连续系统的复频域分析

1、 引言引言第一节第一节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第二节第二节 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质第三节第三节 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第四节第四节 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析第五节第五节 系统模拟与系统函数系统模拟与系统函数第四章第四章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析 引言引言l 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。解为众多不同频率的虚指数分量之和。l 应用傅里叶变换的应用傅里叶变换的局限性局限性 有些信号非绝对可积时，有些信号非绝对可积时，傅里叶变换就不存在傅里叶变换就不存在；

2、 傅里叶反变换傅里叶反变换是复变函数的广义积分，是复变函数的广义积分，难以计算，难以计算，甚至求不甚至求不出；出； 用傅里叶变换可求用傅里叶变换可求yzs(t)，但，但求不出求不出yzi (t)。 l 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信号，为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。l 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域域分析分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第一节第一节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换

3、 从傅里叶变换到双边拉普拉斯变换从傅里叶变换到双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换l 加入收敛因子加入收敛因子 ,使使 满足上述条件。满足上述条件。一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 dttf)(te dtetft )(l f (t)满足绝对可积条件满足绝对可积条件 傅里叶变换存在；傅里叶变换存在； tetf )(因此：因此： 的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。tetf )()j(F)()(b)( 记为记为dtetfdtetfetjtjt jjsjdjddsjs 积积分分限限令令)(jjstbt sbdse

4、sFjtfttfsF)(21)(de )()( tetf )(的傅里叶变换：的傅里叶变换：根据傅里叶反变换，有：根据傅里叶反变换，有：dejFetftjbt)(21)(两边同乘以两边同乘以 有：有：te dejFtftjb)()(21)(定义：双边拉普拉斯变换拉普拉斯变换tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或的双边拉氏变换（或象函数象函数），），f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或的双边拉氏逆变换（或原函数原函数）。）。 二、单边拉普拉斯变换二、单边拉普拉斯变换 0defde)()(ttfsF

5、st)(de)(j21)(jjdeftssFtfst 简记为简记为或或 )()(tfsFL )()(1sFtf L)()(sFtf 对于实际因果信号，在对于实际因果信号，在t 时，其拉氏变时，其拉氏变换存在。换存在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界eelimelimj)()(ttttst因因 三、常见函数的拉普拉斯变换三、常见函数的拉普拉斯变换1)()()(00 dttdtettst L1、冲激信号、冲激信号1)(t 2、阶跃信号、阶跃信号st1)( sesdtedtettststst11)()(000 L常见信号的拉氏变换对常见信号的拉氏变换对3 3、单边指

6、数函数信号、单边指数函数信号)( tet sesdtedteetetstssttt11 )(0)(0)(0L stet1)( 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 线性性质线性性质 延时性质延时性质 时域微分性质时域微分性质 时域积分性质时域积分性质 时域卷积定理时域卷积定理一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 例例20200000001121de)(21decos)(cos)(

7、21cos0000 ssjsjsteetttteetsttjtjsttjtjL)()cos()(0tttf线性性质举例线性性质举例例：（例：（P139例例4-2-1）求单边余弦函数求单边余弦函数的象函数。的象函数。解：解：二、延时性质二、延时性质若若f(t) F(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 ,则则f(t-t0) (t-t0) e-st0F(s) , Res 0 注意：注意：)()()()()()(0000tttfttttftttf 而而非非后后所所得得信信号号为为延延时时因因果果信信号号证证明明例例1 1例例2 2例例3 3时移特性举例时移特性举例1例例1:（P140例

8、例4-2-3）设设T0，求，求(t-T)(t-T)，(t-T)(t-T)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换。解：解：stt1)(, 1)(sTsTesTteTt1)(,)(时移特性举例时移特性举例2例例1:（P141例例4-2-4）求如图信号的单求如图信号的单边拉氏变换。边拉氏变换。解：（解：（1）)()()()(sTsTTesessTttTtg11112线性线性+时移时移（2）)1 ()1()1(sin)()sin()1()()sin()(222222ssesessttttttttf时移特性举例时移特性举例3例例3:（P141例例4-2-5）求在求在t=0-时接入的周期性单位时接入的周期性单位冲激

