ch复合函数的求导法则及应用PPT学习教案

1、会计学1ch复合函数的求导法则及应用复合函数的求导法则及应用定理定理( (链式法则链式法则) )()(000 xufdxdyxx ,)()()2000可导可导对应的点对应的点在与在与xuxufy 即即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以中间变量对自变量求导. .,)()10可导可导在点在点函数函数若：若：xxu 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数,)(0 xxfy 1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则2第1页/共37页证证,)(0可导可导在点在点由由uufy )(lim00

2、ufuyu )0lim()(00 uufuy其中其中故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf *xuxuufxux 0000limlimlim)( 处可导处可导在在0)(xxu 处连续处连续在在0)(xxu 0,0 ux时时3第2页/共37页注注 2) 多层复合的情形多层复合的情形 .)()()(1记记号号的的差差异异与与xfxf 即即先先复复合合再再求求导导；求求导导再再对对代代入入前前者者表表示示先先将将,)(xxu .,)(,即即先先求求导导再再复复合合代代入入再再将将求求导导后后

3、者者表表示示先先对对xuu ),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 4第3页/共37页例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数212sin)1xxy )(lntan)22xy 复合而成复合而成函数可视为由函数可视为由212,sin)1xxuuy 解解dxdududydxdy 故故ucos 222)1(22)1(2xxxx 222212cos)1()1(2xxxx 5第4页/共37页)(lntan)22xy 复合而成复合而成函数可视为由函数可视为由xvvuuyln,tan,2 dxdvdvdududydxdy 故故

4、u2 v2sec x1 )tan(ln2x )(lnsec2x x1 1.在求复合函数导数时关键是搞清复合结在求复合函数导数时关键是搞清复合结构构,然后然后如同锁链一样如同锁链一样,需由表及里一层一需由表及里一层一层地求导层地求导,一直求到最里面一直求到最里面,不能漏掉任何不能漏掉任何一层一层,否则导致错误否则导致错误.注注2.熟练掌握后应省去中间变量而直接写出熟练掌握后应省去中间变量而直接写出求导结果求导结果.6第5页/共37页例例2 计算导数计算导数xxyxxy 11arctan) 2()1ln() 1 (2解解) 1(11) 1 (22 xxxxy)1221 (1122 xxxx112

5、x)11(1111) 2( xxxxy)11(112121 xxxxx2)1 (2112121xxxx 2121x )11(11222 xxxxx7第6页/共37页例例3 .)(1arctan)(ln,)(的导数的导数求求可导可导设设xfxfyxf )(1)(arctan(ln)(1arctan) )(ln( xfxfxfxfy解解)(ln)(ln xxf)(ln)(1arctanxfxf )(1()(1(112 xfxf)(1arctan1)(lnxfxxf )()(1()(1(1)(ln22xfxfxfxf )(1arctan1)(lnxfxxf )(1)()(ln2xfxfxf 8第7页

6、/共37页(1)(1)导数运算的基本法则导数运算的基本法则)()()()(6(1)(1 )()5()()()()()()()()4()()()()( )()()3()()( )()()2()( )()1(12xxfxfdydxdxdyxfxfxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuCxCu 或或2. 初等函数的求导问题初等函数的求导问题9第8页/共37页xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 (2) 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21

7、 xxxxeeaaa )(ln)(xxaxxa1)(lnln1)(log 222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx 至此至此, 初等函数的求导问题均可以解决初等函数的求导问题均可以解决.10第9页/共37页例例4chx 224)()ln(1)5)()ln(1)116)()ln21arshxxarchxxxarthxx 1)()()22)()()23)()()xxxxxxxxeeshxeechxeethxee shx xch21 )1 , 1(112 xx), 1(112 xx112 x11第10页/共37页chxshx )(shx

8、chx )(chxshxthx xchxshxchthx222)( 即即xchthx21)( 解解)11 (1122xxxx 211x )1ln(2xxarshx )( arshx221)1(xxxx 12第11页/共37页例例5xx1)(ln 证证明明：解解xxxx1)(ln)(ln,0 时时 )ln()(ln,0 xxx时时)(1 xxx1 xx1)(ln 综综上上，()(ln() )()fxfxfx 一一 般般 地地 ，13第12页/共37页 )(ln)(ln)(xuxveyxxv)(ln)(xuxvey 作作变变形形：.)0)()()(yxuxuyxv 的的导导数数求求幂幂指指函函数数

9、解解)()()()()(ln)(1)()(xuxvxuxvxuxuxvxv )()(1)()(ln)(ln)(xuxuxvxuxvexxv例例6注注 后面还可用隐函数求导法来计算后面还可用隐函数求导法来计算.14第13页/共37页)cos)(sincos(sincossin222244xxxxxxy 例例7 求求下下列列函函数数的的导导数数234411)2(cossin)1(xxxyxxy 解解)(sinsin4)1(3 xxy)(coscos43 xxxxcossin43 xxsincos43 )cos(sincossin422xxxx x2sin2 另另解解：x2cos xxxy2sin2

10、2)2sin()2cos( 15第14页/共37页2311)2(xxxy 2211)1(xxxy 211xx )1()1(11222 xxy22)1(21xx 222323)1()1)(1()1() 1(xxxxxxxy 22322)1() 1(2)1)(13(xxxxxx 2224)1(122xxxx 22)1(21xx 解解另另解解：16第15页/共37页注注1.从本例可见虽然求导可以有很多种方法，从本例可见虽然求导可以有很多种方法，但显然把但显然把 f(x) 先予以恒等变换成简单函数先予以恒等变换成简单函数后后再求导能简捷得多再求导能简捷得多.2.在求导问题中常用的恒等变形，在求导问题中

