线性代数行列式的定义学习教案

1、会计学1第一页，共39页。 Linear Algebra 线 性 代 数 谢 松 法 华中科技大学数学与统计学院 第1页/共38页第二页，共39页。一、一、教学内容教学内容 线性代数线性代数(xin xn di sh)是工科各专业必修的重要基础理论课，是工科各专业必修的重要基础理论课， 线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵(j zhn)、向量代数、向量代数、 是工科是工科(gngk) 线性代数在工程技术、科学研究线性代数在工程技术、科学研究 本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带带 “*” 号号 学习线性代数的难点在于学习

2、线性代数的难点在于“入门入门”，即如何尽快地去理解，即如何尽快地去理解 和适应它所引入的和适应它所引入的新的数学语言与数学工具新的数学语言与数学工具。 数学教学的主要课程之一。数学教学的主要课程之一。 和各行各业中有着广泛的应用。和各行各业中有着广泛的应用。 线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性 变换等变换等。 的内容不需要掌握。的内容不需要掌握。 第2页/共38页第三页，共39页。二、教学及考核二、教学及考核(koh)(koh)方式方式考试考试(kosh)方式：方式： 闭卷闭卷作业作业(zuy)： 每周一次每周一次主要参考书

3、（略）主要参考书（略）答疑：答疑： 每周一次每周一次课堂教学：课堂教学： 40 学时学时考试成绩：考试成绩： 作业占作业占 20%，考试占，考试占80%( (练习册练习册) )第3页/共38页第四页，共39页。第一章第一章 行列式行列式1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则1.1 行列式的定义行列式的定义第4页/共38页第五页，共39页。1.1 行列式的定义行列式的定义(dngy)一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二、二、n 阶行列式阶行列式第5页/共38页第六页，共39页。利用利用(lyng)消元法求解二元线性方程组消元法求解二元线

4、性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(,2212221212211abxaaxaa ,1222221212112abxaaxaa 一、二阶与三阶一、二阶与三阶(sn ji)行列行列式式;)(212221121122211baabxaaaa 行列式的引入来源于求解行列式的引入来源于求解(qi ji)线性方程组，线性方程组，求解是数学与工程中最基本的问题之一。求解是数学与工程中最基本的问题之一。而线性方程组的而线性方程组的12)2(a 得得22)1(a 得得两式相减消去两式相减消去 得得,2x引例引例 P 1 第6页/共38页第七页，共39页。.)(211211

5、221122211abbaxaaaa 方程组的解为方程组的解为两式相减消去两式相减消去 得得;)(212221121122211baabxaaaa ,2x类似地，消去类似地，消去 得得,1x当当 时，时，021122211 aaaa由此引入二阶行列式的定义由此引入二阶行列式的定义(dngy)第7页/共38页第八页，共39页。22211211aaaa称下式为称下式为二阶行列式二阶行列式 .2112221122211211aaaaaaaaD 定义定义(dngy) 对角线法对角线法副对角线副对角线主对角线主对角线2211aa .2112aa 一、二阶与三阶一、二阶与三阶(sn ji)行行列式列式1.

6、 二阶行列式二阶行列式 P 2 第8页/共38页第九页，共39页。 利用利用(lyng)二阶行列式求解二元线性方程组二阶行列式求解二元线性方程组对于对于(duy)二元线性方程组二元线性方程组,22221211212111 bxaxabxaxa当当 时，时，021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax ,2221211ababD .2211112babaD 其中其中(qzhng),22211211aaaaD ,1DD 记记,2DD 记记问题问题当当 时，时，021122211 aaaa方程组

7、的解会怎么样？方程组的解会怎么样？ P 2 第9页/共38页第十页，共39页。,010212 ,2 43 22 1 D,7 31 23 2 DDDx11 ,51102 DDx22 .107 41 23 D解解例例 . 34, 2232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (惟一惟一(wiy)(wiy)解解) )第10页/共38页第十一页，共39页。,01212 ,0 44 22 1 D,0 46 23 2 DDDx11 ,?00 DDx22 46 23 D解解例例 .446,2232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (无穷无穷(wqing)(wqing)多解