9、序列的的象函数。冲激序列的的象函数。 0)(nnTt 解：解： )()()()(0nTtTttnTtn nTsTsenTteTtt )(,)(, 1)( 0Re111)(0 seeenTtTsnTsTsn 三、时域微分性质（微分定理）三、时域微分性质（微分定理）若若f(t) F(s) , Res 0, 则则f (t) sF(s) f(0-) )0()0()( )0(0)(2 fsfsFsffssFstf 10)(1)()0()()(nrrrnnnfssFstf推广：推广：证证明明例例1 1 若若f (t)为因果信号，为因果信号， f(t) 及其各阶导数在及其各阶导数在t=0-时为零，时为零，上

10、式简化为：上式简化为：)()()(sFstfnn例例2 2时域微分特性举例1例例1:（P142例例4-2-6）求图示信号求图示信号 及其他们一级导数的拉氏变换。及其他们一级导数的拉氏变换。 )(),(21tftf解：（解：（1）)()()()()(ssesesssFtttf1111111)()()(sessFsF1112 由于单边拉氏变换积分由于单边拉氏变换积分是从是从0-开始的，故有：开始的，故有：（2）一级导数的拉氏变换）一级导数的拉氏变换)()()()(setttf111或或)()()()()()(sseessssFfssFtf11101111setttf)()()(112或或ssees

11、sfssFtf1110222)()()()(单边单边时域微分特性举例2例例2:（P143例例4-2-7）求：求： 的象函数：的象函数： )()(cos)(11ttdtdtf解：解：22sstt)()cos(由延时特性：由延时特性：sesstt2211)()(cos由微分特性：由微分特性：ssessesssttdtd2222211)()(cos四、时域积分性质（积分定理）四、时域积分性质（积分定理） sfssFfsFtft)0()(d)()()(1 ，则，则若若证证明明推广：推广：)0(1)(1)()()()(11)( mmnnmnntnfssFstfdxxf 若若f (t)为因果信号，显然为因

12、果信号，显然f(t) 及其积分在及其积分在t=0-时时为零为零，上式简化为：，上式简化为：)(1)()()()(sFstfdxxfnntn 例例2 2例例1 1例例3 3例例4 4时域积分特性举例1例例1(P144例例4-2-8)：求三角形脉冲的象函数。求三角形脉冲的象函数。400424212021tttttttf,),(,)(解：解：2242)1 (211211121)(sssesesesstff(t)是因果信号，根据积分特性有：是因果信号，根据积分特性有：)()()()(421221ttttf222221211211)()()(ssesesssF时域积分特性举例2例例2(P145例例4-2

13、-9)：求图示信号的象函数。求图示信号的象函数。1011ttttf)(解：解：)()(11011ttttf而：而：st11 )(单边单边111010dd)(211111ssssssF)(根据积分特性有：根据积分特性有：时域积分特性举例3例例3(P145例例4-2-10)：求图示信号的象函数。求图示信号的象函数。seseessttttfsss)()()()()(1111111解：解：根据积分特性有：根据积分特性有：211111sessesssFss)()()(解：解： )(d)(0ttxxt ttttxxxxx0220)(21d)(d)( 例例4：(P146例例4-2-11)：利用阶跃函数的积分

14、求利用阶跃函数的积分求tn(t)的象的象函数。函数。时域积分特性举例4 ttttxxxxx03230)(231d)(21d)( )(!1d)(0ttnxxnnt 11!)(111)(!1 nnnnnsnttsssttn 五、五、时域卷积定理时域卷积定理若因果函数若因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 时域卷积定理时域卷积定理证证明明例例2 2例例1 1解：解：因因卷积定理举例1例例1：(P147例例4-2-11) 求图示因果信号的象函数。求图示因果信号的象函数。)()()(tftftf21