11、常用的恒等变形，所以在所以在具体做题时，一定要先把求导的函数审视具体做题时，一定要先把求导的函数审视一遍一遍予以简化予以简化，这比盲目代公式做题要方，这比盲目代公式做题要方便便.3.在很多问题中恒等变形是有益的，应对在很多问题中恒等变形是有益的，应对其有足够的重视其有足够的重视.17第16页/共37页然然后后再再求求导导。化化成成显显函函数数先先将将),( )(0),(1xfyyxF 显化显化1. 显函数和隐函数显函数和隐函数2. 隐函数求导的方法隐函数求导的方法代代入入原原方方程程应应有有恒恒等等式式把把)(xyy ，所所确确定定的的隐隐函函数数由由方方程程)(0),(2xyyyxF 0)(

12、,( xyxF求求导导，该该等等式式两两边边对对x，再再从从中中解解出出 y x法法。此此方方法法即即为为隐隐函函数数求求导导（利用复合函数的求导法则）（利用复合函数的求导法则）18第17页/共37页例例8 利用隐函数求导法，求下列函数的导利用隐函数求导法，求下列函数的导数数。y x)cos()1yxy 解解)(cos()(yxy xx求求导导，有有的的函函数数，两两边边对对看看作作把把xxy y)sin(yx )( yx)1(y 解解得得： y)sin(yx )sin(1yx 19第18页/共37页0)2 xyeexy解解0)()( yxeexyxx求求导导，有有的的函函数数，两两边边对对看

13、看作作把把xxyyey )1( xexe yxy 0 解解得得： yyex yex ，故故，从从原原方方程程知知，此此时时001 yey处处的的值值，在在若若要要求求0 xyx 00 xyy110)01( 20第19页/共37页注注的的显显式式。表表示示为为也也没没有有必必要要把把的的显显式式，我我们们一一般般也也不不能能表表示示成成导导数数故故其其的的显显式式，不不能能表表示示成成一一般般隐隐函函数数xyxyxyxx )1时时的的值值时时，通通常常应应由由当当若若要要计计算算0)2xxyx ，可可能能是是多多值值的的原原方方程程解解出出相相应应的的)(0yy的的表表示示式式中中，一一起起代代

14、入入然然后后把把xyyx ),(00。即即可可求求出出00 xxyyy 21第20页/共37页yyxxeyey cos例例9 点点处处的的切切线线的的斜斜率率。，以以及及在在试试求求所所确确定定的的隐隐函函数数，是是由由方方程程已已知知)0 , 0(0sinxyyxeyy 解解0sin yxeyyy )(cosye 0 yxeeyy 00yxyk1 所所求求切切线线为为：xyiexy .)0(10即即 22第21页/共37页例例9 点点处处的的切切线线的的斜斜率率。，以以及及在在试试求求所所确确定定的的隐隐函函数数，是是由由方方程程已已知知)0 , 0(0sinxyyxeyy yxxy 1：根

15、根据据反反函函数数求求导导法法，得得另解另解yyeyxxeysin0sin yyyyeeyeyx2sincos yeyysincos yyeycossin 代代入入上上式式得得：将将yeyxsin yyxxeyey cos23第22页/共37页观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法结构特点结构特点( (适用范围适用范围):):.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘或或幂幂指指函函xvxu3. 对数求导法对数求导法24

16、第23页/共37页例例10解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边先取绝对值再取对数等式两边先取绝对值再取对数得得xxxxy 4ln21ln311lnln142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设25第24页/共37页例例11解解.),0(sinyxxyx 用用对对数数求求导导法法求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 26第25页/共37页三、由参数方程确定的函

17、数的导数三、由参数方程确定的函数的导数引例引例 22121gttytx 斜上抛物体运动斜上抛物体运动 221122112 2 )( 21xgxxgxy 前者物理意义清楚，后者几何意思明显，各有利弊前者物理意义清楚，后者几何意思明显，各有利弊.若参数方程若参数方程 确定确定x与与y间的函数关系间的函数关系, )( )( tytx 则称此函数则称此函数y=y(x)(或或x=x(y)为为参数方程所确参数方程所确定的函数定的函数 。27第26页/共37页例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? d

18、xdyy问题：问题：28第27页/共37页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dydydtdxdxdt 即即,)()(中中在方程在方程 tytx29第28页/共37页例例12解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy1 处的切线方程。处的切线方程。在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttay

19、ttaxayaxt ),12(,2 时时当当)12( axay所所求求切切线线方方程程为为：)22( axy即：即：30第29页/共37页.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv 例例13解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt31第30页/共37页)cos()21si

20、n(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 32第31页/共37页四、由极坐标方程确定的函数的导数四、由极坐标方程确定的函数的导数（1）极坐标系）极坐标系Ox)(极极点点)(极极轴轴（2）极坐标）极坐标M OM )(极极径径)(极极角角),( 时时，当

21、当 200 )M(除除极极点点外外平平面面上上点点),( 实实数数对对一一一一对对应应（3）极坐标与直角坐标的互化）极坐标与直角坐标的互化 sincos:),(yxyxM xyyxM/tan:),(22 （4）曲线的极坐标方程）曲线的极坐标方程2 4/ cos2r 33第32页/共37页解：解： sin)cos1(cos)cos1(ayax间间的的关关系系有有：根根据据极极坐坐标标与与直直角角坐坐标标cos)cos1 (sin)cos1 ( adaddxdy)2sinsin()2cos(cos aa 2sinsin2coscos 2 dxdyk切切1 ayx , 02时时 axy :所所求求切切线线为为极坐标方程确定的函数的导数极坐标方程确定的函数的导数)( sin)(cos)(yx化化为为参参方方.2)cos1(