8、多解 ? ) ? ) .?00 第11页/共38页第十二页，共39页。,01212 ,4 46 22 1 D,6 66 23 2 DDDx11 ,?04 DDx22 46 23 D解解例例 .646,2232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (无解无解 ? ) ) .?06 第12页/共38页第十三页，共39页。2. 三阶三阶(sn ji)行列式行列式一、二阶与三阶一、二阶与三阶(sn ji)行列式行列式1. 二阶行列式二阶行列式利用利用(lyng)消元法求解三元线性方程组消元法求解三元线性方程组,11DxD 逐步消去逐步消去 可得可得32, xx引例引例其中其中32211

9、3312312332211aaaaaaaaaD ,312213332112322311aaaaaaaaa 3221332312332211ababaaaabD .322133321232231baaabaaab 由此引入三阶行列式的定义由此引入三阶行列式的定义补补 第13页/共38页第十四页，共39页。333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 称下式为三阶称下式为三阶(sn ji)行列式行列式 定义定义(dngy).312213332112322311aaaaaaaaa 2. 三阶三阶(sn ji)行列式行列式一、一、二阶

10、与三阶行列式二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式问题问题三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？补补 第14页/共38页第十五页，共39页。333231232221131211aaaaaaaaaD (1) 对角线法对角线法332211aaa312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa .322311aaa D 三阶三阶(sn ji)行列式计算规律的探讨行列式计算规律的探讨 ?补补 第15页/共38页第十六页，共39页。333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211

11、aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa (2) 沙路法沙路法 三阶行列式计算规律三阶行列式计算规律(gul)的探讨的探讨 ?322113312312332211aaaaaaaaa D 补补 第16页/共38页第十七页，共39页。(3) 排列排列(pili)法法 333231232221131211aaaaaaaaaD 三阶三阶(sn ji)行列式共有行列式共有 6 项，即项，即 3! 项项每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素(yun s)的乘积的乘积.)1(321321321321)( jjjjjjjjjaaa 为排列为排列 的的逆

12、序数逆序数 (?)(321jjj 321jjj为自然数为自然数 的一个排列的一个排列;3, 21，321jjj其中其中322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨 ?补补 第17页/共38页第十八页，共39页。(4) 递推法递推法 三阶行列式计算规律三阶行列式计算规律(gul)的探讨的探讨 ?利用利用(lyng)已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即即333231232221131211aaaaaaaaaD 32211331231233221

13、1aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa .3231222113aaaaa 补补 第18页/共38页第十九页，共39页。 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 .243122421 D计算三阶行列式计算三阶行列式例例按对角线法则，有按对角线法则，有解解第19页/共38页第二十页，共39页。1229184322 xxxxD, 652 xx方程左端为方程左端为解解例例.094321112 xx求解方程求解方程由由 解得解得0652 xx

14、.3 x2 x或或第20页/共38页第二十一页，共39页。 利用三阶利用三阶(sn ji)行列式求解三元线性方程组行列式求解三元线性方程组对于对于(duy)三元线性方程组三元线性方程组,3332323222131211aabaabaabD ,3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD 则三元则三元(sn yun)线性方程组的解为线性方程组的解为,11DDx ,22DDx .33DDx ,333231232221131211aaaaaaaaaD 令令补补 第21页/共38页第二十二页，共39页。,8 . 1, 235, 14232

15、1321321xxxxxxxxx求解线性方程组求解线性方程组例例解解1 1 13 5 11 4 2 D1113521411 D,11 1113211122 D,9 1112511423 D,6 ,81111 DDx故方程组的解为故方程组的解为,8922 DDx.8633 DDx第22页/共38页第二十三页，共39页。由题意由题意(t y)得得求一个二次多项式求一个二次多项式 使使.28)3(,3)2(,0)1( fff, )(xf例例,)(2cbxaxxf 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为解解 ,2839,324,0cbacbacba,20,60,40321 DDD,32 DDb.13

16、 DDc.132)(2 xxxf故所求多项式为故所求多项式为,020 D由由,21 DDa有有第23页/共38页第二十四页，共39页。二二、n 阶行列式阶行列式前面从二元与三元前面从二元与三元(sn yun)线性方程组的求解问题出发，分别线性方程组的求解问题出发，分别 引出了二阶与三阶引出了二阶与三阶(sn ji)行列式的概念，行列式的概念， 那么，这些行列式的概念那么，这些行列式的概念(ginin)以及线性方程组的求解方法以及线性方程组的求解方法 阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。 能否推广并应用到能否推广并应用到 n 元线性方程组的求解问题呢？