15、21111sessFtfs)()()(sesFtf1122)()()()()()()()(ssssesesesessFsFsF11111112221所以所以卷积定理举例2)()()(thtfty)()()()()()(sFsYsHsHsFsY解：解：LTI系统零状态响应系统零状态响应yzs(t) 卷积定理举例2例例2：(P148例例4-2-12)已知某已知某LTI系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)=e-3t(t)，求输入，求输入f(t)=(t)- (t-1) 时的零状态响时的零状态响应像函数应像函数Yzs(s)。)()()(thtftyzs 根据卷积定理有根据卷积定理有: )()()()()

16、()()()()()()()()()()()(31311131111113ssesessHsFsYssHtethesesssFtttfsHsFsYsszstsszs第三节第三节 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 引言引言 查表法查表法 部分分式展开法部分分式展开法 综合举例综合举例 引言引言1、拉普拉斯反变换：、拉普拉斯反变换：象函数求原函数的方法象函数求原函数的方法 jjsttstdsesFjtfttfsF 0,)(21)(de )()( -0 2、直接利用定义式求反变换：、直接利用定义式求反变换：复变函数中留数定理求复变函数中留数定理求原函数。原函数。3、通常的方法、通常的方法 :（1）查表）

17、查表 （2）部分分式展开（）部分分式展开（3）利用性质）利用性质 结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm 若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF 4、有理真分式、有理真分式例例例：假分式情况例：假分式情况23795)(223 ssssssF作长除法作长除法: 2 3s 462772 2379523 2223232 ssssssssss

18、sss2332)()()(21 sssssFsPsF 由于由于L- 11= (t)， L-1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 本节主要讨论有理真分式的情形。本节主要讨论有理真分式的情形。5、零、极点的概念、零、极点的概念 若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm )()()()()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsAsBsF 分解分解零点零点极点极点0)(0)(sFs

19、B因为 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsBzzzzm,0,321 的极点称为的根是sFsAppppn,0,321)(0)(sFsA因为例例1:（P150例例4-3-1）求求 的原函数的原函数f(t)。一、查表法根据表根据表4-4-1，由查表法求原函数。，由查表法求原函数。 2) 3(1)(ssF解：解： 对照表对照表4-4-1， 6式，其中式，其中=2。因此有：因此有：)()() 3(1)(32ttetfssFt例例2:（P150例例4-3-2）求求 的原函数的原函数f(t)。10233)(2 ssssF解：解：2223)1()1(310233)( ssssssF对照表对照表4-1-1，

20、11式，其中式，其中=1，0 0=3。因此有：。因此有：)()3cos(3)(ttetft 利用利用: 即可得到原函数即可得到原函数二、部分分式展开法1 1、第一种情况：第一种情况：单单极点情况（实、虚、复）极点情况（实、虚、复） ,321npppp)()()()(21npspspssBsF nnpsKpsKpsK 2211ipsiisFpsK )()()(e1tpstpii 例例1 1)()()(lim)()(sAsBsssFssKissssiiii 可为不同的实根、虚跟、复根可为不同的实根、虚跟、复根例例2 2例例3 3例例4 4单阶实极点举例单阶实极点举例1 1例例1:（P152例例4-

21、3-3）求求 的原函数的原函数f(t)。)2)(1(4)(sssssF解：解：21)2)(1(4)(321sKsKsKsssssF因此有：因此有：)()32()(21132)(1)2)(1(4)2(3)2)(1(4)1(2)2)(1(42231201teetfssssFsssssKsssssKsssssKttsss 假分式举例假分式举例2 2例例3:（P152例例4-3-4）求求 的原函数的原函数f(t)。231723)(223ssssssF解：利用长除法，将假分式改为多项式与真分式之和：解：利用长除法，将假分式改为多项式与真分式之和：因此有：因此有：17)2)(1(2320)2(3)2)(1

22、(2320) 1(2211ssssssKssssK232320113231723)(2223ssssssssssF)2() 1()2)(1(2320232320212sKsKssssss)(17)(3)(11)(3)(21713113)(2tetetttfssssFtt例例3:（P153例例4-3-5）求求 的原函数的原函数f(t)。sessssF22345)(解：令：解：令：因此有：因此有：单阶实极点举例单阶实极点举例3 31) 3)(1(5) 3(2) 3)(1(5) 1(3211ssssssKssssK31345)(2121sKsKssssF)2()2(2)()()(2)(3112)()

