两个集合的容斥关系公式

1、两个集合的容斥关系公式：三个集合的容斥关系公式:详细推理如下：1、 等式右边改造 =AU B = A+B - A n B ( n :重合的部分)AU BU C = A+B+C - A n B - b n C - C n A + A n Bn C【(a+b - a n B)+c - b n c】-c n a + a n Bn c立氏图分块标记2、文氏图分块标记如右图图：1 2 4 5构成A,2 3 5 6构成B,4 5 6 7构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+ 2 + 3 +4 + 5 + 6六部分：那么AU BU C还缺部分7。4、等式右边【】号里+ C（4 + 5 + 6 + 7）后，

2、相当于 AU BU C多加了4 + 5 + 6三部分,减去Bn C （即5 +6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边里减去Cn A （即4 + 5两部分）后，AU BU C又多减了部分5,则加上 An Bn C （即5）刚好是 AU BU Co编辑本段容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文

3、得满分”称为“ B类元素”，“语、数都是满分 ”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学 ”称为 “ A类和B类元素个数”的总和。答案 15+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？100-（62+34-11）=15编辑本段容斥原理2如果被计数的事物有 A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和 =A类元素个数 + B类元素个数 +C类元素个数 一既是A类又是B类的元素个数 一既是A类又是C类的元素个数 一既是B类又是C类的元素个数 +既是A类又是B类而且

4、是 C类的元素个数。例2 某校六（1 ）班有学生 45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有 8人，问：三项都参加的有多少人？分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数12人为B类元素，参加游泳队的人数 24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是 B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为 X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总

5、人数既为A类B类和C类的总和。答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3例3 在1到1000的自然数中，能被 3或5整除的数共有多少个？不能被 3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成 A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被 重复计算的数，即 “既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算， 必须先求出所需条件。1000 - 3=3331,能被3整除的数有 333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求岀

6、其他的条件。例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于 1001=7 X 11 X 13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。解答：11001中，有7的倍数 1001/7 = 143 （ 个）；有11的倍数1001/11 = 91 （ 个）,有13的倍数 1001/13 =77 （ 个）；有 7´11=77 的倍数 1001/77 = 13 （ 个）,有 7´13=91 的倍数 1001/91 = 11 （ 个）,有 11´13=143 的倍数 1001/43 = 7

7、 （ 个）.有 1001 的倍数 1 个.由容斥原理知：在11001中，能被7或11或13整除的数有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（ 个）,从而不能被7、11或13整除的数有 1001-281=720（个）.也就是说，分母为1001的最简分数有720个.例5某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：跑泳掷跑游泳跑、投掷泳、投掷跑、游泳、投掷85求这个班的学生共有多少人？分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。试一试：一个班有42人，参加合唱

8、队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 分析很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算岀木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有 9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？解答不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14（相应于10，12，15等分），共计34个由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从 34中减1 .又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2，同样，6, 4的最小公倍数为12 ,由于这些相重点各不相同所以从