分)21 +n八3 2.(4 分)-8nn3.(4 分)寸(xi - x)(yi-y)2?(xi - x) ; y - bx.i注/i m4.(4 分)(4.804, 5.196)；(4.8,5.2 )也对。

21、5.(3 分)二.选择1.(4 分)(C)2.(4 分)(C)：，（x）.三.（10分）引进事件：H=箱中实际有i只残品,C；2P(A|H2)= -fC24由贝叶斯公式，知P（H o|A）=P(H 0)P(A | H 0) P(A)0.80 1Q 0.8294.0.9646四.（9分）X的密度为fx(x)=1,若0 <x <1,其他.0,函数y=ex有唯一反函数x=h(y)=lny ,所以f y(y)=fx(ln y) |(lny)'|,若 0<ln0,y 1,=y 若不然； y0,若 0 ： y ： e,若不然；5 19，.由全概率公式，知6 20 * *五.(11

22、分)Fz (z) =P(X£Z)=P(X 丫 £z) = f (x, y)dxdyx .y.抒t _y e而 f (x, y) = f x (x)，fY ( y)= <0,其它.当 zv 0 时，Fx (z)=0 ;当0v z v 1时,Fz (z) = f (x, y)dxdyx iy 兰z z x一 _y=° e dydx_z=z -1 e ;zz _xz A 1 时 f Z (z) = JJ f (x, y )dxdy = J e "dy dx =1 + (1 - e)e .X: ：|y ¥0,Fz (z) = 4 z -1 +e&

23、#39;z 0,0 E z ： 1,z _1 .z < 0,0,0 < z <1, FZ'(z) = fZ (z) = < 1 -e'z 芝 1.(e 1)e2_22_22_2六. (10 分)易求出 S1 =0.096, S 2 =0.026,因 S1 > S 2 ,令 F= S 1/S2 (>1).由题设知 F2(01-1,0 2-1) =F 0.025 (7,8)=4.53, 而 R=S2/S22=0.096/0.026=3.6923,因 F0< f 0.025 (7,8),故接受H).七.(12分)(1)由连续型随机变量的性质，

24、可知，F(x)是连续的函数。考虑 F(x)在x=0, x=1两点及 iim+F(x)=四用=b，可知A=B的连续性，有 lim F(x) =lim Aex =Ax _ 0x _ 0 (1)蚂 F (x)=蚂=B , lim K (x) =lim 日Ae .心)=1 A，可知 B=1-A(2)由(1),(2)(2)(3)或ex /2, x <0 两式,得 A = B =1 / 2。于是'彳导F(x)=«1/2,0玄x<1X的概率密度为P 软. 1/ 3 ' = 1ex /2,x : 0f (x) =0,0 £x ：:1-P*X _1/3： =1 -

25、 F 1/3 =1-1/2=1/2f11 f (x)dx = 1 0dx331 dx =2八.(12分)EX =亡亡xf7 (x,y)dydx = x(x y)dy dx 二一又EX2 =二产J2x f (x, y)dydx11=x(x - y)dy dx =.0. 0512所以DX =EX 2 _(EX )2=5 推 111=，由对称性易知EY711,DY 二又E(XY)=广1212xyf (x, y )dydx14411= xy (x - y)dy dx1 =12144故JjnQCov (X ,Y) =E(LdOX -EX )(Y _EY ).0.01 =E(XY) 一EX EY =_37

26、7 X 1312121441Cov (X，丫) 一亩 _1DX , DY ,11/14411/14411九.（9分） 设X1, X 2,Xn是样本的一组观察值记 x（1）= min（ X1 , X2,，Xn） , x（n）= max（ x，x?，Xn） n似然函数为：L® =口 f * ,e）=en，o wx（1），x（n）=9 其它- f? = min（ x1, x2，xn） = x（1）是。的极大似然估计。下面为求E（t?）,先求fmin （x）,0 苴 x <F (x) = f (x)dx = 0, x : 01, xwI。，- Fmin (X) =1 - 1 FIX)/

27、 二1 一I1，- fmin (X) =刀.3)=.0,.OnX n _1-E() = x (1 -一) dx 0ux 0x n1 一 一 ,0 £ x ： 3X - T1X n -1(1 ),0 £ x «e其它.111.=n () =31n n - 1 n - 1&不是。的无偏估计。南京工业大学 概率统计课程考试试题（A闭）（2009 2010学年第一学期）所在院（系）江浦 班级 学号 姓名题分一一三四五六七八九总分.填空（每空2分，计20分）111；P(A B)=1、已知 P(A)= ，P(B|A)= , P(A|B)=;贝"P(B)= 1

28、/64321/3。2x, 0 < x <12、 设随机变量 X的概率密度为f （x）=，以Y表示对X的三次独立重g 其他复观察中事件“X< 1/2” 出现的次数，贝U P（ Y=2= 9/64。 .cx2y, x2y<1 3、 设二维随机变量（X, Y）的联合概率密度为：f （x, y）=。则c =0, 其他21/84、已知随机变量X, Y的方差为DX=49 , DY=64 ,相关系数PXY =0.8,则 D （X +丫）=, D （X -Y） =。5、 若随机变量X在（0 , 5）上服从均匀分布，贝U方程 4t2 +4X t+X +2=。有实根的概 率是。6、设总体X

29、服从N （*。2），其中P未知，a 2已知，X1 , X 2 , X 3是样本。作样本函 数如下：X1X2+X3 ；（Xi卜）2 ;X1 十一X2X3 ； 333n333X X X 3。这些函数中是统计量的有 ；是P-的无偏估计量的3 33有；最有效的是.选择（每题3分，计9分）1、设随机变量 X服从参数为n, p二项分布，且已知 EX =2.4 , DX =1.44,则此二 项分布中的参数(n, p)=()。(A) (3 , 0.8)(B) (4, 0.6)(C) (6, 0.4)(D) (8 , 0.3)2、设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度是为()的随机变量。(A)独立同分布(B)独立不同分布分布f (x,y)=兀0,(C)不独立同分布2+ y刍，则X与Y其它(D)不独立也不同3、设Xi , X2,，Xn是来自总体 X的一个容量为n的样本，EX = k , DX =CT2 , 若有估计量 秒1 =厂，？2 =X1，并且P、cr 2是未知参数，则下述说法错误的是()。(A)用=X是卜的无偏估计量；n1 22(B)巳=Xi是卜的无偏估计量;(D)里比也有效；(C)，(Xj -X)是cr的无偏估计重;135，2c 4