线性代数新教材ch51学习教案

1、会计学1第一页，共26页。定定义义 1 设设A为为n阶阶方方阵阵，若若数数和和n维维非非零零列列向向量量x满满足足 Axx， (5.1) 问问题题 给给定定n阶阶方方阵阵()A ija，如如何何求求它它的的特特征征值值与与特特征征向向量量? 则则称称数数为为A的的特特征征值值，x为为A对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量 分析分析(fnx)第1页/共25页第二页，共26页。(1) 解解特特征征方方程程0IA，求求出出A的的全全部部特特征征值值 n,21； (2) 对对每每一一个个不不同同特特征征值值i，求求出出相相应应齐齐次次线线性性方方程程组组 ()i 0IA x的的一一个个基基础础

2、解解系系12,t ， 于于是是方方阵阵A对对应应于于特特征征值值i的的全全部部特特征征向向量量为为 1 12 2t tkkk ， 其其中中tkkk,21是是不不全全为为零零的的任任意意数数 求方阵求方阵 的特征值与特征向量的步骤为：的特征值与特征向量的步骤为： A第2页/共25页第三页，共26页。解解 特特征征方方程程为为 0603542001, 即即0)6)(4)(1(， 例例 1 求下列矩阵的特征值与特征向量：求下列矩阵的特征值与特征向量： 100245306A 故故A的全部特征值为的全部特征值为 11，42，63 第3页/共25页第四页，共26页。将将11代代入入齐齐次次线线性性方方程程

3、组组()i 0IA x， 得得 100245306A . 053053231321xxxxx， 它的基础解系为它的基础解系为19/53/5， 所以所以A对应于特征值对应于特征值11的全部的全部 特征向量为特征向量为 )0(19/53/511kk 11，42，63 第4页/共25页第五页，共26页。将将42代代入入齐齐次次线线性性方方程程组组()i 0IA x， 得得 . 023, 052, 0331311xxxxx 它它的的基基础础解解系系为为 010， 所所以以A对对应应于于特特征征值值42的的全全部部 特征向量为特征向量为 )0(01022kk 100245306A 11，42，63 第5

4、页/共25页第六页，共26页。将将63代代入入齐齐次次线线性性方方程程组组()i 0IA x， 得得 . 03, 0522, 0513211xxxxx 它的基础解系为它的基础解系为 250， 所以所以A对应于特征值对应于特征值63的全部的全部 特征向量为特征向量为 )0(25033kk 100245306A 11，42，63 第6页/共25页第七页，共26页。解解 特征特征多项式多项式 2123212IA 21230121) 1( 例例 2 求求下下列列矩矩阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量： 021232120 A 故故A的的全全部部特特征征值值为为 121，53 140230121)

5、 1( )54)(1(2 )5() 1(2 第7页/共25页第八页，共26页。将将121代代入入齐齐次次线线性性方方程程组组()i 0IA x， 得得 021232120 A， . 02024202321321321xxxxxxxxx， 它它的的基基础础解解系系为为101，012， 所以所以A对应于特征值对应于特征值121 的的全全部部特特征征向向量量为为 01210121kk （21,kk不不全全为为零零） 121，53 第8页/共25页第九页，共26页。将将53代代入入齐齐次次线线性性方方程程组组()i 0IA x， 得得 021232120 A， . 052022202532132132

6、1xxxxxxxxx， 它它的的基基础础解解系系为为 121， 所所以以A对对应应于于特特征征值值53的的全全部部 特特征征向向量量为为 1213k )0(3k 121，53 第9页/共25页第十页，共26页。定理定理 1 若若12,p p都是都是A对应于特征值对应于特征值的特征向量，的特征向量，12,k k R，则，则1 122kkpp也是也是A对应于对应于的特征向量的特征向量（只要只要1 122kk 0pp） 证明证明(zhngmng)推推论论 方方阵阵A对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量的的线线性性组组合合仍仍是是A对对应应于于的的特特征征向向量量（只只要要这这个个线线性性组组

7、合合不不是是零零向向量量） 定理定理 2 方阵方阵A的的对应于不同特征值的特征向量必线性无关对应于不同特征值的特征向量必线性无关 证明证明(zhngmng)定理定理 3 若若m,21是方阵是方阵A的不同特征值，的不同特征值，12,jjjjr是是A对应于对应于j的线性无关的特征向量，的线性无关的特征向量，mj, 2 , 1，则向量组，则向量组 12111212122212,mrrmmmr 线性无关线性无关 （证明略证明略） 第10页/共25页第十一页，共26页。定义定义 2 设设()ijaA为为n阶方阵，称阶方阵，称A的主对角线上的主对角线上n个元素之和个元素之和nnaaa2211为为A的迹，记

8、作的迹，记作( )tr A，即即1122( )nntraaaA 证明证明(zhngmng)定理定理 4 设设n阶方阵阶方阵A的全部特征值为的全部特征值为n,21，则，则 (1) 12( )ntrA； (2) 1 2n A 推推论论n阶阶方方阵阵A可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是A的的特特征征值值全全非非零零 第11页/共25页第十二页，共26页。例例 3 设设为为n阶阶方方阵阵A的的一一个个特特征征值值试试证证： (1) 为为TA的的一一个个特特征征值值； (2) 当当A可可逆逆时时，1为为1A的的一一个个特特征征值值 证证 (1) 因因为为()TTIAIAIA， 所以所以AT与与A有

