2018年挑战中考数学压轴题.doc

1、第 1 页 共 75 页第一部分函数图象中点的存在性问题 11 因动点产生的相似三角形问题 12 因动点产生的等腰三角形问题 13 因动点产生的直角三角形问题 14 因动点产生的平行四边形问题15 因动点产生的面积问题 16 因动点产生的相切问题 17 因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题 21 由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题 31 代数计算及通过代数计算进行说理问题 32 几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转 41 图形的平移42 图形的翻折43 图形的旋转44 三角形 45 四边形 46 圆 47 函数的图象及性

2、质 11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件， 因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据， 一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知ad，探求abc 与 def 相似，只要把夹a 和d 的两边表示出来，按照对应边成比例，分abdeacdf和abdfacde两种情况列方程第 2 页 共 75 页应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角， 再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解

3、方程（组）还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似， 如果一组锐角相等， 其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的， 那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长， 要用到两点间的距离公式， 而这个公式容易记错 理解记忆比较好如图 1，如果已知 a、b 两点的坐标，怎样求a、b 两点间的距离呢？我们以 ab 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 ab 的长了水平距离bc 的长就是 a、b 两点间的水平距离，等于 a、b 两点的横坐标相减；竖直距离ac 就是 a、b 两点间的竖直距离，等于a、b 两点的纵坐标相减图 1 图 1 图 2 例 1 湖南省衡阳市

4、中考第28 题二次函数 yax2bxc （a 0） 的图象与 x 轴交于 a(3, 0)、 b(1, 0)两点，与 y 轴交于点 c(0,3m)（m0） ，顶点为 d （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）；（2）如图 1，当 m2 时，点 p 为第三象限内抛物线上的一个动点，设第 3 页 共 75 页apc 的面积为 s， 试求出 s 与点 p 的横坐标 x 之间的函数关系式及s 的最大值；（3）如图 2，当 m 取何值时，以 a、d、c 三点为顶点的三角形与 obc相似？动感体验请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28” ，拖动点 p 运动，可以体验到，当点 p 运动到

5、ac 的中点的正下方时，apc 的面积最大拖动 y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，acd 和 adc 都可以成为直角思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 op， apc 可以割补为：aop 与 cop 的和，再减去aoc 3讨论acd 与 obc 相似，先确定acd 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 acd 存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与 x 轴交于 a(3, 0)、b(1, 0)两点，设 ya(x3)(x1)代入点 c(0,3m)，得 3m3a解得 am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx 3m（2

6、）如图 3，连结 op当 m2 时，c(0,6)，y2x24x6，那么 p(x, 2x24x6)由于 s aop1()2poay32(2x24x6)3x26x9， s cop1()2pocx3x，s aoc9，所以 ss apcs aops cops aoc3x29x23273()24x所以当32x时，s 取得最大值，最大值为274第 4 页 共 75 页图 3 图 4 图 5 图 6 （3）如图 4，过点 d 作 y 轴的垂线，垂足为e过点 a 作 x 轴的垂线交de 于 f由 ym(x3)(x1)m(x1)24m， 得 d(1,4m) 在 rt obc 中，oboc13m如果 adc 与

7、obc 相似，那么adc 是直角三角形， 而且两条直角边的比为 13m如图 4，当acd90时，oaoceced所以331mm解得 m1此时3caoccded，3ocob所以caoccdob所以cda obc如图 5，当adc 90时，fafdedec所以421mm解得22m此时22 2dafddcecm，而3 232ocmob因此dca 与 obc 不相似综上所述，当 m1 时， cda obc考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 p 作 x 轴的垂线与 ac 交于点 h由直线 ac：y2x6，可得 h(x,2x6)又因为 p(x, 2x24x6)，所以hp2x26x因为pah

8、与 pch 有公共底边 hp，高的和为 a、c 两点间第 5 页 共 75 页的水平距离 3，所以ss apcs aphs cph32(2x26x)23273()24x例 2 2014 年湖南省益阳市中考第21 题如图 1，在直角梯形 abcd 中，ab/ cd，adab，b60， ab10，bc4，点 p 沿线段 ab 从点 a 向点 b运动，设 apx2 1 c n j y（1）求 ad 的长；（2）点 p 在运动过程中， 是否存在以 a、p、d 为顶点的三角形与以p、c、b 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；图1 （3）设adp 与 pcb 的外接圆的面积分

9、别为s1、s2，若 ss1s2，求 s 的最小值 . 动感体验请打开几何画板文件名“ 14 益阳 21” ，拖动点 p 在 ab 上运动，可以体验到，圆心 o 的运动轨迹是线段bc 的垂直平分线上的一条线段观察s 随点 p运动的图象，可以看到， s 有最小值，此时点 p 看上去象是 ab 的中点，其实离得很近而已思路点拨 1第（ 2）题先确定pcb 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（ 3）题理解pcb 的外接圆的圆心o 很关键，圆心o 在确定的 bc的垂直平分线上，同时又在不确定的bp 的垂直平分线上而bp 与 ap 是相关的，这样就可以以ap 为自变量，求 s 的函数关系式图文解析

