傅立叶变换应用于通信系统滤波

1、傅立叶变换应用于通信系统滤波学习目标1明白得系统函数 H(j ) 及傅里叶变换分析法， 把握无失真 传输条件。2了解理想低通滤波器模型，系统的物理可实现条件，熟悉 调制、解调的原理与实现。3把握抽样信号的传输与复原，熟悉频分复用与时分复用。教学重点难点重点把握无失真传输条件。教学内容§ 5.1 引言 本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个要紧方面 调制和抽样 。傅里叶变换形式的系统函数滤波、则依卷积定理有R(j ) E(j关于稳固系统频率响应特性H(j ) H (jethtHrt本章共 8 学时， 其中，讲授 7 学 时，讨论课 1 学 时。若e(t)r(t)h(t)H(j

2、)ej()E( ), 或E(jR( ), 或 R(jH ( ), 或H(j所以 H(j )R(j )E(j )在授课过程中， 要引入当今通 信领域的新技 术，通过让学生 查阅资料， 及时 研讨，深入明白 得傅立叶变换 在通信领域的 应用和进展。H(j ) ：系统的幅频特性( ) ：相频特性设激励为e(t)ej 0tr(t) h(t)e(t), 则系统的零状态响应为 h( )ej 0(t )dej 0th( )e j 0 dH (j0 ) ej 0t等于激励 e(t) 乘以加权函数 H(j 0)系统函数的物理意义 系统能够看作是一个信号处理 鼓舞： 响应：E(j是E(j ) H(j ) 

3、3;E(j )E(jH(jH(j) ej) ej对信号各频率重量进行加权) ()R(jE(j) H (j )E( )的幅度由 H( )加权 )r(e(E 的相位由修正 )关于不同的频率 过程。，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的§5.2 利用系统函数 H(j 系统的频响特性与 H (s)的关系 正弦信号鼓舞下的稳态响应 非周期信号鼓舞下系统的响应 系统的频响特性与 H (s)的关系) 求响应当H (s)在虚轴上及右半平面无 极点：F h t H j H ssj当H (s)在虚轴上有极点不同。 例： 当输入为h(t) v(t)t 时，求出 v(t)即 h(t)1C1i(t

4、)dt 1 u(t)CitH(s) L h(t)s1j二正弦信号鼓舞下系统的稳态响应H(j ) F h(t)设激励信号为 sin 0t ，系统的频率响应为H( ) H( )ej ( )， 则系统的稳态响应为H( 0) sin 0t ( 0)讲明正弦信号sin 0t 作为鼓舞的稳态响应为与鼓舞频率的信号，幅度由加权，相移动 0 。 H j 代表了系统对信号的处理成效三非周期信号的响应傅氏分析从频谱改变的观点讲明鼓舞与响应波形的差 的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清晰。·用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。异，系统对信号vt·引出 H(j )重要意义在于研究信号传

5、输的差不多特性，简述滤波器的 差不多概念，并明白得频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输 和滤波器设计等实际咨询题中具有十分重要的指导意义。总结系统能够看作是一个信号处理器：H j 是一个加权函数， 对信号各频率分量进行 加权。 信号的幅度由 H(j ) 加权， 信号的相位由 修正。关于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠 加的过程。例 5-2-11若H j 当输入分别为 sint,sin 2t ,sin 3t 时的输出为多少 1j解：H (j ) 1 2 ( ) arctansint:sin(t 45 )21sin 2t :sin( 2t 63 )5sin 3t :

6、1sin( 3t 72 )10例 5-2-2下图所示 RC电路，在输入端 1 1 加入矩形脉冲 v1 t ，利用傅里叶分 析方法求v1(t)E2 2 端电压 v2 t12Rv1 (t)vC 0 C0v2(t)分析：R j H j E jH j h t F etHssjr t F 1 R j解:11H s sC RC令s jRCH j11s j jRssCRC激励信号 v1 t 的傅里叶变换式为jEV1 jE Sa e 2 1 e j1 2 j响应 v2 t 的傅式变换V2 jH j V1 jjjE Sa e 2 V2 j ej 2 j22求 v2(t)Ejv2 j1 e jjj11E 1 1