23、2(3)2(311tetetftetetfsssFtttt时延特性：时延特性：共轭极点举例共轭极点举例4 4例例4:（P153例例4-3-6）求求 的原函数的原函数f(t)。222)(2 ssssFjsKjsKssssF 11222)(212解：解：因此有：因此有：)()4cos(2)(cossin)()211211()(12111211222)(211222)()(211222)()()1()1(21111211111ttetttetejjejjtfjsjjjsjjssssFjjsspApBKjjsspApBKtttjtjjsjs 2、第二种情况：有重根存在 设设F(s)在在s=s1处有处有

24、r重根，即重根，即s1=s2=sr,而其余而其余(n-r)个根为单根：个根为单根： 111112111)()()()()(psKpsKpsKsAsBsFrrr考虑：考虑： riirirrrpsKpsKpsKpsKsF11111111121111)()()()(其中的系数可由下式求得：其中的系数可由下式求得：1)()()!1(11111psriiisFpsdsdiK 利用利用 )(!1)(1111tetnsstsnn ritsiritUetirKtf111)()!()(1因此有：因此有： ritsiritetirKtf111)()!()(1 例例1 1例例2 2例例1:（P156例例4-3-7）

25、求求 的原函数的原函数f(t)。2)2)(1(87)(sssssF重根情况举例重根情况举例1 112)2()2)(1(87)(43122112sKsKsKsKsssssF解：解：)() 13(2()()(2)()(3)(11221)2(3)(1)2)(1(87) 1()() 1(2)2)(1(87)(1)2)(1(87)2( )()2( 3)2)(1(87)2()()2(2222121402032222212222211teettettettetfsssssFssssssFsKsssssssFKsssssdsdsFsdsdKssssssFsKtttttsssssss例例2:（P156例例4-3

26、-8）求求 的原函数的原函数f(t)。)4(8)(22sssF重根情况举例重根情况举例2 221)1()1()2()1(3)(4132123113 sKsKsKsKssssF解：解：)()2sin(2)()2sin()(2)(422)4(8)(2222ttttttttfsssssF第四节第四节 复频域分析复频域分析 拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程 拉氏变换法分析电路拉氏变换法分析电路拉普拉斯变换拉普拉斯变换的线性性质、时域微分性质与时域的线性性质、时域微分性质与时域卷积性质，可使线性微分方程变为复频域的线性卷积性质，可使线性微分方程变为复频域的线性代数方程；代数方程；拉普拉斯变换拉普

27、拉斯变换将系统的初始状态自然反映在象函将系统的初始状态自然反映在象函数中，所以用数中，所以用s s域分析法可直接求解全响应。域分析法可直接求解全响应。一、拉氏变换求解微分方程一、拉氏变换求解微分方程 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjjiitfbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用拉普拉斯变换微分特性用拉普拉斯变换微分特性)0()()()(101)( pippiiiyssYsty若若f (t)在在t = 0时接入系统，则时接入系统，则 f (j)(t) s j

28、 F(s) niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sYsYsFsAsBsAsMsYzszi s域的代数域的代数方程方程由上式可得由上式可得:式中式中: )0()(,)(,)(10)(1000 ipppiniimjjjniiiysasMsbsBsasA对上式取逆变换，有对上式取逆变换，有)()()(tytytyzszi 例例1 1例例2 2例例3 3变换解举变换解举例例1例例1:（ P158例例4-4-1 ） 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t)

29、+ 6 f (t)已知输入已知输入f(t)=(t)，初始状态，初始状态y(0-)=2，y(0-)=1。求系统。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：解： 方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)()23()3(2)23()0(3)0()0()()()()()3(2)0(3)0()0()()23()(6)(2)(2)0()( 3)0()0()(2222sFsssssyysysYsYsYsFsyysysYsssFssFsYyssYysysYszszi)()23()()()()()43()()()35()(211431)23(

