初中数学二次根式的概念及性质(含解析)

1、初中数学二次根式的概念及性质考试要求:内容基本要求略高要求较高要求二次根式 的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除 运算法則会进行二次根式的化简，会 进行二次根式的混合运算(不要求分母有理化)重难点:1 二次根式 y/a (U 0)的内涵，a (U 0)是一个非负数："(d);= (0)及其运用2. 二次根式乘除法的规定及其运用.3. 二次根式的加减运算.例题精讲：模块一二次根式的概念及性质 二次根式的槪念：形如需(g0)的式子叫做二次根式，称为二次根号二次根式的基本性质：(1) >A70 (t0)双重非负性；(2) (5i)2=d (t0); (3)(" 0)(“

2、 < 0)对二次根式定义的考察【例1】判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 .4.3.1.7(X>O).X 頂、近、!、Jx+ y (x0, v0). + V【难度】1星【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“"第二，被开方数是正数或0.【答案】二次根式有：2 > 7( > 0).丽、777 (x>0, y0):不是二次根式的有:Xx + y【巩固】下列式子中，是二次根式的是().A.B >s C.D X【难度】1星【解析】略【答案】A.【例2】当X是多少时，57二T在实数范围内有意义？【难度】1星【解析】由二次根式的定狡可知

3、，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l0,二辰二！才 能有意义.【答案】l.3【例3】当注多少时，E+占在实数范围内有意义?【难度】2星 【解析】要使2T÷3 + - 在实数范国内有意爻，必须同时满足中的2x+30和x + 1中的x+l0. x+1依题意得2x+3QX +1 O2由 2x+3>0 得：x-2由 x+l0 得：x-l当x-且時时，2T÷3 + -在实数范围内有意义2x + 1【答案】x-且x42【巩固】使式子石二硏有意义的未知数X有（）个A. 0B. 1C. 2D无数【难度】1星【解析】利用二次根式和平方非负性解题.【答案】B.【巩固】某工厂要制作一

4、批体积为1"的产品包装盒，英髙为02皿 按设计需要，底而 应做成正方形，试问底而边长应是多少？【难度】1星【解析】注意在实际应用題中数据的非负性设底面边长为X, 0i 0.2x2 = 1,解答：X=応【答案】5【例4】解答下列题目(1) 已知 y = -x + >- 3 + 6 ,求丄的值.V【难度】1星【解析】二次根式非负性的考察3-xhOV 31由题可知丿，解得x=3, Iy=6,則一=二=X 3 O°y 62【答案】丄2 若7T+T=o,求o"+b咖的值.【难度】1星【解析】原.= (-1)2(H,+12OH=-I+ 1 = 0.【答案】0.【巩固】已

5、知C b为实数，K5- + 2210 = b + 5.求a、b的值.【难度】2星【解析】二次根式非负性的考察. 答案】6r=5, b=-5.【巩固】已知实数与非零实数X满足等式:求血-2)2 12【难度】3星【解析】非负性的考察.x(34)2-3 + = 0Jr"-丄- X = OXVX2 -3 + 4 = 0, /.x2+4 = x2+4 + 2 = 5t(x+i)2=5.11L又.-x = 0,.-+ x = d , :.U = ±5 XX原式*_2|二当 a=y5 ,原式=Q2=JJ-2,当 a=-JJ:原式=2=JJ+2. 【答案】T-2或J + 2.对二次根式性质

6、的考察【例5】计算(3) (-5)2(£)2【难度】1星【解析】略【答案】(1) -： (2) 36： (3) 5： (4)44【巩固】计算(2) (7)2(1) ( + 2)2(x0)(3) (2+2 + 1)(4) (4a2-12a + 9)2【难度】1星【解析】略【答案】(l)x+2: (2)(3) a2+2c + : (4) 4.r-12x + 9.【例6】在实数范用内分解下列因式：(1)2-5【难度】2星【解析】实数与有理数的区别:实数包含无理数.【答案】(1(x-5)(x+5): (2) ( + 2)(-2)(x2 + 2): (3) (2a +3)( -).(2)x4-

7、4(3) 2扌一3【例7】先化简再求值：当"9时，求“ + J1-加+ /的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式= + (" = + (l-) = l:乙的解答为：原式= + F = + (-l) = 2-l = 17.的解答是错误的，错误的原因是两种解答中，【难度】2星【解析】略【答案】甲；甲没有先判定IW是正数还是负数.【巩固】若3<x2 时，试化简 ,v-2 + (x+3)2+ x2-10 +25 .【难度】2星r (U 0)-a (Cl < 0) 原式=2-+x+3 + x-5 = 2 x + x+3+5-x= 10-X .【答案】10-.【解析】A

8、70 ：(ya)2 =U := a = < C【巩固】如果t>0学<0,化简y(b-a - 4* -J(a-b+h2【难度】2星【解析】略.t>0,-<0,.J7<0b原式=Ib_a_4|_|“_b+ l = -b+ + 4-(-b+l) = -b + a + 4“ + bl = 3 .【答案】3.总结：(1)在做題中，在有取之范国的情况下，根式下的式子要满足大于等于0；同时特别注 意其与分式的结合应用：(2) 整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值：偶次方(常以平方的形式出现)； 根号在中考题中经常以填空或选择的形式出现.模块二二次根式的乘除运算 二次根式

