沪教版初二上数学详细讲义

1、第十六章二次根式第一节二次根式【知识要点】1 .二次根式代数式 7a (a 0)叫做二次根式。读作“根号 a”，其中a叫被开方数2 .二次根式有意义.a有意义的条件是a 03 .二次根式的性质性质一 .a2 a (a 0)性质二(/a)2 a(a 0)性质三 ,ab a b a 0,b 0性质四S |(a 0，b 0)4 .最简二次根式在化简后的二次根式里：(1)被开方数中各因式的指数都为1;(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式5 .同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类次根式.【学习目标】1 .掌

2、握二次根式有意义的条件及性质 .2 .掌握最简二次根式及同类二次根式 .【典型例题】1.二次根式的判定【例1】 下列式子中哪些是二次根式？(4) V8 ；(5) J( )2 ；(1)岛(2) /"2; (3) 4 3 ;162 / 121(10)(7) Jx2 2x 3；(8) /-2a(a 0)；【答案】（1）、（3）、（5）、【分析】二次根式要求根指数为 必须是非负数，所以（8）是二次根式.2,所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数2）、（6）显然不是，（9）中只有当x 1 0即x1时,才是二次根式，（10）中只有当x 0时，才是二次根式.2二次根式有意义的条件【例2】

3、当实数X取何值时，下列各式有意义?(x 2)2；(1)(5)V2T1 ；232(5)三；x 1(6)16x 4（2） X取任何实数;(3) x 0；(4) x 5；【分析】（1）由(2)(3)(5)2x无论x取什么实数,2x意义;(6)由6x 4有意义；0,得x都有（x0,得x0且6x(6) x2o31一时，V2x 1有忌义;22）2 0,所以当x取任何实数时，J（x 2）2都有意义;0,所以当x 0时，jx C有意义;【例3】化简下列二次根式;0,得x 5,-3得x 且x2所以当x 5时,卫有意义;23.二次根式的化简3 2x上1时，有x 1（1）,（7）2；J(62行)2(3) 1 Jl2

4、x3y (y xb12(a0,b 0)。【答案】（1）7;2.2、.7; 23xy；(4)a bab【解答】（1）原式(2)2、. 2(3)由 12x3y0,得x 0,所以(4)原式二iJ2x ,223 x xy2X 3xy x2 x : J3xy2j3xy ;x由a 且b 0,得ab 0 ,所以b2 a2. a2 b2尿 K2 丁 a b aba2 b2ab【例4】下列根式中哪些是最简二次根式?（1）V15； 后； 70125；（4）Jgabab(5) ；(6)，3x3y2 ；(7) , 4x2 9y2【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.【解析】因为 玩 M 3与J3x3y2它们的

5、被开方数中各因式的指数不都是（2）、（6）不是最简二次根式.因为J0.125 J8与，2ab，它们的被开方数含有分母，所以（3）、（4）不是最简二次根式4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式?(1)（2）775；（3） J，；（4）(6)2 ，8xy 8y (x 0, y0)；(8)6x2y2 (x 0, y 0)。(1)(2) V75 573；(3)(4)、.242.6；(6),45因为x0,y0,所以x 2y,2x2 8xy 8y2,2(x 2y)2(x 2y)我;(8)因为x 0, y 0,所以xy 0,于J6x2y2 76xyT6xy。（4）、（8）是同类二次因此

6、（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式; 根式.【基础训练】1.Ya2 （Ja）2成立的条件是2.当x时，式子vx 3,，1 有意义.5 x,a2时，一a-1.a化简m 2n.3.当aa2时，1 ;当a.a.x 1 .、. .， 一4.代数式中，字母x的取值范围是x 15.若 2 x0,贝Ua100b2018.下列各式中，是最简二次根式的是（A. 18 B.a2bC. . a2 b29.式子xx 1冬成立的x取值范围为 .xA. x 0B. x 1且*C. x 1D. x取任意实数10.下列各组式子中，同类二次根式的是A.3a2b和 %：3a2 bcB.C.3a3b

7、4 和招 a4b3D.2b和11.m m m 6mjm ,45m2./的值A.是正数 B. 是负数 C.是非负数D.可为正也可为负12.x vy,那么化简y x v(x y)2 为(A.0 B.2y13.化简下列各式:C.2x D.2y2x（此题中的字母均为正数）(1) v9a2b3c442 2(2) x x y(3)5(x2 y2)(x y 0)、48(x y)/、 5b35497【能力提高】1.化简并计算己知 x,y5x 2y 1 jy2 2y 1 的值.2.己知3a 04a 3b 与 bi'2ab 6是同类根式，求a b 3的值.3 .已知 J3x 2y 4 Jx 2y 12 0