10、（1）如图 2，作 chab 于 h，那么 adch在 rt bch 中， b60，bc4， 所以 bh2， ch2 3 所以 ad2 3第 6 页 共 75 页（2）因为 apd 是直角三角形，如果apd 与 pcb 相似，那么pcb 一定是直角三角形如图3，当cpb90时， ap1028所以apad82 3433，而pcpb3此时apd 与 pcb 不相似图 2 图 3 图 4 如图 4，当bcp90时， bp2bc8所以 ap2所以apad22 333所以apd60 此时 apd cbp综上所述，当 x2 时，apd cbp （3）如图 5，设adp 的外接圆的圆心为 g，那么点 g 是

11、斜边 dp 的中点设pcb 的外接圆的圆心为o，那么点o 在 bc 边的垂直平分线上，设这条直线与bc 交于点 e，与 ab 交于点 f设ap2m作 om bp 于 m，那么 bmpm 5m在 rt bef中，be2， b60 ，所以bf4在 rt ofm 中，fmbfbm 4(5m )m 1， ofm 30，所以om 3(1)3m所以 ob2bm2om2221(5)(1)3mm在 rt adp 中，dp2ad2ap2124m2所以 gp23m2于是 ss1s2 (gp2ob2)22213(5)(1)3mmm2(73285)3mm所以当167m时，s 取得最小值，最小值为1137第 7 页 共

12、 75 页图 5 图 6 考点伸展关于第（ 3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设 ap2m 呢？这是因为线段abappmbm ap2bm10这样 bm 5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求s 的最小值问题 2，如果圆心 o 在线段 ef的延长线上， s 关于 m 的解析式是什么？如图 6，圆心 o 在线段 ef的延长线上时， 不同的是 fmbm bf(5m)41m此时 ob2bm2om2221(5)(1)3mm这并不影响 s 关于 m 的解析式例 3 2015 年湖南省湘西市中考第26 题如图 1，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 a、b 两点，抛物线 yx2bxc 经过

13、 a、b 两点，点 p 在线段 oa 上，从 点 o 出发，向点 a 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点q 在线段ab 上，从点 a 出发，向点 b 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结 pq，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式；（2）问：当 t 为何值时，apq 为直角三角形；（3）过点 p 作 pe/ y 轴，交 ab 于点 e，过点 q 作 qf/ y 轴，交抛物线于点 f，第 8 页 共 75 页连结 ef，当 ef/ pq 时，求点 f 的坐标；（4）设抛物线顶点为m，连结 bp、bm 、mq ，问：是否存在 t 的值，使以 b、q、m 为顶点的三角形与以o、b、p

14、为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“ 15 湘西 26” ，拖动点 p 在 oa 上运动，可以体验到， apq 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 epqf 有一个时刻可以成为平行四边形，mbq 与 bop 有一次机会相似思路点拨1在 apq 中，a45，夹 a 的两条边 ap、aq 都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形apq2先用含 t 的式子表示点 p、q 的坐标，进而表示点 e、f 的坐标，根据 peqf 列方程就好了 3 mbq 与 bop 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由 y

15、x3，得 a(3, 0)，b(0, 3) 将 a(3, 0) 、 b(0, 3)分别代入 yx2bxc， 得9 30 ,3.bcc解得2,3.bc所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在apq 中，paq45， ap3t，aq2t分两种情况讨论直角三角形 apq：当pqa90时， ap2aq解方程 3t2t，得 t1（如图 2） 当qpa90时， aq2ap解方程2t2(3t)，得 t1.5（如图 3） 第 9 页 共 75 页图 2 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，因为 pe/ qf，当 ef/ pq 时，四边形 epqf 是平行四边形所以 epfq所以 yeypyfyq因为 xpt

16、，xq3t，所以 ye3t，yqt，yf(3t)22(3t)3t24t因为 yeypyfyq，解方程 3t(t24t)t，得 t1，或 t3（舍去） 所以点 f 的坐标为 (2, 3) （4）由 yx22x3(x1)24，得 m (1, 4) 由a(3, 0) 、b(0, 3) ，可知 a、b两点间的水平距离、竖直距离相等，ab32由b(0, 3) 、m(1, 4) ，可知 b、m 两点间的水平距离、竖直距离相等，bm 2所以mbq bop90 因此 mbq 与 bop相似存在两种可能：当bmobbqop时，233 22tt解得94t（如图 5） 当bmopbqob时，233 22tt整理，得

