概率论随机变量的函数及其分布学习教案

1、会计学1概率论随机变量的函数概率论随机变量的函数(hnsh)及其分布及其分布第一页，共40页。).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 记作记作的函数的函数变量变量为随机为随机则称随机变量则称随机变量的值的值的值而取的值而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题(wnt)?)(的分布的分布分布求得随机变量分布求得随机变量的的量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XfYX 第1页/共39页第二页，共40页。 Y 的可能(knng)值为 ;2,1,0,)1(2222 即 0, 1, 4.解000

2、2 XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律为的分布律为设设XYX Xp2101 41414141第2页/共39页第三页，共40页。)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故 Y 的分布(fnb)律为Yp410412141由此归纳出离散(lsn)型随机变量函数的分布的求法.第3页/共39页第四页，共40页。离散(lsn)型随机变量的函数的分布的的分分布布律律为为若若也也是是离离散散型型随随机机变变量量其其函函数数是是离离散散型型随随机机变变量量如如果果XXfYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(

3、XfY .,)(合合并并应应将将相相应应的的中中有有值值相相同同的的若若kkpxf)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21第4页/共39页第五页，共40页。解Xkp211 616263 设.52的分布律的分布律求求 XYXkp211 61626352 XY4 4 1 +Y 的分布(fnb)律为Yp4 1 2121第5页/共39页第六页，共40页。,是是连连续续型型随随机机变变量量设设 X)(XfY 1. 分布(fnb)函数法)(:yFY先求先求).()(:yFypYY 再求再求例3.82., 0, 40,8)(的的概概率率密密度度求求随随机机变变量量其其它它的的概概率率密密度

4、度为为设设随随机机变变量量 XYxxxpXX第6页/共39页第七页，共40页。1 先求Y=2X+8 的分布(fnb)函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解xxpyXd)(28 28 yXP)()(yFypYY 2 由分布(fnb)函数求概率密度.d)(28 xxpyX )28)(28(yypX21)28( ypX第7页/共39页第八页，共40页。 ., 0, 4280,21)28(81其它其它yy ., 0,168,328其它其它yy21)28()( ypypXY ., 0, 40,8)(其其它它xxxpX第8页/共39页第九页，共40页。的定义域，的定义域，是是的反函数的反函数是是

5、其中其中)(),( ,)()(11yfxfyf 其其他他，其其概概率率密密度度为为是是连连续续型型随随机机变变量量则则或或恒恒有有且且恒恒有有可可导导上上在在又又设设函函数数其其中中的的具具有有概概率率密密度度设设随随机机变变量量0, )()()(,)(),0)(0)(,),()(.),(11 yyfyfpypXfYxfxfbaxfxxpXXYX定理(dngl)(例2.18) 时时当当时时当当0)(, )(0)(, )( )(111xfyfxfyfyf第9页/共39页第十页，共40页。证, 0)( xf若若单单调调增增加加，且且其其反反函函数数则则)(xfy .),()(1上上单单调调增增加加

6、在在 yfx 时，时，当当 y; 0)( yYPyFY时，时，当当 y; 1)( yYPyFY. 0d)(d)( yyFypYY时，时，当当 y)(yYPyFY 第10页/共39页第十一页，共40页。yYPYP )(yYPyFY 0yYP 于是(ysh)(1yfXP )(1d)(yfXxxp)()( yyYPyFY第11页/共39页第十二页，共40页。 )(1d)()(yfXYxxpyF)( yyyFypYYd)(d)( ydd d)()(1 yfXxxp )()(11 yfyfpX.0)(的的情情形形可可作作类类似似的的证证明明对对于于 xf时，时，当当 y第12页/共39页第十三页，共40

7、页。证X 的概率密度为.,)()( xexpxX22221,)(baxxfy 设设,)(1abyyfx 得得.01 )(1 ayf知知.)(, ),(也服从正态分布也服从正态分布性函数性函数的线的线试证明试证明设随机变量设随机变量02 abaXYXNX第13页/共39页第十四页，共40页。222)(211abyea .,2122)(2)( yeaaaby.),(1)( abyabypaypXY的的概概率率密密度度为为得得baXY )( ,(2abaNbaXY 得得 )()()(11 yfyfpypXY由公式由公式第14页/共39页第十五页，共40页。.),1 , 0(的分布密度的分布密度求求设

8、设XeYUX 解)1 , 0(UX的的分分布布密密度度为为X )1 , 0(, 0)1 , 0(, 1)(xxxpX方法(fngf)1 (公式法)上可导，单调增加上可导，单调增加在在),( xey,ln)(1yyfx yyf1 )(1 第15页/共39页第十六页，共40页。 )(ypY 其他其他，00, )()(11yyfyfpX 其他其他, 01)(0, )(111yfyf 其他其他, 01ln0,11yy 其他其他, 01,1eyy第16页/共39页第十七页，共40页。方法2 (分布(fnb)函数法)(yYPyFY yePX 0,ln0),(yyXPyP 0,)(0, 0lnydxxpyy

9、X yXdxxpyln)(0时，时，当当 1ln,)(1ln0,)(0ln, 01lnydxxpydxxpyXyX第17页/共39页第十八页，共40页。 1ln,)(1ln0,)(0ln, 010ln0ydxxpydxxpyXyX 1ln,11ln0,10ln,010ln0ydxydxyy eyeyyy, 11,ln1,0第18页/共39页第十九页，共40页。 )(yFY eyeyyyy, 11,ln10, 00, 0dyydFypYY)()( 从从而而 其他其他, 01,1eyy第19页/共39页第二十页，共40页。.),2,2(,sin的概率密度的概率密度试求电压试求电压且有且有是一个随机

