福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验2019-2020学年高二上学期期末四校联考数学试题(解析版)

1、安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020 年高二上学期期末考试联考试卷一、选择题：本小题共12小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题纸的相应位置.1.复数1ii的共轭复数为（）a. 1122ib. 1122ic. 1122id. 1122i【答案】 c 【解析】试题分析：111,11122iiiiizziii. 考点：复数概念及运算【易错点晴】 在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法

2、和乘法法则给出规定,而把减法、 除法定义为加法、 乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.共轭复数的概念. 2.抛物线28yx的焦点坐标是（）a. 0, 2b. 2,0c. 10,32d. 1,032【答案】 c 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标. 【详解】因为28yx可化为218xy，所以128p，且焦点在y轴负半轴，因此焦点坐标为10,32故选 c 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标

3、准方程即可，属于基础题型. 3.九章算术第三章“ 哀分 ” 中有如下问题：“ 今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？” 其意为： “ 今有甲带了480 钱，乙带了300 钱，丙带了 220 钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱” ，则乙应出（）a. 50b. 32c. 31d. 30【答案】 d 【解析】【分析】先计算出抽样的比例，再根据比例计算出应出的钱,可得选项 .【详解】根据分层抽样原理，抽样比例为300348030022010，所以乙应交关税为3100=3010钱.故选： d.【点睛】本题主要考

4、查抽样方法中之分层抽样，关键在于计算出抽样的比例，属于基础题.4.“9k” 是 “ 曲线22139xykk为双曲线 ” 的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 a 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】充分性：当9k时，30,90kk,所以22139xykk能表示双曲线，所以“9k” 是“ 曲线22139xykk为双曲线 ” 的充分条件；必要性：当22139xykk表示双曲线时，则有3 90kk解得9k或3k，所以必要性不满足.所以是 “ 曲线22139xykk为双曲线 ” 的充分不必要条件. 故选： a.【点睛】

5、本题主要考查充分条件和必要条件的应用和双曲线的标准方程,属于基础题 .5.已知ln 21fxxax，且21f，则a（）a. 75b. 65c. 35-d. 45【答案】 a 【解析】【分析】先求出导函数，再代入可求得值.【详解】因为ln 21f xxax,2( )21fxax,2(2)122+1fa,解得75a，故选： a.【点睛】本题考查导函数的计算，关键在于正确地求出函数的导函数，注意复合函数的导函数的求解，属于基础题 .6.已知圆22:(3)1cxy与双曲线2222:1(0,0)xyeabab的渐近线相切，且圆心c恰好是双曲线e的一个焦点，则双曲线e的标准方程是a. 2213xyb. 2

6、212xyc. 221912xyd. 2212yx【答案】 b 【解析】分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为bx ay0，根据圆心到切线的距离等于半径得2231bba，求出a2b 结合 c3，即可得到a，b 的值，则方程可求【详解】 由题意双曲线的渐近线方程为bxay0，圆心到切线的距离等于半径得2231bba，a2b，又c2233,ab，解得 a=2,1b, 则双曲线e的标准方程是2212xy故选 b 点睛】 本题考查双曲线的标准方程，,点到直线的距离公式，以及双曲线的简单性质的应用，是解题的关键7.函数1( )ln1f xxx的图象大致是 ( ) a. b. c. d. 【答案】 b 【解

7、析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导 ,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【 详 解 】 设( )ln1g xxx，(1)0g， 则1( )ln1f xxx的 定 义 域 为(0,1)(1,)xu.1( )1g xx， 当(1,)x，( )0g x，( )g x单 增 ， 当(0,1)x，( )0g x，( )g x单 减 ， 则( )(1)0g xg. 则( )f x 在(0,1)x上单增，(1,)x上单减，( )0f x. 选 b. 【点睛】 本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算 ,同学们还可以用特殊值法等方法进

8、行判【断. 8.设 f 为抛物线22ypx的焦点， 斜率为 k （0k）的直线过f 交抛物线于a，b 两点， 若4fafb，则直线ab的斜率为（）a. 12b. 34c. 1d. 43【答案】 d 【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到b为 ce 的四等分点，在直角三角形acb 中，结合正切的定义进行求解即可【详解】假设a 在第一象限，过a，b 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为d，e，过 a 作 eb 的垂线，垂足为 c，则四边形adec 为矩形由抛物线定义可知| |,| |adafbebf，又4fafb，4adcebe，即 b 为 ce 的四等分点，设bfm，则345bc