8、,求 Jx2 y2 的值.(2) x3-x 2-2x+24 .在实数范围内分解因式(1) 4x4 - 1第二节二次根式的运算【知识要点】1 .二次根式的加减法先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并2 .二次根式的乘除法二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变3 .分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化 .4 .有理化因式两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根 式的代数式互为有理化因式 .5 .二次根式的混合运算在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算

9、性质规定都实用【学习目标】1 .会进行二次根式的四则混合运算 .2 .会应用整式的运算法则进行二次根式的运算【典型例题】1.二次根式的四则混合运算【例1】计算:用耳（745屈5）；【答案】（1） 5乏；（2） 134百（3）近 1V3；【解析】（1）原式 4应2立3丘542 ;（2）原式4.3=(42 .334 3 14 巧33（3）原式晨23）（【例2】计算:【答案】（1）【解析】（1）2”3 31、,3 62、，3(2) ,6ab ,10bc (其中(1) ( 2V375) 3728 346 5,7；(2),15ac5c,2原式(2 33、刃5|)-145因为a 0,所以由根式原式=6ab

10、10bc3a 5c 、. 15ac5c 5c 5ac3a5c【例3】把下列各式分母有理化:（1）看(2)2【答案】（1）2；(2)【解析】（1）原式=/18 .214 85 3，6ab可知b 0 ,再由根式 J10bc可知c2.分母有理化,15ac5c(2)原式G)2,01/a 1 °【例4】【答案】【解析】计算:1、3 2573 2底(4).ab(a b)a,b b.a(1)竽2；后2;5 3 2.6(3)-17(4) Ta bb o原式=就3 Q32) (.32)原式m(a 4)(2 , a)4 a=as 2 ；(3)原式3(5.3 2 石)(5 3 2.6)(5 .3 2、6)

11、3(5 3 2.6)75 2453 2617(4)原式ab(a b). ab(.a .b),a . b(.3b)(；ab)、,a . b、, a b【例5】计算:（1）（V15 4）1°（V15 4）”(褥 73 72)(715 展 3)；【答案】（1）J154；(2)6婢；(3) 0;【解析】（1）原式(.15 4)10( .15 4)10(、. 15 4)(.55 4)(.55 4)10(.T5 4)(15 16)10(.15 4)=VT5 4 ；(2)原式 :3(5 、, 3 、2)(、5、.2 、. 3)、3.5 (、.3 、.2) .5 (.3 、2)35 ( 3 .2)2

12、,35 (3 2 .6 2)73( 2峋 6板;(3)解法一：(a b) ababab '、aba b(a b) . ab bab a、, abab解法原式3.二次根式比较大小的常见方法(1)平方法:平方法比较两数 a、b的大小时,当a 0,b 0时，如果a2 b2,那么a b；22如果a b ,那么a b。当a 0,b 0时，如果a2 b2,那么a b；如果a2b2,那么a b ；(2)作差法：作差法比较两数a、b的大小时，如果，a b(3)作商法：作商法比较两数 a、b的大小时，a当a 0,b 0时，如果一1,则a b； b当a 0,b 0时，如果且1,则a b ； b(4)倒数法

13、(分子有理化法)倒数法比较两数 a、b的大小时，.,E 11当a 0,b 0时，如果，则a b ； a b,，e 11当a 0, b 0时，如果一一，则a b ； a ba b 0那么a b；如果a b 0,那么a如果一1 ,则a b .b，a如果一 1 ,则a b .b，11如果一已，则a b .a如果一 1 ,则a b -b，【例6】比较下来各式的大小:(1)厩如与76 53；(2)2 与3.75 6而向（3）杂 衣与,；（4） 炳 灰与715 J11。2.3【答案】（1）;；（3）;（4）。【解析】第（1）题可以用“平方法”比较，第（2）题可用“作差法”比较，第（3）题可 用“作商法”比

14、较，第（4）题可用“分子有理化法”比较 .4. 一类特殊的二次根式求和问题用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便【基础训练】2 .计算：-V75 1。、一二.32；503 .计算：7 J5, 9/45 邛.7 72 I 38.计算:2 . 20 4 .5 4. 155 .计算：a隹b庐，7 mn胆、回,a b . n . m 3-6 .计算：, V15 v 5 3 3 7.分母有理化:9 . J3<2的倒数为10 .若x J5 J3, y是x的有理化因式则 y=，则xy 11 .下列各式运算结果正确的是（A. 233363C.正尸25 162512.下列各式化简结果正确的是（A.