17、 t23t30此方程无实根考点伸展第 （3）题也可以用坐标平移的方法：由 p(t, 0)，e(t, 3t)，q(3 t, t)，按照 pe方向，将点 q 向上平移，得 f(3t, 3)再将 f(3t, 3)代入 yx22x3，得 t1，或 t3 12 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：第 10 页 共 75 页1已知线段 ab5 厘米，以线段 ab 为腰的等腰三角形abc 有多少个？顶点c 的轨迹是什么？ 2已知线段 ab6 厘米，以线段ab 为底边的等腰三角形abc 有多少个？顶点c 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点c已知底边

18、画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果 abc 是等腰三角形，那么存在abac，babc， cacb三种情况解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果 abc 的 a（的余弦值）是确定的，夹 a 的两边 ab 和 ac 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果 abac，直接列方程；如图 2，如果 babc，那么1cos2acaba；如图 3，如果 cacb，那么1cos2abaca代数法一般也分三步：

19、罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来第 11 页 共 75 页图 1 图 2 图 3 图 1 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题如图 1，抛物线 yax2bx c（a、b、c 是常数， a 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)和1(,)16a两点，点 p 在该抛物线上运动，以点p 为圆心的 p 总经过定点 a(0, 2) （1）求 a、b、c 的值； （2）求证：在点 p 运动的过程中， p 始终与 x 轴相交；（3）设 p 与 x 轴相交于 m

20、(x1, 0)、n(x2, 0)两点，当amn 为等腰三角形时，求圆心 p 的纵坐标动感体验请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ，拖动圆心 p 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形amn 存在五种情况思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来p 在 x 轴上截得的弦长 mn 4是定值2等腰三角形 amn 存在五种情况， 点 p 的纵坐标有三个值， 根据对称性，ma mn 和 na nm 时，点 p 的纵坐标是相等的图文解析（ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0)，所以 yax2所以 b0，c0将1(,)16a代入 yax2，得2116a解得14a（舍去了负值）（2）抛

21、物线的解析式为214yx，设点 p 的坐标为21( ,)4xx已知 a(0, 2)，所以222411(2)4416paxxx214x而圆心 p 到 x 轴的距离为214x，所以半径 pa圆心 p 到 x 轴的距离所以在点 p 运动的过程中， p 始终与 x 轴相交第 12 页 共 75 页（3）如图 2，设 mn 的中点为 h，那么 ph 垂直平分 mn 在 rt pmh 中，2241416pmpax，22411()416phxx，所以 mh24所以 mh 2因此 mn 4，为定值等腰amn 存在三种情况：如图3，当 am an 时，点 p 为原点 o 重合，此时点 p 的纵坐标为 0图 2

22、图 3 图 4 图 5 如图 4， 当 ma mn 时， 在 rt aom 中，oa2， am 4， 所以 om 23此 时xoh 232所 以点p的纵坐标为22211(232)( 31)42 344x如图 5，当 na nm 时，根据对称性，点p 的纵坐标为也为42 3如图 6，当 na nm 4 时，在 rt aon 中，oa2，an 4，所以 on 23此 时xoh232所 以点p的纵坐标为22211(232)(31)42 344x如图 7，当 mn ma 4 时，根据对称性，点p 的纵坐标也为42 3第 13 页 共 75 页图 6 图 7 考点伸展如果点 p 在抛物线214yx上运动

23、， 以点 p 为圆心的 p 总经过定点 b(0, 1)，那么在点 p 运动的过程中， p 始终与直线 y1 相切这是因为：设点p的坐标为21( ,)4xx已知b(0, 1)，所以222222111(1)(1)1444pbxxxx而圆心 p 到直线 y1 的距离也为2114x， 所以半径 pb圆心 p 到直线 y1 的距离所以在点p 运动的过程中， p 始终与直线 y1 相切例 10 2014 年湖南省张家界市中考第25 题如图 1， 在平面直角坐标系中， o 为坐标原点，抛物线 yax2bxc（a 0）过 o、b、c 三点，b、c 坐标分别为 (10, 0) 和1824(,)55，以 ob 为

24、直径的 a 经过 c 点，直线 l 垂直 x 轴于 b 点 （1）求直线 bc 的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点 m 是a 上一动点（不同于o、b） ，过点 m 作a 的切线，交 y轴于点 e，交直线 l 于点 f，设线段 me 长为 m，mf 长为 n，请猜想 mn 的值，并证明你的结论；（4）若点 p 从 o 出发，以每秒 1 个单位的速度向点b 作直线运动，点 q 同时从 b 出发，以相同速度向点c 作直线运动，经过t（0t 8）秒时恰好使bpq 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界 25” ，拖动点 m 在圆上运动，