9、m afm abm，即22534acmmm，所以直线ab的斜率44tan33mkabcm，故选： d.【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，关键根据抛物线的定义和三角形的性质得出线段的比例关系，属于中档题 .9.已知2xfxxae在 r 上有两个零点，则a 的取值范围是（）a. 2,eb. 2,ec. 20,ed. 20,e【答案】 d 【解析】【分析】通过讨论 a 的符号得函数的单调性,从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围 .【详解】当0a时,易知函数( )2xf xx ae是增函数 ,故函数( )2xf xx ae不可能有两个零点;当0a时 ,令( )20 xfxae得,2l

10、nxa;故( )f x 在2,lna上是增函数,在2ln,a上是减函数,且0(0)200afae，,xfx，故若函数( )2xf xx ae有两个零点 ,则2ln0fa,即22ln20a,解得2ae，此时2ln1a，故 a的取值范围是20ae;故选： d.【点睛】本题考查了导数的应用及函数的单调性的判断与应用,同时考查了函数零点的判定定理的应用,属于中档题 .10.( 理 )已知有相同两焦点f1、 f2的椭圆2xm+ y2=1(m1)和双曲线2xn- y2=1 （n0 ） ， p 是它们的一个交点，则 f1pf2的形状是（ ）a. 锐锐锐锐锐b. 锐锐锐锐锐c. 锐锐锐锐锐d. 锐 m 锐 n

11、锐锐锐锐锐【答案】 b 【解析】 |pf1|+|pf2|=2m，|pf1|-|pf2|= 2 n ，又 m-1=n+1， |pf1|2+|pf2|2=2(m+n)=4(m-1)=|f1f2|2. f1pf2的形状是直角三角形. 11. 利用一半径为4cm 的圆形纸片 (圆心为 o)制作一个正四棱锥方法如下：(1)以 o 为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形abcd ；(3)以正方形abcd的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图 )；(4)将正方形abcd作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四

12、棱锥体积最大，则小圆的半径为a. 4 25b. 6 25c. 8 25d. 2 2【答案】 c 【解析】【分析】设小圆的半径为04rr，连 od.oh.oh 与 ad 交于点 m锐表示正四棱锥的体积434423rr锐 利用导数研究函数的最值，即可得到结果.【详解】设小圆的半径为04rr，连 od.oh.oh 与 ad 交于点 m锐则22 ,2adr omr.因为大圆半径 r=4，所以242mhr，在正四棱锥中，如图所示，22hohmom2222422rr3211164 2164 222rrrr.所以2431142164 242333vshorrrr记4334342165 2165 2rrtrr

13、trrr r，所以令8 205rtr，易知，8 25r时，4343rtrr取最大值，所以小圆半径为8 25时， v 最大故选c.【点睛】本题考查了空间几何中的折叠问题，四棱锥体积的计算，以及利用导数知识研究函数的性质，属于中档题 . 12. 已知abcv为等腰直角三角形，其顶点为,a b c，若圆锥曲线e以,a b焦点，并经过顶点c，该圆锥曲线e的离心率可以是（）a. 21b. 22c. 2d. 21【答案】 abd 【解析】【分析】根据题中条件，分别讨论圆锥曲线是椭圆，与圆锥曲线是双曲线两种情况，结合椭圆与双曲线的特征，即可得出结果 . 【详解】因为abcv为等腰直角三角形，其顶点为,a b

14、 c，圆锥曲线e以,a b焦点，并经过顶点c，所以（）若该圆锥曲线是椭圆，当2c时，离心率2222cabeacacb，当4c =时，离心率abecacb12121（）若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有4c =，此时，离心率22cabeacacb12121.故答案为 abd 【点睛】本题主要考查双曲线或椭圆的离心率，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20分，请把答案填在答题纸的相应位置.13. 命题 p：“xr，使2310 xx” ，则它的否定p为： _ .【答案】xr，使2310 xx【解析】【分析】由特称命题的

15、否定是全称命题，可得答案.【详解】由特称命题的否定是全称命题，可得命题p：“xr，使2310 xx” ，则它的否定p为：xr，使2310 xx.故答案为：xr，使2310 xx.【点睛】 本题考查特称命题和全称命题的关系，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，属于基础题 .14. 袋子中有四个小球，分别写有“ 四 ”“校”“联”“考” 四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“ 联” 就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到 4 之间取整数值的随机数，且用 1，2，3，4 表示取出小球上分别写有“ 四”“校”“联”“考” 四个字，以每两个随机数为一组，代

16、表两次的结果，经随机模拟产生了20 组随机数： 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34据此估计，直到第二次就停止的概率为_.【答案】 0.3【解析】【分析】先求出满足条件基本事件的个数，再根据古典概型的求法可求得答案.【详解】由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13, 43,23,13,13，23 共 6 个基本事件 ,故所求的概率为632010p，故答案为： 0.3.【点睛】本题考查古典概型的求法，关键在于求得基本事件数，属于基础题.15. 已知抛物线24cyx：的焦点为f，准线为l，过抛物线c上的点a