15、 1 . 4a 2 a,2C.413 1 2 2，B.1625）12525D. x2 y2. x2 . y2 x y）B.2 a 1 4a 113 .根式12 Jab化简结果正确的是（）:3xA. 4TabB. 36x2/3xabC. 4 3 3abx D. 4abv,3xx14 . 21339745的计算结果正确的是（）3 4A. 90、3B.45.3 C.27.15D. 45、. 3,415 . <5 Y6的倒数是（）A.56B.65 C.56D.5616 .设J7的小数部分为b ,那么（4+b） b的值是（）A. 1 B .是一个有理数；C . 3 D .无法确定。17. 2.48

16、18.1 2 32 2 122 . 3.21319. 2.5 5 2 2 2 5 5-2 220. 2、5 1-1= L L=2 , 3.19、, 20【能力提高】1.化简与计算：己知22求乂y y xy xx2 2x 2y y的值.2.已知x.3<3，求 x2xy3.已知x323、2'V求下列各式的值.3xy 2y2x 2yDx3二次根式单元测试题（时间100分钟，满分150分）、选择题（本大题共 6题，每题4分，共24分）11. 在根式中15、“牙a - bA.1个 B.2 个b2、3，'ab、L;6、C.32.在下列各式的化简中，化简正确的有3个 D.4()1 v1

17、2a2b中，最简二次根式有（） a个 <a3 =av''a5x Jx - Jx =4x*反 6a 叵=3a V2ab2b bA.1 个 B.2C.3个 D.4 个3.已知二条线段的长分别为J2 cm、,3 cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（4.5.6.A.1cmB.5 cm C.5cm D.1cm已知a<0,化简:2aA.1B.-1C.0 D.2aV5 2v12 55272 的积为()A.1B.17 C.17D. . 21当a>0, b>0时，n是正整数，计算:Ja2n 1b6 - Va2n 3b4 的结果是()A. (b-a) . a

18、2n 1 b4B.(anb3-a n+1b2) . a3,2、2n 1C. (b -ab )aD.(anb3+an+1b2) , a二、填空题（本大题共 12题,每题4分,共48分）7.a- Jb的有理化因式是8.当 m> n 时，化简：（m-n） - Jm一n,224m 4m 1, m -2m 19 .已知-2 v m< -1 ,化间：=4m 22m 2(a b)2b10 .当av-b1时，化简： 5)_+a b_的结果为 .b 1 (b 1)211 . j( 32)2 . J0.0256 (0.5)10 =.12 .计算：(a+2 jOb+b) + (石 + Vb)-( VE-

19、j£)=.13 .化简：x2 他义 *'而Ma+x2y2j5(a >0,b>0)=aaa V ba14 .若菱形两对角线长分别为(2 V5 +3 < 2 )和(2 75-3 < 2 ),则菱形面积= 15.已知bv 0,化简： ,a2 -16 (5 2.6)( 3. 2)=.17 .计算(*3 3&)2 ("3 3&)2=； (4 V15)2001 (4 vT5)2001 =18 .比较大小：5J6 645 ; V13 短 717 灰.三.解答题：(本大题共七题，满分 78分)19.(本题满分为10分)计算：而+ (4 + 2

20、)+病3220 (本题满分10分)(x>0,y>0)化简:贩y 2# y J xy焉21 （本题满分10分）112的值。已知x -,求 x 32x22.（本题满分10分）1,3.4199,10023 .（本题满分12分）先化简，再求值：a一1 ' a 2 2a 1 ,其中a 一二 a 1 a a2.324 .（本题满分12分）设 x、y 是实数，且 x2+y2-2x+4y+5 =0, 求1（2x 2,3y）225.(本题满分14分)1已知 xx Ja = (0 a 1), .a2_-2,求代数式xx_6x 3 x 2 x 上 的值。x x 2x x 2, x2 4x第十七章