30、)3(2)(2315)23(72)(22222teetytytyteetyteetyssssssssYssssssYttzszittzsttzizszi 举举例例2例例2:（ P159例例4-4-2 ）描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y (t)+ 6y(t) + 11y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6f (t)+6 f (t)求系统的冲激响应。求系统的冲激响应。解：解：令零状态响应象函数为令零状态响应象函数为Yzs(s)，取，取L变换变换（初始状态为零）（初始状态为零）) 3(3)2(2) 1(1) 3)(2)(1(6626116662)()()(2232ss

31、ssssssssssssFsYsHzs)()32()(32teeethttt冲激响应：冲激响应：)(6)(6)(2)(6)(11)(6)(223sFssFsFssYssYsYssYszszszszs系统函数为系统函数为例例3:（ P159例例4-4-3）已知当输入已知当输入f (t)= e-t (t)时，某时，某LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 yzs(t) = (3e-t - -4e-2t + e-3t) (t)求该系统的冲激响应求该系统的冲激响应h(t)。解：解： 举举例例3)()24()(3224)3)(2()4(2)()()()3)(2)(1()4(2312413)(11

32、)(32teethssssssFsYsHssssssssYssFttzszs 先求出先求出H(s), 再求再求h(t)二、拉氏变换法分析电路二、拉氏变换法分析电路 由拉氏变换的线性特性有由拉氏变换的线性特性有KCL： i(t)=0 I(s)=0KVL： u(t)=0 U(s)=0两点说明：两点说明： 通过电路的通过电路的s s域模型，可直接求解响应的变域模型，可直接求解响应的变换式，而不必通过微分方程；换式，而不必通过微分方程；1 1、电阻元件的、电阻元件的s s域模型域模型i(t)u(t)RI(s)U(s)RU(s)= R I(s)u(t)= R i(t)电阻元件的s域模型2、电感元件的、电

33、感元件的s域模型域模型ttiLtuLd)(d)( U(s)= sLIL(s) LiL(0-) sisUsLsILL)0()(1)(Lu(t)iL(t)电感元件的电感元件的s域模型域模型3、电容元件的、电容元件的s域模型域模型ttuCtiCd)(d)(I(s)=sCUC(s) CuC(0-) susIsCsUCC)0()(1)(Ci(t)uC(t)电容元件的电容元件的s域模型域模型4、求响应的步骤、求响应的步骤 求求0-初始状态；初始状态； 画出画出0+后后s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）； 解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换U(s

34、)或或I(s)； 拉氏反变换求拉氏反变换求u(t)或或i(t)。例例1 1例例2 2例例3 3例例4 4例例5 5例例1:（ P163例例4-4-4）如图电如图电路，已知路，已知us(t)=10(t)V，L=0.5H，C=1F，R1=1/5， R2=1。求。求零状态响应零状态响应if(t)。 电路的电路的s域模型域模型举举例例1解：（解：（1）求输入信号的象函数。）求输入信号的象函数。ssUttuss1010)()()(（2）画出）画出S域电路模型（如右）域电路模型（如右）（3）求响应象函数）求响应象函数480330431205015121110112sssssssssCRsLRsUsIsf)

35、(/)(/)()()(（4）求拉氏逆变换）求拉氏逆变换)()()(teetittf438030例例2:（类似（类似 P163例例4-4-5）如图电路，已知如图电路，已知us(t)=12V，L=1H，C=1F，R1=3， R2=2， R3=1。原电路已。原电路已处于稳定状态，当处于稳定状态，当t=0时，开时，开关关S闭合，求闭合，求S闭合后闭合后R3两端两端电压的零输入响应电压的零输入响应yzi(t)和零和零状态响应状态响应yzs(t)。 电路的电路的s域模型域模型举举例例2 解：解： 第一步：求出第一步：求出0-时初始状态。时初始状态。VuRRRRRuARRRuiscsL6)0(2)0(321