25、可以第 14 页 共 75 页体验到，eaf 保持直角三角形的形状， am 是斜边上的高拖动点q 在 bc 上运动，可以体验到， bpq 有三个时刻可以成为等腰三角形思路点拨 1从直线 bc 的解析式可以得到 obc 的三角比，为讨论等腰三角形bpq 作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结 ae、af 容易看到 am 是直角三角形 eaf 斜边上的高4第（ 4）题的pbq 中， b 是确定的，夹b 的两条边可以用含t 的式子表示 分三种情况讨论等腰三角形图文解析（ 1）直线 bc 的解析式为31542yx （2）因为抛物线与 x 轴交于 o、b(10, 0) 两点，设 yax

26、(x10) 代入点 c1824(,)55，得241832()555a解得524a所以2255255125(10)(5)2424122424yx xxxx抛物线的顶点为125(5,)24 （3）如图 2，因为 ef 切a 于 m ，所以am ef由 aeae，aoam ，可得 rt aoe rt ame 所以1 2同理34于是可得eaf90 所以5 1由 tan 5tan 1，得mamemfma所以 me mf ma2，即 mn 25 图 2 （4）在 bpq 中，cos b45，bp10t，bqt分三种情况讨论等腰三角形 bpq：如图 3，当 bpbq 时，10tt解得 t5如图 4， 当 p

27、bpq 时，1cos2bqbpb 解方程14(10)25tt， 得8013t第 15 页 共 75 页 如图 5， 当 qbqp 时，1cos2bpbqb 解方程14(10)25tt， 得5013t图 3 图 4 图 5 图 6 考点伸展在第（ 3）题条件下，以ef为直径的 g 与 x 轴相切于点 a如图 6，这是因为 ag 既是直角三角形 eaf 斜边上的中线，也是直角梯形eobf 的中位线，因此圆心 g 到 x 轴的距离等于圆的半径， 所以 g 与 x 轴相切于点 a例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第26 题在平面直角坐标系中，抛物线yx2(mn)xmn （m n）与 x 轴相交于

28、a、b 两点（点 a 位于点 b 的右侧），与 y 轴相交于点 c（1）若 m 2，n1，求 a、b 两点的坐标；（2）若 a、b 两点分别位于 y 轴的两侧， c 点坐标是 (0,1)，求acb 的大小；（3）若 m2， abc 是等腰三角形，求n 的值动感体验请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 26” ，点击屏幕左下方的按钮（2） ，拖动点 a 在 x 轴正半轴上运动， 可以体验到， abc 保持直角三角形的形状 点击屏幕左下方的按钮 （3） ，拖动点 b 在 x 轴上运动，观察abc 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形abc 有 4 种情况思路点拨1抛物线的解析式可

29、以化为交点式，用m ，n 表示点 a、b、c 的坐标第 16 页 共 75 页2第（ 2）题判定直角三角形abc，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（ 3）题讨论等腰三角形abc，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（ 1）由 yx2(mn)xmn (xm)(xn)，且 m n，点 a 位于点 b 的右侧，可知 a(m , 0)，b(n, 0)若 m 2，n1，那么 a(2, 0)，b(1, 0)（2）如图 1，由于 c(0, mn )，当点 c 的坐标是 (0,1)，mn 1，oc1若a、b 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 oa obm(n)mn 1所以 oc2

30、oa ob所以ocoboaoc所以 tan 1tan 2所以12又因为1 与3 互余，所以2 与3 互余所以acb90（ 3）在 abc 中，已知 a(2, 0) ，b(n, 0)，c(0, 2 n)讨论等腰三角形 abc，用代数法解比较方便： 由两点间的距离公式， 得 ab2(n2)2，bc25n2，ac244n2当 abac 时，解方程 (n2)244n2，得43n（如图 2）当 cacb 时，解方程 44n25n2，得 n2（如图 3），或 n2（a、b 重合，舍去）当 babc 时，解方程 (n2)25n2，得512n（如图 4），或512n（如图 5）第 17 页 共 75 页图 1

31、 图 2 图 3 图 4 图 5 考点伸展第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于 c(0, mn )，当点 c 的坐标是 (0,1)，mn 1由 a(m, 0)，b(n, 0)，c(0,1)，得 ab2(m n)2m22mn n2m2n22，bc2n21，ac2m21所以 ab2bc2ac2于是得到 rt abc， acb90第（3）题在讨论等腰三角形abc 时，对于 cacb 的情况，此时 a、b两点关于 y 轴对称，可以直接写出b(2, 0) ，n2例 12 2014 年湖南省娄底市中考第27 题如图 1，在 abc 中，acb90， ac4cm ，bc3cm 如果点 p 由点 b