21、一元二次方程第一节一元二次方程的概念【知识要点】1 .一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是： 整式方程；只含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2.其中“未知数的最高次数 是2”是指在合并同类项之后而言的 .2 .一元二次方程的一般式2.一，2一元二次方程的一般式 ax bx c 0( a 0),其中ax叫做二次项，a为二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一 般形式.3 .二次项系数含有字母的一元二次方程二次项系数含有字母的方程是否是一元二次方程，需要对二次项系数进行讨论，要保证未知数

22、的最高次数2,只需要二次项系数不为 04 .对于一个一元二次方程， 可以依据根的意义， 判断未知数的一个值是不是这个方程的根.5 .特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征依据方程的根的意义， 找出如果一元二次方程有一个根为 0、1或1的一元二次方程的系2数和常数项的特征。如一兀二次万程ax bx c 0(a 0),当c 0时，有一根为0【知识要点】5 .掌握一元二次方程的概念.6 .一元二次方程的一般形式，能找出方程中各项的系数【典型例题】1 .一元二次方程的判定【例1】判断下列方程哪些是一元二次方程(1)由x2 6 3x(2) x 03x. 22 一(3) 4x y 0(4) x 02(5

23、) x(5x 1) x(x 3) 4x【分析】本题是概念判断题，要牢记符合一元二次方程应满足的条件【解答】(1)移项得：石x2 3x 6 0是一元二次方程2 八(2) x 03xQ方程分母含有未知数，不是整式方程它不是一元二次方程2(3) 4x2 y 1Q方程中含有两个未知数它不是一元二次方程(4) x2 0Q符合一元二次方程的条件它是一元二次方程(5)整理得：5x2 x x2 3x 4x2移项、合并得：4x 0Q二次项系数合并后为 0,未知数最高次数为1它不是一元二次方程。【注意】 判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理，然后再根据条件:整式方程只含有一个未知数未知数最高次数为2

24、只有当这三个条件全部满足时，才能判断为一元二次方程2.一元二次方程的一般式及各项系数的求法【例2】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数(1)历2 瓜(5x 1)2 3 02 23 3) (4m 5)(2m 1) m(4) 3x ax b 0(a、b是已知数)【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而言的.所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式【解答】(1)移项，得方程的一般形式：J2x2 J3x 0可知，方程中的二次项是 J5x2,二次项系数是 反；一次项是 J3x , 一次项系数是 J3 ;常数项是022(2)整理，得万

25、程的一般形式：25x10x 2 0可知，万程中的二次项是25x ,二次项系数是25 ； 一次项是 10x , 一次项系数是 10；常数项是 222(3)整理，得万程的一般形式：7m 6m 5 0可知，万程中的二次项是 7m ,二次项系数是7 ； 一次项是 6m, 一次项系数是6 ；常数项是 5。 . 22(4)方程的一般式为：3x ax b 0(a、b是已知数)可知，方程中的二次项是3x ,二次项系数是3 ；一次项是ax ，一次项系数是a ；常数项是b要认真区别方程的各项与各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号。 对于字母系数方程的整理， 应先明确其未知数， 再确

26、定各项系数 .3】当m 为何值时，关于x 的方程mx2 3x x2mx 1 是一元二次方程？ax2 bx c(a 0) 中， a 0是一元二次方程的必要条件否则它就不是一元二次方程.(m 1)x2 (m 3)x 1 0当 m 1 0 即 m 1 时方程为一元二次方程。.3.一元二次方程根的判别4】判断 3, -4 是不是一元二次方程2x2 x 12 x 的根 .3、 4、2代入原方程检验方程左右两边的值是否相等.2x 3 分别代入方程2x2x 12 x 的左右两边，得坐左边的值为 2 32 3 15右边的值为 12 3 152 因为方程左右两边的值相等，所以x 3是这个一元二次方程 2x x

27、12 x的根.2把 x 4 分别代入方程2x2 x 12 x 的左右两边，得坐左边的值为 22 ( 4) 36右边的值为 12 ( 4) 82因为 方程左右两边的值不相等， 所以 x 4不是这个一元二次方程2x2 x 12 x 的根 .从这个一元二次方程看到，它的根的个数与一元一次方程是不同的 .5】 在下了方程中， 哪些方程有一个根为根为 1 ？2(1) 3x2 2x 02( 3) x2 2x 3 00 ？哪些方程有一个根为 1 ？哪些方程有一个2( 2) 5x x 02( 4) 6x 13x 7 025) x2 6x 5 026) 3x 2x 5 0【分析】根据方程的根的意义，分别把0、1