7、1 e j jjE 1 e j E 1 e j jj所以 v2 t E u t u t E e t u t e t u tE 1 e t u t E 1 e t u t波形及频谱图如下：12Rv1(t)Cv2(t)?系统具有低通特性，半 功率带宽为 ；? 输入信号在 t 0急剧上升， t 急剧下降，蕴含着高频 成分。经低通后，以指 和下降，波形变圆滑。?1RC频率RC称为时间常数， RC，即带宽增加，允许更数规律上升高的分量通过，响应波形的 上升，下降时间就要缩 短。 摸索题：当输入信号为周期矩形脉冲信号时，输出如何 ? 为描述方便，将原来的 输入和输出标记为 v10 (t)和 v20(t)

8、v1 v10 t * T t2V1jV10 j1 nn11TV2jV2 jHjV10 jHj1 n 1nV20 j1n1nv2tv20 t *Tt波形及频谱图输入为周期矩形脉冲时的输出12v1(t)122v2(t)HjEv1(t)TOT12Ot设激励信号 v1(t) sinO0t,若:H(j ) H(j )ej ( )，求稳态响应 v2(t)解V1(j ) j ( 0 ) ( 0)V2(j ) H(j ) V1(j )H(j )ej ( ) j (0) (0)所以 V2(j ) H(j 0)j (0)ej ( 0) (0)ej ( 0)利用频 移特e j 0t2 ( 0) ej 0t 2 (0

9、 )所以 v2(t) 1 H(j 0) j e j 0t e j ( 0) ej 0tej ( 0)2H(j 0) sin 0t ( 0)§ 5.3 无失真传输 一失真信号经系统传输， 要受到系统函数 H j 的加权，输出波形发生了变化， 与输入波形不同，则产生失真。线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成线性系统的失真 幅度，相位变化，不产生新的频率成分； 非线性系统产生非线性失真 产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输； ·利用失真 波形变换无失真传输条件已知系统 h(t) H(j ), 若激励为 et 响应为 r t 那么 r(t) Ke(t t

10、0 )时不失真幅度能够比例增加波形形状不变能够有时移t0几点认识：·要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。·不失确实线性系统其冲激响应也是冲激函数。·不失确实线性系统其冲激响应也是冲激函数。 相位特性什么缘故与频率成正比关系？H(j ) Ke j t0K t t0 h t只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时刻，在延迟后各次 谐波叠加方能不失真。延迟时刻 t0 是相位特性的斜率：t0输入O输出OOOt利用失真波形形成tE1RH时域(t频域Ke即H(j)1cc总结系统的无失真传输条件j t0t0

11、)t0h(t) KH (j )rtH (j )K, ( )cOcOsin t 2 sin 2t 3sin t 2sin 2t 3在满足信号传输不产生相位失确实情形下，系统的群时延特性应为常数。sin 2tsin t sin 2t例§5.4 理想低通滤波器 理想低通的频率特性 理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃响应 理想低通对矩形脉冲的响应 理想低通的频率特性Hj1 e j t0Hjt0· 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。· 在0 c的低频段内，传输信号无失真(只有时移 t0 ) 。二理想低通的冲激响应因为 h(t) H(j )1 1 j t 1

12、c j t0 j t所以 h(t) F 1H(j ) H(j )ej tdc1 e 0e d22 c1cj(tt0 )1 1 j t t01e0de02c2 j t t0111j c tt0j c t t0ec0 e c 0t t02jcsinctt0c Sa c t t0ctt0cc波形几点认识1比较输入输出，可见严峻失真；t1信号频带无限宽，而理想低通的通频带(系统频带 )有限的 0当 t 通过理想低通时，c 以上的频率成分都衰减为 0，因此失真。(t)h(t)系统为全通网络，能够 无失真传输 。h(t)看， t<0 时2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统缘故：从 已有值。三

13、理想低通的阶跃响应鼓舞e(t)=u (t) 系统h(t)响应r(t)Hu(t)1 e j t0h(t)所以ejt0(cc)r(t)1 R(12e j t0ej t dejt t02j t t0 ej t t0 d122 2 0sin tt0c t t02 令xt t0sin xdxx正弦积分Si(y)= 0 sinx d x0x1. 下限为 0；2. 奇偶性：奇函数。3 . 最大值显现在 最小值显现在阶跃响应波形ut1上升时刻：输出由最小值到最大值所经历的时刻，记作 trtr 2 cB1B 2B 是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）)2阶跃响应的上升时刻 tr 与网络的截止频率 B（带