9、的乘法法则：亦 O = W ("0, 70)【例8】如果丽 = 377成立，那么X, 3,必须满足条件【难度】1星【解析】略【答案】xO,y0【例9】 化简：(1) 49×81 =: (2) 0.36×0.25 =: (3) 8727 =【难度】1星【解析】略【答案】(1) 63：(2) 0. 3(3) 36/【例10】 如果仮3 = (x-3),那么()A. x0B. 3C. 0xS3D X 为任意实数【难度】1星【解析】略【答案】B.【巩固】已知三角形一边长为2cm ,这条边上的高为JiyCm,求该三角形的而积.【难度】1星【解析】5 = 1×2&#

10、215;12 = 6 ( Cm2).【答案】6 .【例11】把4 ',2根号外的因式移进根号内，结果等于().A. -T B. HC. -f44D. f44【难度】1星【解析】略【答案】D.(y-I)【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里而:(1) a【难度】2星【解析】利用70)解題，在解題过程中要注意"o的应用.(I) W2)O-I)【答案】(1) Ja : (2) Jy + 1 .【例12】先化简，再求值：(-J)S + J)-(-6),其中 = 5+-2【难度】1星【解析】在做题过程中，一定要注意先化简，再代入求值原式=/ 3/ +&/ = &/

11、3 ,扌巴G = y5 + 丄代入得原 = 6×(>5+-)-3 = 65 2 2【答案】6$ 【例13】已知C b为实数，且JrT万一少一1)= 0,求720,-b2°,1的值.【难度】3星【解析】非负性的考察V >T77-(h- )y-b = 0,. Jl+ d =(b-)y-h . +? > OtA (b - l)7 O vbO,.-lO,X vl-O, .>= tt = -l原式=(-l)2°H-l2°H =-1-1 = -2 【答案】-2【巩固】探究过程：观察下列0式及其验证过程.通过上述探究你能猜测岀：冷詮=SO),并

12、验证你的结论.【难度】2星【解析】略【答案】后验证：总结：对于上题，在做题中要注意横向和纵向的对比，即式子本身及式子与式子自检的关系， 以便找到规律利用乘法法则时注意a、的取值范围，对于7 = -, “、b都非负，否則不 成立，如 J(-6) (-5) J(_6) /-5)二次根式的除法法则: 將弋=o,心。)【例14】计算:(1)匹【难度】1星【解析】利用旦=庖 （a0, 0）便可直接得出答案4 = 2:(1)【答案】(3)4=/6 (4)(1) 2:(2) 23 ： (3)i×16 = 4 = 2;42：（4）点【巩固】已知8=, S0 = 7,求后的值.【难度】3星【解析】乘法

13、公式和除法公式的综合应用.【答案】10UbIo1010【难度】3星 【解析】【例15】已知,且X为偶数，求（l + x）v5"+4的值.由题可知9-xn0,x-6>0,. 6<xS9 . a 为彳禺数，. =8孚J曙需h石当 x=8 时，原式=(l+8)j = 9j = 9x = 6.【答案】6.【巩固】濡Y卡s°' °）【难度】【解析】1星2m-原式A讣傷*傷"讣標【答案】-厶亦 m总结：利用这除法法则时注“绅取值范围,对于粋 S。,非 负，b必须大于0,否则不成立.模块三最简二次根式:二次根式需(t0)中的。称为被开方数.满足下面

14、条件的二次根式我们称为最简二次根 式.(1) 被开放数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(3) 分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.【例16】把下列各式化成最简二次根式：(1) 12 =； (2) 27 =: (3) 54 =: (4) 487=【难度】1星【解析】略【答案】(1) 23 ： (2) 33 ： (3) 35 ； (4) 457【例17】下列各式中是最简二次根式的是()AB. Jb -3【难度】1星【解析】略【答案】B.D. y32y【巩固】把下列各式化成最简二次根式:【难度】1星【解

15、析】略【答案】(I)並;(2) 空：(3) 懈；空.【例 18】计算t(l)1860:(2) 23-46:保(3)48÷2 f ；【难度】1星【解析】略【答案】(1) 725 :(2) 24"屈：(3) 26.分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化.互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如呆它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有 理化因式.Jc + yfb与ya -yb互为有理化因式，原理是平方差公式(U + b)(a-?) = Cr b2 :分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0.【例19】2 + 3的有理化因式是: 7-y的有理化因式是-yJx+

16、y/x 1的有理化因式是【难度】1星【解析】略【例20】【答案】(1)血-屈 (2) 石+y：(3) -7+T+7T把下列各式分母有理化：(1) 'J (2)j2a + 4Jjv+ y【难度】【解析】(1)2(“-1)2(d-l) j2" + 42(a 1) 2a + 4 (a 1) 2a + 4【答案】(3)(4)(1)2T+4 2J+4 2T+42(“ + 2)PV一、吁=_y:血+12 + lv + y_" _后1 2-l(2-l).(2 + l) (2)2-l235-23 _(35-23)219-41535 + 23 (35 + 23) (35 - 23)H

