利用基本不等式求最值的技巧

1、1 / 3 基本不等式应用一：直接应用求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x212x 2（2）yx1x解： （ 1）y3x212x 223x 212x 26 值域为 6 ， +）（ 2）当x 0 时，yx1x2x1x2；当x0 时，yx1x= （x1x） 2x1x=2 值域为（，2 2，+）二：凑项例 2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因450 x，所以首先要 “调整” 符号， 又1(42)45xx不是常数， 所以对42x要进行拆、 凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。评注：

2、本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。变式12,33yxxx三：凑系数例 3. 当时，求(82 )yxx的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值，故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。当，即x2 时取等号当x2 时，(82 )yxx的最大值为8。评注： 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式 1：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。解：230 x023x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,

3、232xx即23,043x时等号成立。2 / 3 变式 2：已知x，y为正实数，且x 2y 221，求x1y2的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 22。同时还应化简1y2中y2前面的系数为12，x1y2x21y 222 x12y 22下面将x，12y 22分别看成两个因式：x12y 22x 2 (12y 22 )22x 2y 2212234即x1y22 x12y 22342 四： 分离例 4. 求2710(1)1xxyxx的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时 ,421)591yxx（当且仅当x

4、1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2 即x1 时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为( )(0,0)( )aymg xb abg x，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。变式求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为

5、1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。3 / 3 所以，所求函数的值域为5,2。五：与指数或对数运算性质结合例 5. 若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . 分析： “和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33 和都是正数，ba33632332baba当ba33时等号成立，由2ba与ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值 .并求x,y的值六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例 6：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。错解：0,0 xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当