28、或1代入原方程即可.【解答】根据方程根的意义，可知方程（1）、（2）有一个根为0;方程（3）、（4）有一个根为1;方程（5）、（6）有一个根为 1 .【点评】有一个根为 0、1或-1的一元二次方程的系数和常数的特征是：如果常数项为0,则有一根为0;如果二次项系数与一次项系数的和等于常数项的相反数，则有一根 为1;如果二次项系数与常数项的和等于一次项系数，则有一根为-1.一2【例 6】方程（m 2）xm 5m 8 （m 3）x 5 0（1） m取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解；（2） m取何值时，方程是一元一次方程？【分析】解此题的关键是对一元二次方程和一元一次方程电脑概念的理解，不仅

29、要对未知数的系数讨论，还应注意未知数的最高次.【解答】（1）当m2 5m 8 2且m 2 时，方程为一元二次方程.2由 m 5m 8 2解得 m1 2, mb 3又Q m 2 得m 2m 3时方程为一元二次方程。一、一一 2、一.,.将m 3代入原方程，得x 5 0方程无实数解.（2）由m 2 0得m 2,且m 3 0这时方程为一元一次方程.22（m 2 0 时，m 5m 8 1 和 m 5m 8 0 均无解）【点评】此题应注意对 x项的指数与系数的讨论.【例7】已知x 1是方程x2 mx 1 0的根，化简 Jm2 6m 9 J1 2m m2 .2.【分析】可将万程的跟 x 1代入万程x mx

30、 1 0,求出m的值，再代入已知代数式化 简之.【解答】将x 1代入方程x2 mx 1 0得 12 m 1 1 0,解得 m=2、m2 6m 91 2m m2、11 0【点评】方程的根就是能够使方程左右两边值相等的未知数的值，所以我们可以把它代入到原方程中，从而求出方程中其他字母的值.【基础训练】1 .下列方程中不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8 (a 卞 3) B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5 D.3x2 x 2 0572 .下列方程中，常数项为零的是()A.x 2+x=1B.2x2-x-12=12 ; C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x2

31、+1)=x+23 .把方程x(x 2) 5(x 2)化成一般式，则a、b、c的值分别是()A. 1, 3,10 B.1,7, 10 C. 1, 5,12 D. 1,3,24 .如果(m 3)x2 mx 10是一元二次方程，则()A. m 3 B. m 3 C. m 0 D. m3且 m 05 .关于x的一元二次方程(m 1)x2 x m2 10有一根为0 ,则m的值()1A.1 B. 1 C. 1或 1 D.26 .关于x的一元二次方程2x2 3x a2 10的一个根为2,则a的值是()A. 1 B. / C. 3 D. 37 .方程(x - 1)(2x+1)=2 化成一般形式是 ,它的二次项

32、系数是 一2 r8 .关于x的方程(m 3)x- x=5是一元二次方程，则 m=.9 .关于x的方程(m216)x 2+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则 m= .10 .写一个一元二次方程，使它的二次项系数是3, 一次项系数是2:11 .若一1是方程x2+bx 5=0的一个根，则b=.12 .已知方程ax2+bx+c=0的一个根是一1,则a b+c=.13 .若方程(m 1)x2 Vmx 1 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 14 .若一元二次方程(m 2)x 2+3(m2+15)x+m24=0的常数项是0,则m为.15 .如果x= 4是一元二次方程 x2 3x a2的一

33、个根，那么常数a的值是16 .把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数222(1)(x+3)(x-2)=x+5 (2)2(x-1)=3(x-1) (3)(2x 5)2 (x 4)2017 .已知函数y 2x2 ax a2 ,当x 1时，y 0,求a的值.18 .已知 /m_1 x2+ ( jm +1) x-2=0 ,求 m3x+2 的值.19 .若 3x2-x-1=0 ,求 6x3+7x2-5x+2005 的值.20 .已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,求a,b的值.第二节一元二次方程的解法（1）【知识要点】一.一元二次方程的解法1 .