17、元线性方程组的求解问题呢？ 在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种 更具有一般性呢？更具有一般性呢？ 并给出了利用二阶与三并给出了利用二阶与三 特别是特别是 P 2 第24页/共38页第二十五页，共39页。二二、n 阶行列式阶行列式经过前人不懈的努力，终于经过前人不懈的努力，终于(zhngy)摸索出了统一的规律。摸索出了统一的规律。本课堂本课堂(ktng)将采用递推法来定义一般的行列式，将采用递推法来定义一般的行列式，避开诸如排列避开诸如排列(pili)、逆序等一些概念。、逆序等一些概念。人们发现前面提到的人们发现前面提到的对角线法

18、对角线法与与沙路法沙路法并不适合一般并不适合一般 的情形，的情形， 还是对排列法有所了解。还是对排列法有所了解。而而排列法排列法与与递推法递推法才是真正可以推广的方法。才是真正可以推广的方法。 其目的是其目的是不过有兴趣的同学最好不过有兴趣的同学最好 P 2 第25页/共38页第二十六页，共39页。并按照特定的运算法则并按照特定的运算法则(fz)对应到对应到二二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式和代数(dish)余子式余子式.2121222221111211nnjnnnnijiiinjnjaaaaaaaaaaaaaaaaD 把元素把元素(yun s) ai j 所在的第所在的第 i

19、 行和第行和第 j 列划去后，列划去后，(n 1) 列元素组成列元素组成 (n 1) 阶行列式，阶行列式，剩下的剩下的 (n 1) 行行即：即：将将 个数排成个数排成 n 行行 n 列列, nn 一个数，一个数，（?）称之为称之为 n 阶行列式阶行列式，记为记为 P 3 第26页/共38页第二十七页，共39页。nnjnjnnijijiijijijiinjjjiaaaaaaaaaaaaaaaaM1,1, 11, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111 二二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式和代数(dish)余子式余子式称称 Ai j 为元素

20、为元素(yun s) ai j 的代数余子式的代数余子式 .称称 Mi j 为元素为元素(yun s) ai j 的余子式的余子式 .定义定义，jijijiMA )1(记记 P 3 第27页/共38页第二十八页，共39页。,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 设行列式设行列式例如例如233223)1(MA 23M 44424134323114121123aaaaaaaaaM 则则为元素为元素(yun s) a23 的余子式，的余子式，为元素为元素(yun s) a23 的代数余子式的代数余子式 .注意注意(zh y)无论是行列式还

21、是余子式，其结果都是无论是行列式还是余子式，其结果都是“数数”.那么它们到底以什么样的那么它们到底以什么样的运算法则运算法则得到一个数呢？得到一个数呢？第28页/共38页第二十九页，共39页。二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式和代数(dish)余子式余子式2. 行列式的递推定义行列式的递推定义(dngy)定义定义(dngy)称下式为称下式为 n 阶行列式阶行列式 当当 时，时，1 n当当 时时. .1 n其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式 . .1iA1ia ,11a,1121211111nnAaAaAa P 3定义定义1.1第29页/共38页第三十页，共39页。400

22、9302008 40010522007 93010522006 4321 08 )32(2)1(6 02)1(7 .48 计算行列式计算行列式例例.40069307105282001 D40093010521 D解解第30页/共38页第三十一页，共39页。定理定理(dngl)nnjnnnnjnjaaaaaaaaaaaaD21222221111211 其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式 . .jiAjia对于任意的对于任意的 j , )1(nj 都有都有 称此计算方式称此计算方式(fngsh)为将行列式按第为将行列式按第 j 列展开列展开 .当当 时，时，1 n当当 时时. .1 n ,1

23、1a,2211jnjnjjjjAaAaAa 将行列式按任意将行列式按任意(rny)列展开列展开 证明证明(略略)P 5定理定理1.1第31页/共38页第三十二页，共39页。计算行列式计算行列式207715303 D例例.27 解解按第二列展开，得按第二列展开，得 )1()1(22D2733 第32页/共38页第三十三页，共39页。4069372012)1(22 D)124(32 .48 例例.40069307105282001 D计算行列式计算行列式462132 解解按第二列展开，按第二列展开，得得第33页/共38页第三十四页，共39页。二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式和代数(dish)余子式余子式2. 行列式的递推定义行列式的递推定义(dngy)3. 几个几个(j )典型的行列式典型的行列式补补 ;21n n 21(1) 对角行列式对角行列式注意：注意： 221 行列式行列式