32、 出发沿 ba 方向向点 a 匀速运动，同时点q 由点 a 出发沿 ac 方向向点 c 匀速运动，它们的速度均为1cm/s 连结 pq，设运动时间为 t（s） （0t4） ，解答下列问题：（1）设apq 的面积为 s，当 t 为何值时， s 取得最大值？ s 的最大值是多少？（ 2）如图 2，连结 pc，将 pqc 沿 qc 翻折，得到四边形pqp c，当四边形 pqp c 为菱形时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，apq 是等腰三角形？第 18 页 共 75 页图 1 图 2 图 3 图 4 动感体验请打开几何画板文件名“ 14 娄底 27” ，拖动点 q 在 ac 上运动，可以体验

33、到，当点p 运动到 ab 的中点时，apq 的面积最大，等腰三角形apq存在三种情况还可以体验到，当qc2hc 时，四边形 pqp c 是菱形思路点拨 1 在 apq 中， a 是确定的，夹a 的两条边可以用含t 的式子表示2四边形 pqp c 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析（ 1）在 rt abc 中，ac4，bc3，所以 ab5，sina35，cosa45作 qdab 于 d，那么 qdaq sin a35t所以 ss apq12ap qd13(5)25tt23(5 )10tt23515() +1028t当52t时，s 取得最大值，最大值为158（2）设 pp与

34、ac 交于点 h，那么 pp qc，ahapcosa4(5)5t如果四边形 pqp c 为菱形，那么 pqpc所以 qc2hc解方程4424(5)5tt，得2013t （3）等腰三角形 apq 存在三种情况：如图 5，当 apaq 时，5tt解得52t如图 6，当 papq 时，第 19 页 共 75 页1cos2aqapa解方程14(5)25tt，得4013t如图 7，当 qaqp 时，1cos2apaqa解方程14(5)25tt得2513t图 5 图 6 图 7图 8 考点伸展在本题情境下，如果点q 是 pp c 的重心，求 t 的值如图 8，如果点q 是 pp c 的重心，那么 qc23

35、hc解方程2444(5)35tt，得6023t例 13 2015 年湖南省怀化市中考第22 题如图 1，已知 rt abc 中， c90， ac8，bc6，点 p 以每秒 1 个单位的速度从 a 向 c 运动，同时点 q 以每秒 2 个单位的速度从 abc 方向运动，它们到 c 点后都停止运动，设点p、q 运动的时间为 t 秒 （1）在运动过程中，求 p、q 两点间距离的最大值；（2）经过 t 秒的运动，求abc 被直线 pq 扫过的面积 s 与时间 t 的函数关系式；（3）p，q 两点在运动过程中，是否存在时间t，使得pqc 为等腰三角形若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由 （24

36、.25，结果保留一位小数）动感体验请打开几何画板文件名“15 怀化 22” ，拖动点 p 在 ac 上运动，可以第 20 页 共 75 页体验到， pq 与 bd 保持平行，等腰三角形pqc 存在三种情况思路点拨 1过点 b 作 qp 的平行线交 ac 于 d，那么 bd 的长就是 pq 的最大值2线段 pq 扫过的面积 s 要分两种情况讨论，点q 分别在 ab、bc 上3等腰三角形 pqc 分三种情况讨论，先罗列三边长图文解析（1）在 rt abc 中，ac8，bc6，所以 ab10如图 2， 当点 q 在 ab 上时， 作 bd/ pq 交 ac 于点 d， 那么22abaqtadapt所

37、以 ad5所以 cd3如图 3，当点 q 在 bc 上时，16228cqtcpt又因为623cbcd，所以cqcbcpcd因此 pq/ bd所以 pq 的最大值就是bd在 rt bcd 中， bc6， cd3， 所以 bd3 5 所以 pq 的最大值是3 5图 1 图 2 图 3 图 4 （2）如图 2，当点 q 在 ab 上时， 0t 5，s abd15由 aqp abd，得2()aqpabdsapsad所以 ss aqp215( )5t235t如图 3，当点 q 在 bc 上时， 5t 8，s abc24因为 s cqp12cq cp1(162 )(8)2tt2(8)t，第 21 页 共

38、75 页所以 ss abcs cqp24(t8)2t216t40（3）如图 3，当点 q在bc上时， cq2cp，c90，所以 pqc不可能成为等腰三角形 当点q在ab上时，我们先用 t表示 pqc的三边长：易知cp8t如图2，由qp/ bd，得qpapbdad，即53 5qpt所以355qpt如图4，作qhac于h在rt aqh 中，qh aq sin a65t，ah85t在rt cqh中，由勾股定理，得 cq22qhch2268()(8)55tt分三种情况讨论等腰三角形pqc： （1）当pcpq时，解方程3 585tt，得6510t3.4（如图5所示） 当qcqp时，226835()(8)