14、宽）成反比四理想低通对矩形脉冲的响应因为e1(t)u(t)u(t所以r1(t)1 Sic(t讨论2rSic(tt0)t0时，才有如图示，近似矩形脉冲的响应。如果过窄或 c 过小，则响应波形上升与下降时刻连在一起完全失去了鼓舞信号的脉冲形象。 吉伯斯现象 ：跳变点有 9%的上冲。改变其他的 “窗函数 ”有可能排除上冲。 （例如：升余弦类型）§ 5.5 系统的物理可实现性、佩利维纳准则·一种可实现的低通·佩利维纳准则 一一种可实现的低通 理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想低通滤波器的实例CL 时，且令 c1 LCLv1(t)C Rv2(t)Hj1cOcht2

15、2ccO2h(t) h(t)u(t)二佩利维纳准则公式推导时域特性频率特性佩利维纳准则系统可实现的必要条件。物理可实现的网络h(t) h(t)u(t) 因果条件H j 2 dH j 满足平方可积条件ln H (j )讲明·关于物理可实现系统 ,能够承诺 H(j) 特性在某些不连续的频率点上为零， 但不承诺在一个有限频带内为零。按此原理， 理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻等理想滤波器差不 多上不可实现的；·佩利 -维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速；·佩利 -维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件 可实现的低通近似理想低通滤波器的实

16、例v1(t)v2(t)网络传递函数H jVV12 jj11 j CR1j L 1R注意到 R C并引入符号HjjHjht1H2ct sin 3波形及频谱图h(t) 2 3c e3ct22 sin323 ct响应是从 t=0 开始，是一个可实现的网络。ht211j,则e23carctanHjct2LCR CLcO1 LCL R3c22Hjc O§5.6 利用希尔伯特 (Hilbert )变换研究系统的约束特性 ·希尔伯特变换的引入·可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 一由傅里叶变换到希尔伯特变换2 已知正负号函数的傅里叶变换 F sgn t 2 j12按照对称性得到

17、 sgn1 2则2 jtsgn 为奇函数11jsgn jsgn tt若系统函数为j 900H(j ) jsgnj 900则冲激响应11h t F 1 H jt系统框图 : f tf? thtF F?jsgn系统的零状态响应 f?t?1f?t f t h t f tt利用卷积定理? ? jF 0F f? tF?F jsgnjF 0结论具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全2 通网络。同理可得到 :1若系统冲激响应为 h t 1t其网络的系统函数为H ( ) F h t jsgnj该系统框图为f?tF?ht900900ftFj sgn输出信号 f t f? t h t

18、利用卷积定理FF?j sgnf?ttjFjF结论 具有系统函数为 j sgn 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全2 通网络。希尔伯特变换希尔伯特正变换Hftf?t1fdtf?tf t 1 f t 1t希尔伯特反变换H1 f? tft ft1fdtf t ft1t二 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统是因果系统，其冲激响应 h t h t u t 即 h t 0 t 0 其傅里叶变换1H j21 H jR(j所以H (j ) H) jX j12R j jXRjjX(j )12RjjX jR jXjj2XRj12Rj12XjXj j212按照实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得R

19、(j ) 1 X j dRj希尔伯特变换 f? t 比滞后 2 弧度，即f? t Ht cos0tsin 0t结论 因果系统系统函数 H (j )的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系。例题三常用希尔伯特变换对ftf?tcos 0tsin 0tsin 0tcos 0tej 0tje j 0tm t ej 0tjm t ej 0t讲明关于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关 系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。例 5-6-1求f t cos 0t的希尔伯特变换 f? t 。解答 用三种方法求解此题： 方法 1 :方法 2：因FF cos 0t则希

20、尔伯特变换的频谱函数为F?jsgnjj即：F?3：jf? t sin 0t方法直截了当用希尔伯特变换定义式10tH coscos 00d tsin0t例 5-6-2已知 h(t)t，证明Fh(t) 的实部与虚部满足希尔伯特变换的约束关系。证明因为htF e tu(t)即系统函数jX j式中实部22虚部现在求 X的希尔伯特变换HXj22可求出各分式系数12 ,B2j ,C22HXj2jj2jj22HXj2jj2jj2212212212222222222arctanln 20022lnR例 5-6-3试分析下面系统能够产生单边带信号t已知信号 g t 是带限信号，其频谱函数为 G图中系统函数 H