36、32321 第二步：画出第二步：画出0+后后S域电路模型域电路模型时域电路时域电路0+后后s域模型域模型susCRsLsURsLLisYRsLsCRcsL)0()()0()()11(1113 第三步：列第三步：列S域方程域方程（节点节点a KCL方程：方程： I(s)=0 ）)(13sYR)()0()(11sULisYRsLsL )0()(susYsCc 0 整理得：整理得：第四步：解第四步：解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换23)2(6312441)(441)(26)2(844206)()(44144206)(3)(632)()311(2222222 sssssssUs

37、ssYssssssYsUssssssYssUssYssszsziss代入代入L、C、R及初始状态数据：及初始状态数据：FCHLRRRVuAicL1113236)0(2)0(21 )()36(3)()()68()(22tettytettytzstzi 第五步：拉氏逆变换，求出时域响应第五步：拉氏逆变换，求出时域响应susCRsLsURsLLisYRsLsCRcsL)0()()0()()11(1113 例例3:（ P165例例4-4-6）如图电如图电路，以路，以us(t)为输入，为输入， if(t)为输出。为输出。求电路冲激响应求电路冲激响应h(t)。 电路的电路的s域模型域模型举举例例3解：画出

38、解：画出S域电路模型（如右），并域电路模型（如右），并设节点电压为设节点电压为Ua(s)。列节点方程：。列节点方程：)()()()()().(sUsssssUssUsUsssasa432501152而：而：)()()()()()()()()()()()()()()().(teetthsssssssHsUssssssUsUsIssUsUssttsasfsa43223295432395431254312550115电路的电路的s域模型域模型举举例例4例例4:（ P166例例4-4-8）已知系统函数已知系统函数并知并知y(0-)=0，y(0-)=1，输入，输入 f(t)=e-2t(t) 。求系统全响

39、应。求系统全响应y(t)。 )()(311sssH)()()()()()()(sFsYsssssssFsYsHff3434131122解：（解：（1）得到微分方程）得到微分方程所以对应微分方程为：所以对应微分方程为：)()()()(tftytyty 34（2）零输入响应为：）零输入响应为：)()()()(,)()()()(teetyyytytytyttzi3211000034 （3）零状态响应为：）零状态响应为：)()()()()()()(teeetysssssssHsFsYtttzszs322121312121112131121（3）全响应为：）全响应为：)()()()()()()()()(

40、teeteeeteetytytytttttttzszi2323212121电路的电路的s域模型域模型举举例例5例例5:（ P167例例4-4-9）已知阶跃响应已知阶跃响应欲使系统的零状态响应为欲使系统的零状态响应为输入信号输入信号f(t)。 )()()(tetgt212222122211ssssssGsHssHsGsssssG)()()()()()()(解：（解：（1）求系统函数）求系统函数H(s)（2）求零状态响应象函数：）求零状态响应象函数：（3）零状态响应为：）零状态响应为：（4）求输入信号象函数及输入信号：）求输入信号象函数及输入信号：)()()(tteetyttzs221)(22ss

41、222224212111)()()()()()(sssssssYtteetyzsttzs)().()(.)(/)()()()(tetfssssssssssHsYsFtzs2250125012242224第五节第五节 系统模拟与系统函数系统模拟与系统函数 系统模拟系统模拟 系统函数系统函数H(s) H(s)的零极点与时域特性的关系的零极点与时域特性的关系 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元域框图基本单元(零状态零状态)s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) =

42、 a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+例例1 1例例2 2例例3 3一、系统模拟一、系统模拟系统模拟系统模拟举举例例1例例1(P170例例4-5-1)：已知已知y”(t) + a1y(t)+ a2y(t) = f(t)，画时域框图和画时域框图和s域框图。域框图。解：解：将方程写为将方程写为 y”(t) = f(t) a1y(t) a2y(t)系统模拟系统模拟举举例例2例例2(P170例例4-5-2)：已知系统函数已知系统函数画画s域框图。域框图。解：解：123123ssssH)()()()()()()