39、555ttt整理，得2111283200tt所以(11t40)( t8)0解得4011t 3.6（如图 6所示），或 t8（舍去）当cpcq时，22688()(8)55ttt整理，得25160tt解得165t3.2（如图 7所示），或 t0（舍去）综上所述，当 t的值约为 3.4，3.6，或等于 3.2时， pqc是等腰三角形图 5 图 6 图 7 图 8 图 9 第 22 页 共 75 页考点伸展第（ 1）题求 p、q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图 8，当点 q在ab上时， pq22qhph2268()()55ttt3 55t当q与b重合时， pq最大，此时 t5，pq

40、的最大值为3 5如图 9，当点 q在bc上时，pq22cqcp22(2)cpcp5(8) t当q与b重合时， pq最大，此时 t5，pq的最大值为3 5综上所述， pq的最大值为3 5 13 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题： 1已知线段 ab，以线段 ab 为直角边的直角三角形 abc 有多少个？顶点 c 的轨迹是什么？ 2已知线段 ab，以线段 ab 为斜边的直角三角形 abc 有多少个？顶点 c 的轨迹是什么？3已知点 a(4,0)，如果oab 是等腰直角三角形，求符合条件的点b 的坐标图 1 图 2 图 3 图 4 如图 1，点 c 在垂线上，垂足除外如图2，点 c

41、在以 ab 为直径的圆上，a、b 两点除外如图 3，以 oa 为边画两个正方形，除了o、a 两点以外的顶点和正方形对角线的交点， 都是符合题意的点b，共 6 个解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下， 按照直角顶点或者斜边分类， 然后按照三角比或勾股定理列方第 23 页 共 75 页程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形， 这样列比例方程比较简便 如图 4，

42、已知 a(3, 0)，b(1,4)，如果直角三角形abc 的顶点 c 在 y 轴上，求点 c 的坐标我们可以用几何的方法， 作 ab 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点c如果作 bdy 轴于 d，那么aoc cdb设 ocm ，那么341mm这个方程有两个解，分别对应图中圆与y 轴的两个交点例 19 2015 年湖南省益阳市中考第21 题如图 1，已知抛物线 e1：yx2经过点 a(1,m )，以原点为顶点的抛物线e2经过点 b(2,2) ，点 a、b 关于 y 轴的对称点分别为点a、 b（1）求 m 的值及抛物线 e2所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线e1上是

43、否存在点 q，使得以点 q、b、b为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，p 为第一象限内的抛物线e1上与点 a 不重合的一点，连结op 并延长与抛物线 e2相交于点 p，求paa与p bb的面积之比第 24 页 共 75 页图 1 图 2 图 3 图 4 动感体验请打开几何画板文件名“15 益阳 21” ，拖动点 p 在抛物线 e1上运动，可以体验到，点 p 始终是线段 op的中点还可以体验到，直角三角形 qbb有两个思路点拨 1判断点 p 是线段 op的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点 p、p的坐标 2分别求线段 aa

44、bb，点 p 到 aa的距离点p到 bb的距离，就可以比较 paa与p bb的面积之比图文解析（ 1）当 x1 时，yx21，所以 a(1, 1) ，m1设抛物线 e2的表达式为 yax2， 代入点 b(2,2) ， 可得 a12 所以 y12x2（2）点 q 在第一象限内的抛物线e1上，直角三角形qbb存在两种情况：如图 3，过点 b 作 bb的垂线交抛物线e1于 q，那么 q(2, 4) 如图 4，以 bb为直径的圆d 与抛物线 e1交于点 q，那么 qd12bb2设 q(x, x2)， 因为 d(0, 2)， 根据 qd24 列方程 x2(x22)24 解得 x3 此时 q(3,3)第

45、25 页 共 75 页（3） 如图 5，因为点 p、 p分别在抛物线e1、 e2上，设 p(b, b2)， p (c, 212c)因为 o、p、p三点在同一条直线上，所以ppmnomon，即2212cbbc所以 c2b所以 p (2b, 2b2)如图 6，由 a(1, 1)、b(2,2) ，可得 aa 2，bb 4由 a(1, 1) 、p(b, b2)，可得点 p 到直线 aa的距离 pm b21由 b(2,2) 、p (2b, 2b2)，可得点 p到直线 bb的距离 p n 2b22所以 paa与p bb的面积比 2(b21)4(2b22)14考点延伸第（ 2）中当bqb 90时，求点q(x

46、, x2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得 bq2b q2b b2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作 qhb b 于 h，那么 qh2b h bh所以(x22)2(x2) (2 x)图5 图6图1 图2 例 20 2015 年湖南省湘潭市中考第26 题如图 1， 二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 a(1, 0)、 b(3, 0)两点，与 y 轴交于点 c，连结 bc动点 p 以每秒 1 个单位长度的速度从点a 向点 b 运动，动点 q 以每秒2个单位长度的速度从点b 向点 c 运动，p、q 两点同时出发，连结 pq，当点 q 到达点 c 时