21、jjsgn0m解： 由调制定理可知y1 t g t cos 0t 为带通信号 其频谱函数11F y1 t Y12G 0 2Gg?t 是 g t 的希尔伯特变换信号其频谱F g? tG?jG j sgn则y2 t g?t sin 0tF y2 t Y21 G?2j0j2 即jG0 sgn0 jG0 sgnY21G20 sgn0 2G0 sgn输出信号y t y1 ty2 t其频谱函数0其频谱为 YY1Y2频谱图如下所示1G20Y11G200m0O00m2Gsgn(0)Y22G0 sgn(0)0m0O00mY 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。§ 5.7 调制与解调? 调制原理? 调幅

22、、抑制载波调幅及其解调波形 一调制原理 在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进 行调制和解调。? 高频信号容易以电磁波形式辐射出去? 多路信号的传输 频分复用 有关课程中讲解 “调制与解调 ”的侧重点不同：“信号与系统 ”应用傅里叶变换的性质讲明搬移信号频谱 的原理；“通信原理 ” 研究不同的调制方式对系统性能的阻碍； “通信电子电路 ”调制解调电路的分析。1调制调制的分类按载波正弦型信号作为载波 脉冲串或一组数字信号作为载波 连续性模拟(连续)调制 数字调制 模拟调制是数字调制的基础。 幅度调制(抑制载波的振幅调制， AM-SC )g(t)f (t) g(t )c

23、os 0t相乘cos 0 tg(t) :调制信号f (t)：已调信号cos0t ：载波信号0：载波角频率频谱结构m时，G( ) 0gtf (t) g(t ) cos 0tcos 0 t0mOt分析F ( )g t cos 0 t0) G(12G(A2()G( )FOcos mm()分析f (t) g(t ) cos 0t欧拉公式 21g(t)eje j 0t1F( ) 12 G(0)G( 0 )f (t) g(t ) cos 0t卷积定理 (0) (0)c2mc0m2解调2G( )将已调信号复原成原先的调制信号2的过程。cO2g0(t) g(t) cos0t112g(t)1cos 20tG0(

24、) 12 G() 14 G(414F(0)G0(G( )H ( )G0(A2频谱20mc420二调幅、抑制载波调幅及其解调波形gtcos 0tg幅tcosgt利用包络检波器解调载波反相点Agtcos 0t调制信号载波信号抑制载波调调幅解调rtCRx(t) r(t) w(t)Owtr(t)：半波整流信号 w(t)：图中得到的包络 x(t)：实际包络，即 A+g(t)讲明根据电磁波理论天线的尺寸110为被辐射信号的波长以语音信号为例 波长约为 天线尺寸300km2ss 1 2 1002激励信号为 v1 t 1 costcos(100t )，求响应 v2 t 。30km必须尽量提高信号的频 率以缩小

25、天线尺寸。§ 5.8带通滤波系统的运用·调幅信号作用于带通系统·频率窗函数的运用前言 本节研究两个咨询题： ·第一讨论调制信号经带通滤波器传输的性能分析，这是通信系统中经常遇 到的实际咨询题；·第二部分研究一个理论咨询题，这确实是用带通滤波构成频率窗函数以改 善信号局部特性的辨论率，这是信号处理技术中一些新方法的重要理论基 础。一调幅信号作用于带通系统 例题 ·如果调制信号具有多个频率重量，为保证传输波形的包络不失真，要求理 想带通滤波器：幅频特性在通带内为常数 ; 相频特性应为通过载频点的直线 ·用带通系统传输调幅波的过程

26、中，只关怀包络波形是否产生失真，并不注 意载波相位如何变化，因为在接收端经解调后得到所需的包络信号，载波 本身并未传递消息 。二频率窗函数的运用 在许多实际咨询题中往往需要研究信号在某一时刻间隔或某一频率间隔内 的特性，或者讲期望观看信号在时域或频域的局部性能。这时能够利用 函数 ”对信号开窗。在时刻域称为时域（时刻）窗函数，在频率域称为频域 （频率）窗函数 。例题例 5-8-1 已知带通滤波器转移函数为V2 sH s 2V1 s解：激励信号 v1 t 表示式可展开写作v1 t cos(100t) 1 cos 101t 1 cos 99t能够分不求此三个余弦信号的稳态响应， 然后叠加。 由H