17、(fZ: (2) -y777; (3) 2 + l: (4) 19【巩固】化简：；L 6 + ?【难度】1星【解析】略【答案】長_長【例21】【难度】2星【解析】原式=cib X =× X = yj-r- = 7<7.【答案】U求值.(1) =22 + 7(2) =+ i(3)-_L-r n + l + n【难度】1星【解析】略【答案】(1) 2>j2 : (2) >TT > : (3) >/? +1 y/n 【巩固】计算:【难度】2星x-4x-7JX 3 +1 J)C 3 _ 2【解析】原式=(X - 4)( JX _ 3 -1) (x - 7)( J

18、x - 3 + 2)x-3-lx-3-4=JX_3_ - JX-3 -2 = -3【答案】-3模块四同类二次根式几个二次根式化成置简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式.合并同类二次根式：7+=+7)7.同类二次根式才可加减合并【例23】把下列二次根式 屁 27, 125,445. 28, 18. 12. 15化简后，与2的被开方数相同的有:与T的被开方数相同的有:与5的被开方数相同的有【难度】1星【解析】略【答案】32,28,18 ； 27,12 ： I35,4届 【例22】观察规律:卫【难度】2星 【解析】【例24】若最简二次根式辰二T与7i牙是可以合并的二次

19、根式，则“= 同类二次根式的考察依题意，得，35=+3 ,解得m=4【答案】【例25】化简后，与的被开方数相同的二次根式是（).A. 12B. 1ID.4.【难度】【解析】略【答案】B.【例26】若最简二次根埒K与ME是同类二次根式，求的值.【难度】2星n = 8H2 = 3m = ±2>2H = ±>/3如八"七 P 3/2 - 2 = 4m2 -10【解析】依题意，得< .X-I = 2所以V心F或;n =羽H = 3H = J3P誓或m = 2y2k或m = -22ZT或H = -3H = 3【答案】m = - 2 V H =-苗【巩固】若

20、“奶 与最简二次根式57丽是同类二次根式，求e b的值.【难度】2星【解析】在做题过程中，要注意是否是最简二次根式.此题注意到（I炯不是最简二次根式就可以了【答案】U = 1 /? = !【巩固】已知最简根式“屈肓与£7是同类二次根式，则满足条件的C b的值（）A.不存在B.有一组C.有二组D.多于二组【难度】1星【解析】略【答案】B.【例27】化简计算:(1)13 + 22(2)(a>h>O)(3)(27 + Ji)-(i2- + 45)【难度】2星【解析】略【答案】（1） 3-2;(2)-10r :4(3)43145"5课堂检测:【练习1】下列各式中,一左是

21、二次根式的是（).A.、/_ 3_B. (-O.3)2C. J 2D. yX【难度】1星【解析】略 【答案】B.【练习2】已知是二次根式，则X应满足的条件是（）.A x>0B. x0C x3D x>3【难度】2星【解析】注意分式与二次根式的结合【答案】D.【练习3】若27 + -3m有意义，则加=【难度】1星【解析】略【答案】0.(3) (J3X 5)【练习4】计算下列各式:(1) (3)2(2)(2×3)2【难度】1星【解析】略【答案】(1) 18： (2) 6： (3) 15； (4) 6【练习5】讣算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式:存(1) t- =； (

22、2)=： (3)、L =3 间23【难度】1星【解析】略【答案】(1)迺：(2)迈：(3)逅：(4)31266v(X)【练习6】计算J目滓壬【难度】2星【解析原式“3厶J如二嚳如3 Y 2c In + H m - n=-Uy【答案】-<6 .课后作业：W时，屈巧有总义；忙讨，頁吕应义当X时，(有意义;当X时，Jg的值为1.【难度】1星【解析】略2【答案】-： x>3； x>0; A-I.32若b<0,化简的结果是【难度】1星【解析】略【答案】原式=护53.19 ,8.7中，与爺是同类二次根式的是【难度】1星【解析】略4若3胃/石二J与最简根式胃4x+y + m是同类二次

23、根式,则加=【难度】2星3x + y = y + 6【解析】依题意，得k + 6 = 22x- y = 4x + y + m»【答案】4X = 2解得< y = -4m = 4/. m = 4 5 若e b两数满足b<Q<a且b>a ,则下列各式有意义的是（）.A. J（I + bB. b ciC. Ju bD- yCIh【难度】2星【解析】由已知条件，借助于数轴解决问题【答案】C.6.等式Jx - 2 - y/x + 2 = x' -4成立的条件是（）A x2【难度】1星【解析】略【答案】A.B. x-2 C -22 D x2 或 S-27若d = -3J = -4,则下列各式求值过程和结果都正确的是()A. 需徧2 +b' = a(a + b) = -3(-3-4) = 21B. ycr.yja += CIJCr + = -3/-3)，+ (-4) = -3fl5 = 15C. JUl +b' =-a+b2 = 3j(-3)r+(*)2=