CH泰勒公式与极值问题PPT课件

1、1第第4 4节节一、高阶偏导数一、高阶偏导数二、中值定理与泰勒公式二、中值定理与泰勒公式泰勒公式与极值问题 第17章 三、极值问题三、极值问题 第1页/共65页2一、高阶偏导数一、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:第2页/共65页3类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为

2、第3页/共65页4例例1. 求函求函数数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 第4页/共65页5例如例如,二者不等第5页/共65页6例例2. 证明函数证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程第6页/共65页7则定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等第7页/共65页8证证: :令则则定理定理.令第

3、8页/共65页9同样同样在点连续,得第9页/共65页10为简便起见 , 引入记号例例3. 设设 f 具有二阶连续偏导数,求解解: 令则第10页/共65页11例例4: 已已知知解解:第11页/共65页12二、中值定理与泰勒公式二、中值定理与泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 第12页/共65页13记号记号(设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 表示表示第13页/共65页14定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .第14页/共65

4、页15证证: 令令则 利用多元复合函数求导法则可得: 第15页/共65页16一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 第16页/共65页17说明说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , 则有第17页/共65页18(2)式中若只要求的某一邻域内有直到 n 阶连续偏导数 ,便有第18页/共65页19(3) 当当 n = 0 时时, 得二元函数在得二元函数在凸域上凸域上的拉格朗日的拉格朗日中值公式中值公式:(4) 若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, 由中值公式可知在该区域上 见教材见教材P133-

5、TH17.8(中值定理中值定理),凸域概念介绍.并注意与并注意与P112比较比较第19页/共65页20例例1. 求函求函数数解解: 的三阶泰勒公式. 因此,第20页/共65页21其中第21页/共65页22xyo1x2x3x4x回顾一元函数极值概念及存在条件(必要,充分).三、极值问题三、极值问题 第22页/共65页23实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1 1元，外地牌子每瓶元，外地牌子每瓶进价元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖进价元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖

6、出 瓶本地牌子的果汁，瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁. .问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值. .问题的提出问题的提出第23页/共65页241、 多元函数的极值概念多元函数的极值概念 及必要条件及必要条件定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域

7、内有第24页/共65页25说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条必要条件件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 ,则有存在故第25页/共65页262、极值充分条件、极值充分条件定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数, 且若函数令则(1)当是正定矩阵时, f 在 P0具有极小值;(2)当是负定矩阵时, f 在 P0具有极大值;(3)当是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.第26页/共65页27证明:的的2 阶泰

8、勒公式阶泰勒公式令(1)是正定矩阵时,恒有对于是存在q0(P137注)使得第27页/共65页28从而对充分小的从而对充分小的,只要,就有所以f 在 P0具有极小值;(2)是负定矩阵时,同理可证.(3)当是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.(反证法)若f 在 P0取极值,不妨设取极大值,易知沿任意过P0直线第28页/共65页29在在 t=0 亦取极大值亦取极大值,故故而故是负半定矩阵.这与是不定矩阵矛盾!f 在 P0不取极值.第29页/共65页30时, 具有极值的某邻域内具有二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A 0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.

9、若函数定理定理2 (充分条件充分条件) 第30页/共65页31证证: 由二元函数的泰勒公式由二元函数的泰勒公式, 并注并注意意则有所以第31页/共65页32其中其中 , , 是当是当h 0 , k 0 时的无时的无穷小量穷小量 ,于是(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而z0 , 因此第32页/共65页33从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A0, 则 时, 有异号;同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 第33页/共65页34+若若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 ,此时 可见 z

10、 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当ACB2 0 时, 若 A0,则若 A0 ,则 B0 ,为零或非零第34页/共65页35此时因此 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 第35页/共65页36例例1.1.求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第36页/共65页37在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;第37页/共65页38例例2.讨论函讨论函数数及是否取得

11、极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为第38页/共65页393、最值应用问题、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值( (大大) )( (大大) )依据第39页/共65页40解解:如图如图, ,第40页/共65页41第41页/共65页42第42页/共65页43解解由由第43页/共65页44无条件极值无条件极值：对

12、自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. .第44页/共65页45例例5 5. .解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.第45页/共65页464.4.最小二乘最小二乘法法问题的提出问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf (x) .需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的

13、分布规律 根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求第46页/共65页47 偏差有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式经验公式 ., 它们大体 第47页/共65页48特别特别, 当数据点分布近似一条直线当数据点分布近似一条直线时时,问题为确定 a, b 令满足:使得解此线性方程组即得 a, b称为法方程组第48页/共65页49例例1.为了测定刀具的磨损速度,

14、每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解解: 通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7第49页/共65页50得法方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: 第50页/共65页51称为均方误差, 对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方

15、和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 第51页/共65页52例例2. 在研究某单分子化学反应速度时在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列得到下列数据数据:57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻 反应 物的量. 试根据上述数据定出经验公式解解:由化学反应速度的理论知, 经验公式应取其中k , m 为待定常数.对其取对数得(线性函数)(书中取的是常用对数)第52页/共65页53因此因此 a , b 应满足法方应满足法方程组程组: 经计算得 解得: 所求经验公式为其均方误差为第53页/共65页54观测数据