27、s 写出频响特性Hj2j22 1 2 10022j22 2j1002频响特性Hj2j2100100100 2（ 频率在 100附近 ）Hj1j100利用此式分别求系统对cos 100t ，1 cos101t ,1cos99t ,三个信号的响22应，为此写出：j100响应 v2(t)H j100j101j101于是写出响应 v2表达式为v2 tcos 100tcos 100t曲线2 j45e22 e j4521 2 cos101t 45222cos100t ?cost21 2 cost 452cos 100tH j99H j99激励信号频谱10099210199 100 101Hj11299 1

28、00 1012 j45e22 ej45222 cos 99t 45459924100101响应信号频谱99 1002410199100 101比较1 cost cos(100t )包络延时t 45 cos 100tt 波形讨论 ·此带通系统幅频特性在通带内不是常数，因而响应信号的两个边 频重量 他们还 分别产生了 45 的相移，而载频点相移 等于零。? 经此带通系统以后，调 幅波包络的相对强度减 小（也即“调幅深度” 减少包络产生时延，延时时间可由相移值与频率差值之比求得 s4例 5-8-2若信号 f t 通过某线性时不变系统 产生输出信号为 t wd a1.求此系统的系统函数Ha2

29、.若 w tsint cos 3 tt，求Ha表达式，并画出 H a图形；3.讲明此系统具有何种功能？4.当参数 a改变时， H a 图形变化有何规律？解：按卷积关系可求出系统的单位冲激响应为ha t若函数 w t 的傅里叶变换为 W，借助尺度变换特性可ha tHa1ha twaaW a1 sin tcos由 w t t3 t 求出其傅里叶变换式123 3 系统函数及频谱图u2u41W2212当2 4 当 为其它值由此可求出：1aHa242O23 4 aaaaa4 2 O 2 3 4 asint3 tcosaat1 a 当 2 4 H a 2 当 a a0 当 为其他值系统功能由Haa a a

30、 a a图形可见，此系统功能是理想带通滤波，中心 频率0 3，带宽 B a2a当参变量 a 改变时，可调剂此带通滤波器中心频率与带宽：·增大 a 则中心频率降低、带宽变窄；·减小 a 则中心频率移至高端，带宽加宽。 ·但在变化过程中，这一系列的带通滤波器之带宽与频率之比保持不变，即B 0 2 3理想低通滤波器TscH0cF Fs Hf t f s t§ 5.9 从抽样信号复原连续时刻信号 ·由抽样信号复原原信号 ·零阶抽样保持 一由抽样信号复原原信号滤除高频成分，即可复原原信号从时域运算讲明时域运算以 理想抽样 为例时域：fs(t)f

31、 (t) T (t)f (nTs ) (tnTs)频域：Fs1F21FTS nns理想低通滤波器 ：频域： HTs0时域： h tTs cSa c t 讲明tf s(t) h tf(nTs)(t nTs)c s nf (nTs)Sa cTs c Sa c t t nTsTs c f (nTs)Sa nf(t) 能够展开成 Sa 函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值c t nTs· 连续信号 f(nTs)。· 也能够讲在抽样信号 fs(t)的每个抽样值上画一个峰值为 波形，由此合成的信号确实是f(nTs) 的 Sa 函数fs(t) 。当 s 2 m，则有 c m,Tssc此时 f tnf (nTs )SanTs演示 二零阶抽样保持 在实际电路与系统中，要产生和传 输接近 函数的时宽窄且幅度大的 脉冲信号比较困难。为此，在数字 通信系统中经常采纳其他抽样方式， 如零阶抽样保持。tO TsptftM2p1M10tfs0 t1OTst1e j 2Sa T sH 0 r20s2信号的复原01 ej T2s Sa 2Ts补偿低通滤波器§ 5.10 脉冲编码调制 （PCM）引言，利用脉冲序列对连续信号进行抽样产生的信号成为脉冲幅度调制 （PAM ）信号，这一过程的实质是把连续信号转换为脉冲序列，而每个脉冲 的幅度与各抽样点信