10、变量是一个随机变量相角相角常数常数是一个已知的正是一个已知的正其中其中设电压设电压VUAAV 解上恒有上恒有在在因为因为)2,2(sin)( Afv, 0cos)( Af),(,arcsin)(1AAvAvvf 所以反函数为所以反函数为,1 )(221vAvf 第20页/共39页第二十一页，共40页。的概率密度为的概率密度为知知又由又由 ),2,2( U ., 0,22,1)(其它其它 p的概率密度为的概率密度为由定理得由定理得AVsin 其他其他，0, )()()(11AyAvfvfpvpV ., 0,11)(22其他其他AvAvAvpV 第21页/共39页第二十二页，共40页。,. 1,

11、110,2, 0, 0)( yyyyYFYY的分布函数为的分布函数为故故.)(,)(,)(,1)(也也不不是是离离散散型型随随机机变变量量故故不不是是阶阶梯梯函函数数又又因因为为随随机机变变量量不不是是连连续续型型故故处处间间断断在在因因为为XfYyFXfYyyFYY第22页/共39页第二十三页，共40页。：求求下下列列函函数数的的分分布布密密度度设设),1 , 0( NX.)2(;)1(2XYXY 分析(fnx)内不单调，内不单调，在在),(2 xy处处不不可可导导，在在0 xxy.故不能直接用定理故不能直接用定理解)()1(yYPyFY 2yXP 0,0),(yyXPyP第23页/共39页

12、第二十四页，共40页。 0,0, 0yyXyPy 0),()(0, 0yyyy 0, 1)(20, 0yyy )(yFY即即 0, 1)(20, 0yyy第24页/共39页第二十五页，共40页。dyydFypYY)()( 0,1)(20, 0yyy 0,21)(20, 0yyyy 0),(10, 0yyyy 第25页/共39页第二十六页，共40页。 0,2110, 02)(2yeyyy 0,210,02yeyyy )(ypY即即 0,210,02yeyyy 第26页/共39页第二十七页，共40页。)()2(yYPyFY yXP 0,0),(yyXyPyP 0, 1)(20, 0yyydyydF

13、ypYY)()( 0),(20, 0yyy 0),(20, 0yyy 0,2120, 022yeyy 第27页/共39页第二十八页，共40页。.10)()(上服从均匀分布上服从均匀分布，在在明：明：单调的连续函数，试证单调的连续函数，试证是严格是严格分布函数分布函数设随机变量设随机变量XFYxFX 证是是分分布布函函数数)(xF单单调调不不减减且且)(, 1)(0 xFxF 严严格格单单调调增增加加又又知知依依题题意意，)(xF,Ry 故故)(yYPyFY )(yXFP 第28页/共39页第二十九页，共40页。 1, 110),(0, 01yyyFXPy)(yYPyFY )(yXFP 1),(

14、10,)(0),(yPyyXFPyP 1, 110),(0, 01yyyFFy 1, 110,0, 0yyyy第29页/共39页第三十页，共40页。 )()( yFypYY 其他其他, 010, 1y. 10)(上上的的均均匀匀分分布布，服服从从即即XFY 第30页/共39页第三十一页，共40页。1. 离散型随机变量的函数(hnsh)的分布)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XfY 的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXfYX.)(,Xkpkxxx21kppp21第3

15、1页/共39页第三十二页，共40页。2. 连续型随机变量(su j bin lin)的函数的分布方法2 . , )()()(其其它它011yyfyfpypXY注意条件.方法(fngf)1.)()()()()()(的的密密度度函函数数求求导导得得到到再再对对YyFxdxxpyXfPyYPyFYyxfXY 第32页/共39页第三十三页，共40页。?)(,)(型型的的又又怎怎样样是是连连续续若若也也是是离离散散型型随随机机变变量量吗吗则则是是离离散散型型随随机机变变量量若若是是连连续续函函数数设设XXfYXxf .,.,量量不一定是连续型随机变不一定是连续型随机变那末那末续型随机变量续型随机变量是连

16、是连若若是离散型随机变量是离散型随机变量因此因此列无限多个列无限多个的取值也是有限个或可的取值也是有限个或可因此因此或可列无限多个或可列无限多个它的取值是有限个它的取值是有限个是离散型随机变量是离散型随机变量若若YXYYX答第33页/共39页第三十四页，共40页。概率密度为概率密度为上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设,)2 , 0(X例如例如 .,)(其他其他02021xxp,)( 21110 xxxxfy又设连续函数又设连续函数:)()(可以计算出来可以计算出来的分布函数的分布函数则则yFXfYY 第34页/共39页第三十五页，共40页。; 0)(,0 yYPyFyY时时当当; 1)(,1

17、 yYPyFyY时时当当)()(,yXfPyYPyFyY 时时当当10.dd)(221yxxxpyy ,1 , 0的取值为的取值为由于由于Y所以(suy)第35页/共39页第三十六页，共40页。)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求随机变量求随机变量的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYXYxexxxpXxX解,2分布函数分布函数先求随机变量先求随机变量XY )0(时时当当 y第36页/共39页第三十七页，共40页。.d)(d)(xxpxxpyXyX )()(yFypYY )()(yypyypXXyeyyy210)(212)(3 . 0, 0, 0,2yyyey再由分布(fnb)函数求概率密度. . 0, 0, 0)(23xexxxpxX第37页/共39页第三十八页，共40页。当 Y=2X+3 时,有32 xy,23 yxd)()()(23 yXyYxxpyFyp . 3, 0, 3,)23()23(