ch函数的微分PPT学习教案

1、会计学1ch函数的微分函数的微分实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,2xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 02008年11月10日2第1页/共25页再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(x

2、xxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :是否所有函数的改变量都对应有一个线性函是否所有函数的改变量都对应有一个线性函数数(改变量的主要部分改变量的主要部分)?它是什么它是什么?如何求如何求?2008年11月10日3第2页/共25页2 2 微分的定义微分的定义,)(在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数xfy ,00在这区间内在这区间内及及xxx 如果如果)()()(00 xoxAxfxxfy ),(无无关关的的常常数

3、数是是与与其其中中成成立立xA 则则称称函函数数)(xfy ,0可微可微在点在点 x为为函函数数并并且且称称xA 相应于自变量相应于自变量在点在点0)(xxfy ,的微分的微分增量增量x 定义：定义：2008年11月10日4第3页/共25页.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )记作记作),(00 xdfdyxx或或 .0 xAdyxx 即即由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy 2008年11月10日5第4页/共25页;,0)3(是等

4、价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 2008年11月10日6第5页/共25页).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数2008年

5、11月10日7第6页/共25页(2) 充分性充分性,)(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可微可微可导可导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数2008年11月10日8第7页/共25页例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 0

6、23 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy2008年11月10日9第8页/共25页)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义 ( (如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段

7、切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 2008年11月10日10第9页/共25页dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(csc )csccotdxxxdx (sec )sectandxxxdx 2(tan )secdxxdx 2(cot )cscdxxdx (sin )cosdxxdx (cos )sindxxdx 1()d xxdx ( )0d C 2008年11月10日11第10页/共25页dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxa

8、adaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud arc2008年11月10日12第11页/共25页例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedx

9、exdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 2008年11月10日13第12页/共25页;)(,)1(dxxfdyx 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),( ,)2(txtx ),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 2008年11月10日14第13页/共25页例例5 5

10、解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 2008年11月10日15第14页/共25页例例6 62( )sin,( ),.yf xxxttdy 设设求求.注意可以利用一阶微分的形式不变性2008年11月10日16第15页/共25页阶微分阶微分n 一阶微分：一阶微分：dxxfdf

11、)( 二阶微分：二阶微分：22)( dxxffd nnndxxffd)()( 222)( )( )( )(dxxfdxxfdxxfddfdfd 2222 () ; ().dxdxd xx注意指表示 的一阶微分 （有形式不变性）（有形式不变性） （没有形式不变性）（没有形式不变性）必须是自变量必须是自变量2008年11月10日17第16页/共25页例例6 622( )sin,( ),d.yf xxxttdyy 设设求求错误解法错误解法:222222222222( ), ( )sinsin ,244 sind ffx dxfxxtdxdxtdtt dtd ftt dt利用公式则，故原因原因: x为

12、中间变量为中间变量, 而二阶以上微分无形式不变性而二阶以上微分无形式不变性.正确解法正确解法:2 ( ) ( ), sin,xtyf xyt 先将代入得先将代入得2222 2 cos,2cos4sin.yttyttt于是于是由由 (1) 得得22222d( 2cos4sin)d.ytttt2008年11月10日18第17页/共25页.)(0 xxf 00 xxxxdyy 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值 （以直代曲）（以直代曲）;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 2、计算函数的近似值、计算函数的近

13、似值;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ., 00 xxx 令令2008年11月10日19第18页/共25页例例7 7?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 2008年11月10日20第19页/共25页例例8 8.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,360,30 xx.23)

14、3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2008年11月10日21第20页/共25页常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 2008年11月10日22第21页/共25页例例9 9.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97