带电粒子在有界磁场的运动

1、带电粒子在有界磁场的运动作者：李嘉鹏 黄碧虹 带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的园及解析几何的知识。下面以一道题为例，简单鉴赏粒子在不同形状的磁场的运动情况。【题根】如下图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，在边长为2R的正方形区域内也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度相同。两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场。在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的粒子，速度方向

2、与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，这下列说法正确的是（ ）A 带电粒子在磁场飞行的时间可能相同B 从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场C 从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场D从N点射入的带电粒子不可能比从M点射入的带电粒子先飞出磁场解析：画轨迹草图如右图所示，由图可知粒子在圆形磁场中的轨迹长度（或轨迹所对圆心角）不会大于正方形磁场中的，这是因为对于同一个带电粒子的运动轨迹（理想圆形），该正方形所能提供的磁场范围大于或等于圆形所能提供的范围，故A、B、D正确。由此得之，有时边界的形状会影响带电粒子的运动，下文按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析。1圆形磁场特点1 入射速度方向指向匀强磁场区

3、域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。【例1】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度从点沿 直径方向射入磁场，经过时间从点射出磁场，与成60°角。现将带电粒子的速度变为/3，仍从点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为A. B.2 C. D.3 解析设有界圆磁场的半径为R，带电粒子的做匀速圆周运动的半径为r，OC与OB成600角，所以AO1C=60°,带电粒子做匀速圆周运动，从C点穿出,画出轨迹，找到圆心O1,中，即,带电粒子在磁场中飞行时间，现将带电粒子的速度变为v/3，则带电粒子的运动半径,设带电粒子的圆

4、心角为，则，故，运动时间，所以，选项B正确。特点2 入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为 （弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为 ，轨迹圆弧对应的圆心角也为 ，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。【例2】如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q（q>0）。质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R/2，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ ）。A: B: C:

5、 D: 答案：B 解析：由题意知,设入射点为A，AC平行于ab，穿出磁场的点为B，圆心为O，由题意知,粒子射入磁场和射出磁场的夹角60°，所以圆心角就为60°，ABO为等边三角形，BAC=30°，过B点做AC垂线交于C点，由三角形可得，所以带电粒子运动的半径为r=R，由解得,所以选项B正确。2、 单边界磁场带电粒子垂直磁场进入磁场时。 如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；如果与磁场边界成夹角进入，仍以与磁场边界夹角飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则12）【例3】如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为，磁场方向垂直于

6、纸面向里。许多质量m为带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/Bq，正确的图是（ ）。答案：A 解析：粒子带正电，由左手定则可得，粒子向左边偏转，大致图像为：故选A3平行直线边界磁场带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切； 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。【例4】真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成角的速度V0

7、垂直射入磁场中要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？解析：当粒子的轨迹与EF相切时，只要速度 再大一点，则半径增大，会从EF边飞出。 那么问题就转变为求当轨迹和EF相切时的 速度，只要V0大于该速度，就会从EF边飞 离磁场。设相切时半径为R，由计算得： 因为洛伦兹力提供向心力，代入上面的方程，得出 最后结果： 无论速度多大的带电粒子射入磁场，都会有一定偏移， 故射出的范围为GP段。4矩形边界磁场带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；速度在某一范围内时从侧面边界飞出；速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面

8、边界相切； 速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。【例5】长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图16所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）A使粒子的速度V<BqL/4m； B使粒子的速度V>5BqL/4m；C使粒子的速度V>BqL/m；D使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而

9、半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：r12L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m，V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有r2L/4，又由r2mV2/Bq=L/4得V2BqL/4mV2<BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。5三叶草磁场带电粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的“聚与散”，有如下规律：条件 当圆形匀强磁场的半径R和带电粒子的

10、轨道半径r相等时结论 散粒子从不同方向经磁场边界的同一点射入磁场，经磁场偏转后，必沿同一方向射出磁场聚粒子以同一方向平行射入磁场，经磁场偏转后，必经磁场边界的同一点射出磁场。以上条件与结论互为充要条件。【例6】如图，ABCD是边长为a的正方形. 质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域. 在正方形内适当区域中有匀强磁场. 电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场. 不计重力，求（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积. 答案：（1）方向垂直于纸面向外（2）解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B. 令圆弧AC

11、是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨迹. 电子所受到的洛伦兹力F应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外. 圆弧的圆心在CB边或其延长线上. 依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆的半径为a.由牛顿第二定律和向心力公式，以及可以求出磁场大小。（2）因为由C射入的轨迹为弧AC，而其他粒子均在C点以下射入，则弧AC为最小面积的其中一条边；另外的边界有两种情况：先经过磁场，再匀速直线运动；或者相反。若为第一种，则无法构成封闭图形（两条边界在非顶点处有交点），则只有这一种情况： 半径为a（匀强磁场），由磁聚焦现象（若种同一速度带电粒子在某一半径为l的圆形匀强磁场中运动半

12、径同样为l，则以同一个方向射入的该种粒子会到达圆形磁场边界的同一个点，且该点与圆心的连线垂直于粒子射入方向），可得弧ca即为另一条边界。面积即为两个1/4圆的扇形的相交面积。6三角形磁场 【例7】如图,在边长为L的等边三角形ACD区域内,存在垂直于所在平面向里的匀强磁场.大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场,经磁场偏转后三条边均有粒子射出,其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求:(1)磁场的磁感应强度大小;(2)要确保粒子能从CD边射出,射入的最大速度;(3)AC、AD边上可能有粒子射出的范围.解析：（1）洛伦兹力提