CH利息的量PPT课件

1、1利利 息息 理理 论论开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系教师教师: : 陈萍陈萍参考书：利息理论 著 尚汉冀译上海科学技术出版社第1页/共31页2第一章第一章 利息的度量利息的度量 积累函数与金额函数积累函数与金额函数 利率利率 现时值现时值 名义利率与名义贴现率名义利率与名义贴现率 利息效力与贴现效力利息效力与贴现效力第2页/共31页 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与

2、放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。第3页/共31页4积累函数与金额函数积累函数与金额函数 一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为积累值。积累值=本金+利息假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。自融资第4页/共31页5定义 考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的积累值为a(t)

3、，称为积累函数。a(t)的性质：(1) a(0)=1; (2) a(t)通常为增函数；(3) 当利息连续增加时，a(t)为连续函数。典型积累函数:itta1)(iteta)(,.2 , 1,)1 ()(titat第5页/共31页6定义 A(t)=ka(t)称为金额函数，它给出原始投资为k时在时刻t=0的积累值。记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为In.则In=A(n)-A(n-1) (1.1.2)注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)第6页/共31页例1.1.1.考虑金

4、额函数a)确定对应的积累函数a(t)b)检验a(t)是否满足积累函数的三条性质c)找出In解:32)(2tttA)(0)3aAk2112( )( )1333a tA ttt22)(0)1( )0,( )33baa tta t；单增；a(t)连续22)( )(1)231021321nc IA nA nnnnnn 第7页/共31页81.2.利率利率1.2.1.实质利率定义 实质利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的利息。如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故a(1)=1+2.25%本金100元，年末积累值为元第8页/共31页注（1)实质利率常用百分比表示。 （2）本金在

5、整个时期内视为常数 （3)实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用金额函数确定如下：i=A(1)-A(0)/A(0)=I1/A(0) 这就可以给出另一个定义：定义 实质利率i是某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金额之比。第9页/共31页实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设in为从投资之日算起第n个时期的实质利率，则in=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=In/A(n-1) n1例1.2.1. 证明A(n)=(1+in)A(n-1)1.2.2. 单利定义 若考虑投资1单位本金，在每一时期中得到的利息为常数，其积累函数则为线性的。 a(t)=1+it 对整数 t0这种类型产

6、生的利息为单利。第10页/共31页例. a) 如500元存款在5年内积累到590元，单利利率为多少？b)500元按3.6%的单利要经过多少年可积累到600元？解:a)设单利利率为i, 则500(1 5 )590i0.03636%i b)设要经过x年积累,则500(1 0.036 )6005.56xx（年）第11页/共31页练习1.如果1000元以某一单利利率经过某一长度的时期积累到1100元，试确定500元以该单利利率的3/4倍的利率经两倍长的时期的积累值。练习2. 查出目前市面流通或发行的国债，计算其利率。与同期存款利率进行比较。第12页/共31页131.2.3. 复利复利 定义 复利的积累

7、函数是a(t)=(1+i)t 对整数t0单利与复利的异同(1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较短的时期则相反。(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即 对单利：a(t+s)-a(t)不依赖于t 对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)不依赖于t第13页/共31页例1.2.5.某人有1000元准备存款5年，现有两种存款方式：1)按年利率5.85%的单利。2)按年利率5.27%的复利；问哪种存款所得积累值较多？解:1)(5)1000(1 5.85% 5)1292.

8、5A元52)(5)1000(1 5.27%)1292.78A元故按年利率5.27%的复利存款所得积累值较多.第14页/共31页某人有10000元本金，准备存款5年，请提供存款方案,并分析按那种方案所得积累值较多？参考：人民币存款利率表：1年2.25%2年2.7%3年3.24%5年3.6%第15页/共31页16 1.3 现时值现时值1.3.1.现时值考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?定义.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现时值。记对应实质利率i,称v=1/(1+i)为

