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文档简介

1、两异面直线间距离公式的简易证明1. 引言在解析几何教学中， 关于空间两异面直线的内容主要讨论两 个方面的问题，一个是讨论两异面直线的公垂线的方程1, 其中两异面直线的公垂线是指与两条异面直线都垂直相交的直 线，文献 4通过具体实例给出了空间两条异面直线公垂线方 程的几种求法 ; 另一个是讨论两异面直线间的距离，其中两直线 间的距离是指两直线上的点之间的最短距离 . 显然，两相交直线 和重合直线直线的距离为零， 两平行直线间的距离等于其中一直 线上的任意一点到另一直线的距离 . 这三种情况的距离是很容易 理解和计算的 . 两异面直线的距离在理解和计算方面相对比较 难.文献 1介绍了两异面直线间的

2、距离公式：已知两异面直线 l 和 l 的方程分别为：和记 A（ x， y， z）， =（m， n， p）， B（x， y， z）， =（m， n，P），两异面直线间的距离为 d，则d=文献2给出了两异面直线距离的六种推导方法 . 本文利用 数量积、向量积和混合积，以及点到平面的距离，给出上述距离 公式的简单证明 . 为此，我们先给出几个引理 .引理1 1, 3 ?摇？摇如果丄，则？=0.引理2 1 ?摇？摇两异面直线的公垂线是唯一存在的.引理 31 ?摇?摇两异面直线间的距离等于它们公垂线的长.引理 4 1 ?摇？摇点 M(x, y, z)与平面 Ax+By+Cz+D=O 间的距离为 d=.2

3、. 两异面直线间的距离公式的证明证法1 :作异面直线I和I的公垂线CD交I与C和交I与D,如图1所示.则=与C共线，丄A和丄D.从而 |C|=|e?C|.(1)A?=0和 D?=0. (2)由引理 3知，两异面直线 I 和 I 间的距离 d=|C| ，于是由式(1)知d=|C?|.( 3)显然=A+C+D于是由式(2)得?=C?.从而由式( 3)和混合积的定义得d=.证法2:设P为空间上任一点，则经过点 A,以向量，为方位向量的平面n方程为（A，） =0，且该平面n的法向量为X.显然，平面n平行于直线I，于是两异面直线I和I的距 离为点B到平面n的距离.从而由引理4得两异面直线|和|的 距离为d=3. 结语 本文运用向量的基本运算（向量积，数量积，混合积）和点 到平面的距离， 给出了两异面直线间距离公式的推导， 证明过程 浅显易懂

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