34、开平方法方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解2 .因式分解法一元二次方程的一边是 0,另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分解 法求解.3 .配方法为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程ax2 bc c 0(a 0),必须将方程形为2(x m)n的形式。配方法的步骤是：把二次项系数化为1；移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；将原方程变形为(x m)2 n的形式.二.一元二次方程解法的运用及其思想方法配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.我们在解一元二次

35、方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.一般情况下： 2_(1)形如ax c 0(ac 0)的一元二次方程用开平方法或因式分解法(平方差公式)解；(2)形如ax2 bx 0(ab 0)的一元二次方程用因式分解法(提取公因式法)来解；(3)形如ax2 bx c 0(abc 0)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)来解 .【学习目标】第十七章学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程第十八章掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例题】【例1】用开平方法解下列方程(1) 4x2 256 0(2) V3(x 1)2 历(3) (1 2x)2 9(4) (2y 1)2 (3

36、 y)2【分析】用开平方法解方程， 要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数常数的形式，再根据平方的定义求解。另外，“整体”思想在解方程时还是十分有用的.【解答】(1)移项得：4x2 256将方程各项都除以4得：x2 64 x 病所以，原方程的根是x1 8,x28(2)将方程两边同时除以 J3得：(x 1)2 J9即(x 1)23 x 1.3所以原方程的根是Xi 1 73, X2 1A(3)利用开平方法，得1 2x 3或1 2x 3解得x 1或x 2所以，原方程的根是 x11,x2 2(4)利用开平方法，得2y 1 3 y或2y 11(3 y)2解得y -或y 43所以原方程的根

37、是：y1 -, y243【点评】对于第(2)题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根 式的简化，而第(3)、(4)是利用“整体”思想解方程.【例2】用因式分解解下列方程(1) (x 3)(x 1) 12(2) 2x(1 3x) 5(3x 1)(3) (2x 1)2 3(x 1)2 0【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等号一边化为零， 另一边分解成两个一次因式的积的形式而求出方程的解【解答】(1)原方程可变形为 x2 2x 15把方程左边分解因式，方程可化为(x 5)(x 3

38、) 0得x 5 0或x 3 0解得 x15, x2 3所以原方程的解为x15,x2 3。(2) 原方程可变形为2x(1 3x) 5(3x 1) 0把方程左边分解因式，方程可化为(2x 5)(1 3x) 0得2x 5 0或1 3x 051解得x 或x -23、-一51所以原方程的根是 x1一，x223(3)原方程可变形为(2x 1)2 V3(x 1)2 0把方程左边分解因式，方程可化为(2x 1)(、3x 3)(2x 1)(、,3x ，3)得(2 £)x 1 5/3 0或(2 m)x 1 0 0解得x 1曲或x 1用所以原方程的根是 x1 1 .3, x2 1 .3【点评】在用因式分解

39、法解一元二次方程时，一定要注意把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解 了.【例3】用配方法解方程22(1)x 8x 9 0(2) 3x 8x 3 0【分析】对于二次项系数是1的方程，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平凡即可完 成配方。对于二次项系数部不为 1,则先将方程各项同时除以二次项系数后，再配方.【解答】(1)移项，得x2 8x 9两边同时加上一次项系数的一半的平方，得2 -2_2x 8x 49 4,、2即(x 4)25开平方，得x 45 即x 4 5

40、或x 4所以原方程的根为x1 1,x29282(2)两边同时除以3,得x - x 1 0移项，得x3方程；两边都加上一次项系数的一半的平方，得x2 8x (4) 331 (3)(xg)1所以，原方程的解为 X -,x23。3“将【点评】“方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步，是配方法的关键。二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提【例5】用适当的方法解下列方程221(1) 2x 5 0(2) 5x2 2 2(1 x) x(x -)2(3) 3x2 7x 4 0 (用配方法) (4) (x 2)(4x 1) (x 1)(x 2)【分析】此题是解一元二次方程的四种方法的综合运用

41、，在解题时，一定要根据具体问题选择恰当方法，从而使解题过程准确、简捷 .【解答】(1)移项，得2x2 5、人口 25方程两边都除以2,得x 2解这个方程，得x.河所以，原方程的根是 x1 0 x2022展开，整理，得4x2 x 0方程可变形为x(4x 1) 0 x 0或4x 1 0，口1所以，原方程的根是 x1 0,x2124(3)移项，得 3x2 7x 4、-，人274方程两边同时除以3,得x2-x33方程两边都加上一次项系数的一半的平方，得x2 7x ( -)236解这个方程得：x4376所以，原方程的根是(；)2?(x 766164 x 1, x213136(4)移项，得(x 2)(4x