9、贴现因子。（相应的1+i称为积累因子）第16页/共31页17上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定某人在时期开始时应投资多少才能在t时期末积累到金额1。定义 称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。代表在t时期末的1单位金额的现时值。例1.3.1.五年期国债，面值为100元，按贴现发行，若i=6.42%,则其发行价应为多少？(1)按单利.(2)按复利解:11001)100(5)75.71 0.0642 5a发行价元151002)100(5)73.261 0.0642a发行价元第17页/共31页注 一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。利息本金基础上的增加额

10、，在期末支付，其计算的依据为期初余额。贴现积累值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。用实质利率i可以很方便地计算：利息=本金*i也希望有类似的参数d，使：贴现=期末值*d参数d就是贴现率。EX.已知$500的投资在第30年末将增长到$4000,求在第20年，40年，60年末各付款$10000的现时值之和。第18页/共31页19 1.3.2.实质贴现率定义 称 为1时期的实质贴现率。) 1 ()0() 1 (AAAd例 假设某人A到银行以实质贴现率6%借100元，为期1年，一年后A还给银行100元。则1)银行实际付给A多少元？2)这相当于实质利率是多少的贷款？解:显然)1)(1

11、()0(dAA1)(0)(1)(1)100(1 0.06)94AAd元94(1)1006.38%ii 2)令第19页/共31页推广到n个时期有 a-1(t)=(1-d)t t0 (1.3.1)称满足(1.3.1)的d为复贴现率.定义 称两个贴现率或利率等价，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值例1.3.2 求证：若a(t)=(1+i)t ，则在各时期内等价的实质贴现率为常数，iid1(1.3.2)第20页/共31页d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释：1)d=i/(1+i) - 期初投资1，在1时期末赚得的利息i按贴现因子贴现到期初即为贴现率d。 2)1/(1+i)

12、=1-d - 此方程两边均表示在期末支付1的现时值。3)i-d=id -某人可借贷1而在期末归还1+i，也可以借贷1-d而在期末归还1 。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差d而产生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.第21页/共31页221.4. 1.4. 名义利率与名义贴现名义利率与名义贴现率率1.4.1.名义利率在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利10%,半年结算一次”、“季度复利10%”或“月度复利10%”等等。由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实”，原来给定数据10%就是名义利率。定义 记i(m)为每一时期付m次的名义利率，其中m1,m为整

13、数。第22页/共31页注:所谓名义利率i(m)指每1/m时期支付一次的利率，也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是i(m)/m而不是i(m)。定义 利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为“利息转换时期”1.4.2.名义利率与实质利率的关系设一时期的名义利率为i(m),与之等价的实质利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。于是有 或11)(mmimi1)1 ()(mmmii第23页/共31页例1.4.1.贷款人A开价年实质利率为9%,贷款人B开价季度复利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？解:对B:48.75%119.04%4i 对C:

14、128.5%118.83%12i 故C的贷款好.第24页/共31页1.4.3. 名义贴现率定义 每一时期支付m次的名义贴现率记作d(m).表示每1/m 时期支付d(m)/m 的实质贴现率。例1.4.2.试确定100元在两年之末的积累值。A)如果名义利率为季度转换6%. B)如果名义贴现率为季度转换6%.解: 41)6%i4 26%(2)100(1)112.654A 42)6%d设积累值为x,则4 26%10014x4 26%100 1112.854x 第25页/共31页26名义利率与名义贴现率之间的关系pPmmpdmii1 1 1)()(考虑)(mi与)( pd(1.4.1)如果m=p,则()

15、()111mmidmm(1.4.2)第26页/共31页将(1.4.2)式两端同乘以（1-d(m)/m)得mdmimdmimmmm)()()()(1.4.3)它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率i(m)/m在该利息转换时期末的利息就是(i(m)/m)(d(m)/m)。EX1.确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换6%的名义贴现率。EX2.证明i(m)=d(m)(1+i)1/m,并按字面解释之。 46.06%i答：第27页/共31页281.5 利息效力与贴现效力利息效力与贴现效力1.5.1.1.5.1.利息效力利息效力利息效力描述利息在时刻t的运行强度，它与资金金额无关，定义为)()( )()( tatatAtAt (1.5.1)称为时刻t的利息效力。第28页/共31页29可用t描述A(t)或a(t)。)(