17、作准线l的垂线，垂足为m，若amf与aof（其中o为坐标原点）的面积之比为3：1，则点a的坐标为 _【答案】2,2 2【解析】【分析】设00,a xy，利用焦半径公式可得01amx，从而可得amf与aof（其中o为坐标原点）面积，由面积比可得02x，从而得到所求的a的坐标 . 的【详解】设00,a xy，则01amx，故00112amfsxy，012aofsy，因为:3:1amfaofss，故013x即02x，故02 2y即2, 22a，填2,22. 【点睛】一般地，抛物线220ypx p上的点00,p xy到焦点的距离为02px；抛物线220 xpy p上的点00,p xy到焦点的距离为02

18、py. 16. 已知函数2ln2fxxxx xa（ar）.若存在1,3x，使得fxxfx成立，则实数a的取值范围是 _.【答案】5,4【解析】【分析】由( )( )f xxfx可 构 造 函 数( )( )f xg xx， 则( )0g x即1( )4()0gxxax恒 成 立 ， 转 化 为min14axx，再求14xx的最值即可 .【详解】由( )( )f xxfx得( )0f xx,设2( )( )ln2()fxg xxxax，则存在1,3x，使得( )0g x成立，即1( )4()0g xxax成立 .所以14axx成立，所以min12axx成立，又令14txx，22 +1214xxt

19、x，所以1,3x时，0,tt单调递增，当1x时，t有最小值54，所以实数 a 的取值范围是5,4，故答案为：5,4.【点睛】本题主要考查函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值， 图像与性质， 进而求解得结果，属于中档题 .三、解答题：本大题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知曲线c：3212333fxxxx（1）求fx在点1,1pf处的切线方程；（2）求fx在 r上的极值【答案】（ 1）410 xy； （2）极大值713f，极小值2533f【解析】【分析】

20、（1）对函数fx求导函数223fxxx，计算出1f，1f，由直线方程的点斜式可求得切线方程；（2）由函数fx的导函数22313fxxxxx，令( )0fx=可得11x，23x，分析出导函数的正负，得出函数fx的单调性，从而求得函数fx的极值 .【详解】（ 1）fx的导数223fxxx，14f，又13f，所以fx在点1,1pf处的切线方程为410 xy；（2）fx的导数22313fxxxxx，令( )0fx=可得11x，23x当 x 变化时，( )fx，fx的变化如下表x, 111,333,( )fx00fx递增极大值递减极小值递增所以fx在1x处取得极大值713f，fx在3x处取得极小值253

21、3f.【点睛】本题考查运用导函数求得函数的切线方程和函数的极值，关键在于分析出其导函数的正负，得出原函数的单调性，属于基础题.18. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，/ad bc，90abc，ac与bd相交于点e，pa平面abcd，2pa，1ad，3ab，3bc.（1）求证：bd平面pac；（2）求二面角apcd的余弦值 .【答案】（ 1）见解析；（2）3 9331【解析】【分析】（ 1）根据线面垂直的性质得bdpa和平面几何中的三角形的性质得bdac，再由线面垂直的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，再由二面角的向量计算公式可求得值. 【详解】（ 1）

22、paq平面abcd，bd平面abcd，bdpa.又3tan3adabdab，tan3bcbacab，30abd，60bac，90aeb，即bdac，又paacai，bd平面pac（2）建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则0,0,0a，3,0,0b，3,3,0c，0,1,0d，0,0,2p，3,2, 0cduuu r，0,1, 2pduuu r，3,1,0bduuu r，设平面pcd的法向量为, ,nx y zr，则0cdnuuu rr，0pdnuuu rr，32020 xyyz，可取4x，即4,23,3nr，.由（ 1）知平面pac的一个法向量为3,1,0mbdu ruuu r，4 32

23、33 93cos,312 31m nm nm nu r ru r ru r r，由题意可知二面角apcd为锐二面角，二面角apcd的余弦值为3 9331.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及二面角的计算，求解二面角时注意根据图示得出二面角是锐角还是钝角，再取其值，属于中档题.19. 某“ 双一流a类 ” 大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65 万元到 2.35 万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100 人月薪收

24、入的样本平均数x；（2）该校在某地区就业的2018 届本科毕业生共50 人，决定于 2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一： 设区间1.85,2.15，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？【答案】 (1)2 ；(2) 方案一能收到更多的费用. 【解析】【分析】（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；（2）分别计算两方案收取的费用，然后比较