42、1) (x 1)(x 2) 0提取公因式，得(x 2)(4x 1) (x 1)整理，得(x 2)(3x 3) 0x 2 0 或 3x 2 0所以，原方程的根是 x1 2, x2-3【点评】当一元二次方程本身特性不明显时，需要先将方程化为一般形式2ax bx c 0(a 0),若b 0 , a、c异号时，可用开平方法求解，如题(1)。若 a 0,b 0,c 0时，可用因式法求解，如题(2)。式法求解，配方法做为一种重要的数学方法，也应掌握，如题（3）。而有一些一元二次方程有较明显的特征时，不一定都要化成一般式，如题（4）。方程（x 2）（4x 1） （x 1）（x 2）不必展开整理成一般式，因为

43、方程两边都有（x 2 ）,移项后提取公因式，得（x 2）（4 x 1） （x 1） 0,用因式分解法求解，2得x1 2,x2,对于这样的方程，一定注意不能把方程两边同时除以（x 2）,这回丢3掉一个根x 2。也就是方程两边不能同时除以含有未知数的整式【基础训练】1 .方程2x x20的根是，方程(x 5)2 36 0的根是 2 .方程(2x 3)2 5(2x 3)的两根为 x1 , x2 .3 .已知x2 2x 3与x 7的值相等，则x的已是 24 . (1) x2 6x 9 (x )2, (2) x2 (x -)2425 .已知6x2+xy-2y 2=0,则-的值为y6 .一个两位数的个位数

44、字与十位数字的平方和等于29,且个位数字与十位数字之和为7,则这个两位数为.7 .在实数范围内定义一种运算“ * ”，其规则为a * b=a2-b 2,根据这个规则，方程（x+2） * 5=0的解为 8 .若一个等腰三角形的两边长是方程x2 6x 8 0的两根，则这个三角形的周长是 .9 .若x2 kx+4满足完全平方公式，则 k=一2_10.用配万法解万程x2x50时，原方程应变形为（）2222A. x 16 B. x 16 C. x 29 D. x 2911.下列方程适合用分解因式解法解的是（）A . x2-3 72x+2=0 B . 2x2=x+4 C . （x-1 ） （x+2） =7

45、0 D , x2-11x-10=02_12. 关于x的万程（a 6）x8x 60有实数根，则整数 a的最大值是（）A.6B.7C.8D.913. 已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是（）A. ±5B.5C.4 D.不能确定14. (x 2)2 25 0 (直接开平方法)215. (x 2)10(x 2) 25 0 (因式分解法)2 _ _ _一 、 .16. x 6x 18 0 (配方法)17.解方程:9 (x-1 ) 2=4 (x+1) 218.解方程：2y 2-7y-4=019 .解方程：(x+3)(x - 1)=5.、-x2- 2 720 .解方程

46、：x- -= x4221 .已知关于x的一元二次方程 x2 4x k22k 3 0的一个根为0,求k的值和方程的另外一个根x2 3x 4 一22 .若分式x一丝J4的值为零，求x的值.|x 3| 1无论x取什么实数，它的值一定大23 .对于二次三项式x2-10x+36，小颖同学作出如下结论: 于零。你是否同意她的说法？说明你的理由 x 124 .已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程 -=3的解相同x 1(1)求k的值;(2)求方程x2+kx-2=0的另一个解.第三节公式法解一元二次方程【知识要点】1.一元二次方程的解法：公式法一元二次方程 ax2 bc c 0(a 0)求根公式x

47、bb4ac (b2 4ac 0)。它对2a2 一于任何一个一兀二次万程都适用，其中也包括不完全的一兀二次万程。如：5x 6x ,化成一般式5x2 6x 0,得a 5,b6,c 0利用求根公式来求出方程的根.2 .公式法的运用及其思想方法公式法对所有的一元二次方程都适用，形如ax2 bx c 0(abc 0)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)或公式法来解 .3 . 一元二次方程根的判别式22我们把b 4ac叫做ax bx c 0(a的根的判别式，用符号来表示。对于一元二2次万程ax bx c 0(a,其根的情况与判别式的关系是：当b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2 4ac

48、 0时，方程有两个相等的实数根；2当 b 4ac 0时，方程没有实数根.特别的：当b2 4ac 0时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。即当方程有两个实数根时，b2 4ac 0；当方程有两个相等的实数根时，b2 4ac 0；当方程没有实数根时，b2 4ac 0；4 . 一元二次方程的根的判别式的应用不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式b2 4ac的值，最后根据的符号来确定根的情况；根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，数(含字母)是否为零进行讨论；证明一元二次方程根的情况，可先把原方程化为一