47、，p、q 两点同时停止运动设运动的时间为t 秒 （1）求二次函数的解析式；第 26 页 共 75 页（2）如图 1，当 bpq 为直角三角形时，求t 的值；（3）如图 2，当 t2 时，延长 qp 交 y 轴于点 m ，在抛物线上是否存在一点 n，使得 pq 的中点恰为 mn 的中点，若存在，求出点n 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由动感体验请打开几何画板文件名“15 湘潭 26” ，拖动点 p 在 ab 上运动，可以体验到，bpq 有两次机会可以成为直角三角形还可以体验到，点n 有一次机会可以落在抛物线上思路点拨 1分两种情况讨论等腰直角三角形bpq2如果 pq 的中点恰为 mn 的

48、中点，那么 mq np，以 mq 、np 为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程图文解析（ 1）因为抛物线 yx2bx c 与 x 轴交于 a(1, 0) 、b(3, 0) 两点，所以y(x1)(x3)x22x3 （2）由 a(1, 0)、b(3, 0)、c(0,3)，可得ab4，abc45在 bpq 中，b45， bp4t，bq2t直角三角形 bpq 存在两种情况：当bpq90时， bq2bp解方程2t2(4t)，得 t2（如图3） 当bqp90时， bp2bq解方程 4t2t，得 t43（如图 4） 第 27 页 共 75 页图 3 图 4 图5 （3）如图 5

49、，设 pq 的中点为 g，当点 g 恰为 mn 的中点时， mq np作 qey 轴于 e， 作 nfx 轴于 f， 作 qh x 轴于 h， 那么 mqe npf由已知条件， 可得 p(t1, 0)，q(3t,t)由 qepf，可得 xqxnxp，即 3txn(t1) 解得 xn2 将 x2 代入 y(x1)(x3)， 得 y3 所以 n(2,3)由 qh/ nf， 得q hp hn fp f， 即( 3) (1 )32 (1 )tttt 整理，得 t29t120 解得9332t因为 t2，所以取9332t考点伸展第（ 3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)122pqgxxttx所以x

50、n2xg2 14 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题：1已知 a、b、c 三点，以 a、b、c、d 为顶点的平行四边形有几个， 怎么画？ 2 在坐标平面内，如何理解平行四边形abcd的对边 ab 与 dc 平行且相等？ 3在坐标平面内，如何理解平行四边形abcd的对角线互相平分？第 28 页 共 75 页图 1 图 2 图 3 图4 如图 1，过 abc 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点 d如图 2，已知 a(0, 3) ，b(2, 0) ，c(3, 1) ，如果四边形 abcd 是平行四边形，怎样求点 d 的坐标呢？点 b 先向右平移 2 个单位，再向

51、上平移3 个单位与点 a 重合，因为 ba 与 cd 平行且相等，所以点c(3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点 d(5, 4) 如图 3，如果平行四边形abcd 的对角线交于点 g，那么过点 g 画任意一条直线（一般与坐标轴垂直） ，点 a、c 到这条直线的距离相等，点b、d 到这条直线的距离相等关系式 xaxcxbxd和 yaycybyd有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图4，点 a 是抛物线 yx22x3 在x 轴上方的一个动点， abx 轴于点 b，线段 ab 交直线 yx1 于点 c，那么点 a 的坐标可以表示为 (x,x22x3)

52、，点 c 的坐标可以表示为 (x, x1)，线段 ab 的长可以用点 a 的纵坐标表示为abyax22x3，线段 ac 的长可以用 a、c 两点的纵坐标表示为 acyayc(x22x3)(x1)x2x2通俗地说，第 29 页 共 75 页数形结合就是： 点在图象上， 可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离例 24 2014 年湖南省岳阳市中考第24 题如图 1，抛物线经过 a(1, 0) 、b(5, 0) 、c10(0,)3三点设点 e(x, y)是抛物线上一动点，且在 x 轴下方，四边形 oebf 是以 ob 为对角线的平行四边形 （1）求抛物线的解析式；（2）当点

53、e(x, y)运动时，试求平行四边形oebf 的面积 s 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 s 的最大值（3）是否存在这样的点e，使平行四边形 oebf为正方形？若存在，求点e、f 的坐标；若不存在，请说明理由动感体验请打开几何画板文件名“14 岳阳 24” ，拖动点 e 运动，可以体验到，当点 e 运动到抛物线的顶点时， s 最大当点 e运动到 ob 的垂直平分线上时，四边形 oebf 恰好是正方形思路点拨1平行四边形 oebf 的面积等于oeb 面积的 2 倍2第（3）题探究正方形 oebf，先确定点 e 在 ob 的垂直平分线上，再验证 eoeb图文解析（ 1）因为抛物线与x 轴交于