43、()()()()()(sYssYsYssFsYssFsYsssssssFsYsH231231231232323例例3:（ P171例例4-5-3）描述描述LTI连续系统的时域框图如连续系统的时域框图如下所示。已知输入下所示。已知输入f(t)=(t)，求，求（1）冲激响应）冲激响应h(t)；（2）写出系统微分方程；）写出系统微分方程；（3）输入）输入f(t)=e-3t(t)时时零状态响应零状态响应yzs(t)。系统模拟系统模拟举举例例3X(s)s-1X(s)s-2X(s)s-1s-1F(s)Y(s)解解 ：画出：画出s域框图域框图, 设左边加法器输出为设左边加法器输出为X(s)，如图，如图X(s

44、) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) Y(s) = s-1X(s) -s-2X(s) )(2311)(21sFsssX )()(sFsssssY2121231)(sFsss2312（1）求）求h(t)()()()(teethssssssHtt22322312231（2）写出微分方程）写出微分方程)()()()()()()()()()()()()()()()()(tftftytytysFssFsYssYsYssFssYssssssFsYsH 2323123231222)()()()()()()(teeetyssssssssFsHsYssFtttzszs32223322311312

45、3131（3）输入输入f(t)=e-3t(t)时零状态响应时零状态响应yzs(t)二、系统函数二、系统函数H(s)描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjjiitfbtya00)()()()(两边取两边取拉普拉斯变换拉普拉斯变换nimjjjzsiisFsbsYsa00)()(系统函数系统函数H(s)定义为定义为 )()()()()(defsAsBsFsYsHzs 式中式中:mjjjniiisbsBsasA00)(,)(例例例例:（ P173例例4-5-4）如图电路如图电路u1(t)为输入，为输入，u2(t)为输出，为输出，求系统函数。求系统函数。系统函数系

46、统函数举举例例解解 ：画出：画出s域电路如图，域电路如图，列节点方程：列节点方程：0121)()()()()()()(sUssUsUsUsUsbaba求解得：求解得：131131131212212sssHsUsssUsUsUsssUbb)()()()()()(三、三、H(s)的零极点与时域特性的关系的零极点与时域特性的关系1、系统函数的零、极点分布图、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s或或z的有理分式，即的有理分式，即 A(s)=0的根的根p1，p2，pn称为系统函数称为系统函数H(.)的极点；的极点；B(s)=0的根的根 1， 2， m称为系统函数称

47、为系统函数H(.)的零点。的零点。 )()()(sAsBsH将零极点画在复平面上得将零极点画在复平面上得零、极点分布图。零、极点分布图。 例例解：解：j0(2)-1-2j-j例：试作出例：试作出的零极点分布图。的零极点分布图。)1()1()2(2)(22 ssssH零极点作图零极点作图举举例例2、系统函数、系统函数H(s)与时域响应与时域响应h(t) 已有：冲激响应已有：冲激响应 h(t)= L-1-1H(s) H(s)按其按其极点极点在在s平面上的位置可分为平面上的位置可分为:l 在左半开平面；在左半开平面；l 虚轴；虚轴；l 右半开平面。右半开平面。（a）极点位于实轴）极点位于实轴（单极点

48、（单极点pi0 ）pi0 ）Pi0，h(t)随随t而而)(teKpsKtpiiii （3） 极点在右半开平面极点在右半开平面（b）极点是一对共轭复数）极点是一对共轭复数)()cos()(22ttesst )()sin()(22ttest 或或)0( jh(t)随随t而而如图如图如图如图0 j极点与时域响应模式的关系（单极点）极点与时域响应模式的关系（单极点）返回返回1返回返回2返回返回3结论结论LTI连续系统的连续系统的h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)的极点确定。的极点确定。 H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当即当t时，响应

49、均趋于时，响应均趋于0。 H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。态分量。 H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。所对应的响应函数都是递增的。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于。 四、系统的因果性与稳定性四、系统的因果性与稳定性1、系统函数、系统函数H(s)与系统的因果性与系统的因果性 1）因果系统因果系统定义：定义： 系统的零状态响应系统的零状态响应yzs(.)不会出现于不会出现于f(.)之前的系统。之前的系统。 2）连续因果系统）连续因果系统的充分必要条件是：的充分必要条件是： 冲激响应冲激响应 h(t)=0,t0 2 2、系统的稳定性、系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应一个系统，若对任意的有界输入，