25、即可【详解】 (1)这 100 人月薪收入的样本平均数x是0.02 1.70.10 1.80.24 1.90.31 2x0.22.1 0.09 2.20.04 2.32.(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为0.020.10400 50 100000.24（万元）；月薪落在区间收活动费用约为0.240.31 0.20600 50 100002.25（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为0.090.04800 50 100000.52（万元）；因此方案一，这50 人共收活动费用约为3.01（万元）；方案二：这50 人共收活动费用约为500.033x（万元）；故方案一能收到更多的费用.【点

26、睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题20. 已知正方形的边长为4， e， f 分别为ad，bc的中点，以ef为棱将正方形abcd折成如图所示的60的二面角，点m 在线段ab上 .（1）若 m 为ab的中点，且直线mf与由 a，d，e 三点所确定平面的交点为g，试确定点g 的位置，并证明直线/gd面emc；（2）是否存在m，使得直线de与平面emc所成的角为60；若存在，求此时amab的值，若不存在，说明理由 .【答案】（ 1）点 g 在平面abfe与平面ade的交线上，见解析； （ 2）存在，14amab或34amab【解析】【分析】（1）根据平面的基本性质可求得点g 的位置，再根据

27、平面几何中矩形和三角形的性质得出线线平行，根据线面平行的判定定理可得证；（2）由已知可得，efae，efde，所以ef平面ade，所以平面abef平面gde，取ae的中点 h 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设出点m的坐标，根据线面角的空间坐标计算公式可得m的坐标，可得解.【详解】（ 1）因为直线mf平面abfe，故点 g 在平面abfe内也在平面ade内，所以点g 在平面abfe与平面ade的交线上（如图所示） ，因为/ag bf，m 为ab的中点，所以gamfbm，所以gmmf，agbf，所以点 g 在ea的延长线上，且2ag，连结df交 ec 于 n，因为四边形cdef为矩形，

28、所以 n 是 ec 的中点，连结mn， 因为mn为dgf的中位线，所以/mn gd，又因为mn平面emc，所以直线/gd面emc.（2）由已知可得，efae，efde，所以ef平面ade，所以平面abef平面gde，取ae的中点 h 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以1,0,0e，()0,0,3d，0,4,3c，1,4,0f，所以1,0,3eduuu r，1,4,3ecuuu r，设1, ,0mt（04t） ，则2, ,0emtuuu u r，设平面emc的法向量, ,mx y zu r，则2000430 xtym emm ecxyzuuu u vvuuu vv，取2y，则xt，8

29、3tz，所以8, 2,3tmtu r，de与平面emc所成的角为60，所以228328243tt，所以22 332419tt，所以2430tt，解得1t或3t，此时14amab或34amab，所以存在点m，使得直线de与平面emc所成的角为60.【点睛】本题考查两平面的交线问题，线面平行的证明，线面角的计算，注意在确定两平面的交线时运用平面性质的公理，属于中档题.21. 已知椭圆c：22221xyab（0ab）的左右焦点分别为1f，2f，点0,3b为短轴的一个端点，260of b.（1）求椭圆c 的方程；（2）如图，过右焦点2f，且斜率为k（0k）的直线 l 与椭圆 c 相交于 d，e 两点，

30、 a 为椭圆的右顶点，直线ae，ad分别交直线3x于点 m， n，线段mn的中点为p，记直线2pf的斜率为k.试问k k是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（ 1）22143xy； （2）是，定值34【解析】【分析】（1）由条件求得ab，可求得椭圆方程；（2）设过点21,0f的直线l方程为：1yk x.与椭圆的方程联立求解得22224384120kxk xk， 设点11,e x y，22,d xy， 根据根与系数的关系得2122843kxxk，212241243kx xk.再得出直线ae的方程和直线ad的方程，求得点m 和点 n 的坐标，从而求得点p 的坐标，得出

31、直线2pf的斜率，可求得k k，得解 .【详解】（ 1）由条件可知2a，3b，故所求椭圆方程为22143xy；（2）设过点21,0f的直线 l 方程为：1yk x.由221143yk xxy可得：22224384120kxk xk，因为点21,0f在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即恒成立 .设点11,e x y，22,d xy，则2122843kxxk，212241243kx xk.因为直线ae的方程为：1122yyxx，直线ad的方程为：2222yyxx，令3x，可得113,2ymx，223,2ynx，所以点p 的坐标121213,222yyxx.直线2pf的斜率为1212102223 1yyxxk122112121221424x yx yyyx xxx121212122341424kx xk xxkx xxx222222224128234134343412844244343kkkkkkkkkkkk，所以k k为定值34.【点睛】本