54、 a(1, 0)、b(5, 0)两点，设 ya(x1)(x5)代入点 c10(0,)3，得1053a解得23a所以抛物线的解析式为22210(1)(5)4333yxxxx （2） 因为 ss平行四边形 oebf2s obeob (ye) 第 30 页 共 75 页22105(4)33xx210(65)3xx21040(3)33x所以当 x3 时，s 取得最大值，最大值为403此时点 e 是抛物线的顶点（如图2） （3）如果平行四边形 oebf 是正方形，那么点 e 在 ob 的垂直平分线上，且eoeb当 x5222355(1)(5)()33222yxx此时 e55(,)22如图 3，设 ef与

55、 ob 交于点d，恰好 ob2de所以oeb 是等腰直角三角形所以平行四边形oebf 是正方形所以当平行四边形oebf 是正方形时， e55(,)22、f5 5(,)2 2图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 考点伸展既然第（ 3）题正方形 oebf 是存在的，命题人为什么不让探究矩形oebf 有几个呢？如图 4，如果平行四边形 oebf 为矩形，那么oeb90根据 eh2ho hb，列方程22(1)(5)(5)3xxxx或者由 de12ob52，根据 de2254，列方程225225()(1)(5)234xxx这两个方程整理以后都是一元三次方程 4x328x253x200，这个方程对于初中

56、毕业的水平是不好解的事实上，这个方程可以因式分解，51(4)()()022xxx 如图 3， x52；如图 4，x4；如图 5，x12，但此时点 e 在 x 轴上方了这个方程我们也可第 31 页 共 75 页以用待定系数法解：设方程的三个根是52、m、n，那么 4x328x253x2054()()()2xxmxn根据恒等式对应项的系数相等，得方程组441028,1010453,1020.mnmnmnmn解得4,1.2mn例 25 2014 年湖南省益阳市中考第20 题如图 1，直线 y3x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 a、b，抛物线 ya(x2)2k 经过 a、b 两点，并与 x 轴交于另

57、一点 c，其顶点为 p （1）求 a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点q，使abq 是以 ab 为底边的等腰三角形，求点 q 的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点m 、n，使以 a、c、m 、n 为顶点的四边形为正方形， 求此正方形的边长】图文解析（1）由 y3x3，得 a(1, 0)，b(0, 3) 将 a(1, 0) 、b(0, 3) 分别代入 ya(x2)2k，得0,43.akak解得 a1，k1（2）如图 2，抛物线的对称轴为直线x2，设点 q 的坐标为 (2, m )已知 a(1, 0)、b(0, 3) ，根据 qa2qb2，列方程 12m222(m3)2解得 m2 所以

58、q(2, 2)（3） 点 a(1, 0) 关于直线 x2 的对称点为 c(3, 0)，ac2如图 3，如果 ac 为正方形的边，那么点m 、n 都不在抛物线或对称轴上如图 4，当 ac 为正方形的对角线时， m、n 中恰好有一个点是抛物线的顶第 32 页 共 75 页点(2,1) 因为对角线 ac2，所以正方形的边长为2图 1 图 2 图 3 图4 考点伸展如果把第 （3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点m 有几个？如果 ac 为对角线，上面的正方形amcn 是符合条件的， m (2,1)如图 5，如果 ac 为边，那么 mn / ac，mn ac2所以点 m 的横坐标为 4 或

59、0此时点 m 的坐标为 (4, 3)或(0, 3)第（2）题如果没有限制等腰三角形abq的底边，那么符合条件的点q 有几个？如图 2，当 qaqb 时，q(2, 2)如图 6，当 bqba10时，以 b 为圆心，ba 为半径的圆与直线x2 有两个交点 根据 bq210， 列方程 22(m3)210， 得36m 此时 q(2,36)或(2,36)如图 7，当 aqab 时，以 a 为圆心， ab 为半径的圆与直线x2 有两个交点，但是点 (2,3)与 a、b 三点共线，所以 q(2, 3) 第 33 页 共 75 页图 5 图 6 图 7 例 26 2014 年湖南省邵阳市中考第25 题准备一张

60、矩形纸片（如图1），按如图 2 操作：将abe 沿 be 翻折，使点 a 落在对角线 bd 上的点 m， 将 cdf 沿df 翻折， 使点 c落在对角线 bd 上的点 n（1）求证：四边形 bfde 是平行四边形；（ 2）若四边形 bfde 是菱形， ab2，求菱形 bfde 的面积动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 25” ，拖动点 d 可以改变矩形 abcd的形状，可以体验到，当em 与 fn 在同一条直线上时，四边形bfde 是菱形，此时矩形的直角被三等分 思路点拨 1平行四边形的定义和4 个判定定理都可以证明四边形 bfde 是平行四边形 2如果平行四边形bfde 是菱形，那么对