9、相同的特征多项式，有相同的特征多项式， 从从而而有有相相同同的的特特征征值值 故故也也是是AT的的一一个个特特征征值值 (2) 因因为为矩矩阵阵A的的特特征征值值， 则则存存在在非非零零列列向向量量p， 使使得得App 又又A可可逆逆，故故由由定定理理 4 推推论论知知0 第12页/共25页第十三页，共26页。在在App两两边边左左乘乘1A，并并由由0，得得 1pAp， 11App 故故1为为1A的一个特征值的一个特征值 证证毕毕 第13页/共25页第十四页，共26页。例例 4 设设为为A的的一一个个特特征征值值，且且 0111)(axaxaxaxfkkkk， 证证明明)(f为为()f A的的

10、一一个个特特征征值值 证证 因因为为A的的特特征征值值，则则存存在在非非零零列列向向量量p，使使 App 又又 1110( )kkkkfaaaaAAAAI， 两两边边右右乘乘p，并并App，有有 第14页/共25页第十五页，共26页。1110( )()kkkkfaaaaA pAAAI p 12110kkkkaaaaAApAApApp 12110kkkkaaaaApAppp 1110()kkkkaaaap ( ) .fp 所所以以( )f A有有特特征征值值)(f 证证毕毕 注注意意 从从本本题题的的解解题题过过程程可可以以看看出出，A对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量p也也是是( )

11、f A对对应应于于特特征征值值( )f的的特特征征向向量量 本节完本节完 第15页/共25页第十六页，共26页。Axx (5.1) A 0 xx () 0IA x (5.2) 当当A与与已知时，这是一个关于已知时，这是一个关于x的齐次线性方程组，的齐次线性方程组， 它有非零解的充分必要条件它有非零解的充分必要条件 0IA (5.3) 若若一一个个数数满满足足(5.3)， 则此时则此时 (5.2)必有非零解必有非零解x， 这样的这样的和和x 必满足必满足(5.1)， 从从而而就就是是A的的特特征征值值， x为为A对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量 第16页/共25页第十七页，共26页。

12、()IA 0 x (5.2) 0IA， (5.3) 即即 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa 记记( )IAf， 则则)(f是是关关于于的的n次次多多项项式式， 称称为为A的的特特征征多多项项式式 方方程程式式(5.3)称称为为A的的特特征征方方程程 特特征征方方程程的的根根就就是是A的的特特征征值值 因因n次次方方程程在在复复数数范范围围内内有有n个个 根根(重重根根按按重重数数计计算算)，因因此此，n阶阶方方阵阵A必必有有n个个特特征征值值 第17页/共25页第十八页，共26页。设设i是是A的的一一个个特特征征值值， 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 ()i 0IA

13、x 的的任任意意非非零零解解都都是是A对对应应于于特特征征值值i的的特特征征向向量量 第18页/共25页第十九页，共26页。证证 由由已已知知11App，22App， 则则 1 122()kkApp 1122kkApAp 1 122kkApAp 1122kkpp 1 122().kkpp 证证毕毕 定理定理 1 若若12,p p都是都是A对应于特征值对应于特征值的特征向量，的特征向量，Rkk21,，则，则1 122kkpp也是也是A对应于对应于的特征向量的特征向量（只要只要1 122kk 0pp） 第19页/共25页第二十页，共26页。定定理理 2 方方阵阵A的的对对应应于于不不同同特特征征值

14、值的的特特征征向向量量必必线线性性无无关关 证证 设设s,21是是方方阵阵A的的s个个不不同同特特征征值值，12,s 分分别别是是A对对应应于于特特征征值值12,s 的的特特征征向向量量 下证下证12,s 线性无关线性无关 采采用用数数学学归归纳纳法法 当当1s时，因时，因1 0，故结论成立，故结论成立 假定对假定对1s个不同特征值结论成立个不同特征值结论成立 往证往证s个不同特征值的情形个不同特征值的情形 设设 1 111sssskkk0 (5.4) 用用A左乘上式，再利用左乘上式，再利用iiiA，得，得 1 1 1111sssssskkk 0 (5.5) 由由(5.4)，(5.5)消消去去

15、s，得得 第20页/共25页第二十一页，共26页。1 111sssskkk 0 (5.4) 111111()()ssssskk0 1 1 1111sssssskkk 0 (5.5) 由由归归纳纳假假设设，121,s 线线性性无无关关，故故 0)(siik，1, 2 , 1si 因因为为s,21互互不不相相同同，所所以以 0121skkk 代代入入(5.4)，得得0sk 因此因此12,s 线性无关线性无关 证证毕毕 第21页/共25页第二十二页，共26页。证证 设设()ijaA，则则 111212122212( )nnnnnnaaaaaafaaaIA 在在IA的的展展开开式式中中有有一一项项是是

16、主主对对角角线线上上元元素素的的连连乘乘积积 )()(2211nnaaa 定定理理 4 设设n阶阶方方阵阵A的的全全部部特特征征值值为为n,21，则则 (1) 12( )ntrA； (2) 1 2n A 12211)(nnnnaaa 第22页/共25页第二十三页，共26页。nnnnnnaaaaaaaaaAIf212222111211)( 展展开开式式中中的的其其余余各各项项，至至多多包包含含2n个个形形如如(iia)的的因因子子， )()()(2211nnaaaf 12211)(nnnnaaa 它它对对的的次次数数最最多多是是2n 所所以以)(f中中n的的系系数数为为 1， 1n的的系系数数为为)(2211nnaaa 其其次次在在特特征征多多项项式式中中令令0，即即得得常常数数项项( 1)nA 所以所以 11122( )()( 1)n