浅谈线性方程组

1、宜宾学院2014届毕业论文（设计）浅谈线性方程组邓 芳（宜宾学院数学学院2010级创新班 四川宜宾 644000）指导教师：刘敏摘要：本文主要探讨线性方程组的求解方法.从特殊的方程组（未知量的个数与方程的个数相等，且系数行列式不等于0）到一般的线性方程组，本文依次介绍了克拉默法则、逆矩阵法、高斯消元法、利用解的结构解法、公式解法以及对大型稀疏线性方程组求近似解的迭代法.并讨论了线性方程组在解析几何、高等代数，数学模型、物理学、化学等学科领域的广泛应用.关键词：线性方程组; 克拉默法则; 高斯消元法; 解的结构; 公式法; 迭代法.1.引言线性方程组是代数学中最基础也是最重要的内容之一.它的表达

2、方式、求解步骤、解的结构等几乎涉及到线性代数的所有基本概念和基本方法，并且它在许多学科及科学领域中都有着广泛的应用和重要的作用，甚至可以不谦虚的说，科学与工程中的许多问题都可以归结为对线性代数方程组的求解.在线性方程组的求解过程中，主要应掌握线性方程组有无解的判定，有解时应选择哪种求解方法.随着越来越多的方程个数和未知量个数的出现，代数领域的科学家们对寻找简便且准确的求解方法产生了浓厚的兴趣，这愈发的彰显出线性方程组的现实意义.本文将从介绍线性方程组的基本知识出发，包括一些基本概念，有解的判定条件，再分不同类型，从特殊到一般进一步探索的其求解方法，最后举例说明线性方程组在解析几何、高等代数、数

3、学模型、物理学等领域的广泛应用.2.线性方程组的求解线性方程组的求解问题，也是代数理论和实践中一个非常重要的课题.本节重点是线性方程组有无解的判定以及求解方法.其次在探索求解方法时，把线性方程组分成两类，一是特殊的线性方程组（方程的个数等于未知量个数且系数行列式不等于零），二是一般的线性方程组.2.1线性方程组的基本知识2.1.1线性方程组的表示形式线性方程组就是指由多个元一次线性方程构成的方程组.在代数学中，可归结为以下三种表示形式：一般形式、矩阵形式和向量形式.2.1.1.1 一般表示形式 (1) (2)称方程组（2）为齐线性方程组，否则，称为非齐线性方组.2.1.1.2 矩阵表示形式记，

4、2.1.1.3 向量表示形式记：，,2.1.2 矩阵的秩 定义1：（阶子式）：在一个行列矩阵中，任取行列（）位于这些行、列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的阶子矩阵的行列式叫做这个矩阵的一个阶子行列式，简称阶子式.定义2：（矩阵的秩）：设在矩阵中有一个阶子行列式不等于零，而所有的阶子行列式（如存在）全等于零，即的不为零的所有子式的最大阶数称为矩阵的秩，记为，即.定理1：设不全为零，通过初等变换能把化为阶梯式矩阵对于变换后的矩阵，由第1、第2第行；第1、2第列组成的阶子行列式为，又当或时，矩阵根本不含阶数高于的子式，而当且时，矩阵的任何一个阶数高于的子式都至少有一行元素全为零，因此该子

5、式必为零.这样，为矩阵中不为零的子式中最大的阶数，即矩阵不含阶数高于的非零子式，从而，因此.2.2 线性方程组有解的判定无解、有唯一解和有无穷多解.因此，在解线性方程组前，首先要做的是对此方程组是否有解做出判断，再进一步对有解时，是一个解还是多个解进行判断.本节主要研究齐次线性方程组和非齐次线性方程组有解的情况.2.2.1 齐次线性方程组（2），.显然总有零解：，称它为平凡解，下面讨论方程组有非零解的情况：(i)方程组有非零解 显然，当时，则个方程个未知量的总有非零解 （注：只是方程组）(ii)当时，方程组有非零解2.2.2 对非齐次线性方程组，一般表示如式（1），在对它是否有解判定时，增加一

6、个概念增广矩阵，其形式如下：（i） （ii）（iii）例1.已知线性方程组.可见：当（这时）时，,原方程组无解. 当（这时）时，原方程组有无穷解.评注：在此例题中，方程组的个数与未知量的个数均为3，由判断条件（ii）知.方程组有唯一解时，但时，方程组可能有无穷多解，也可能无解.所以对于这类型的方程组，我们一般不用是否等于零来判定，直接对进行初等变换，化为阶梯形，然后对与进行比较即可.2.3 线性方程组的求解线性方程组的求解问题是本论文探讨的核心内容.在本文中，从特殊到一般情况，针对不同类型的线性方程组，归纳了六种常用的求解方法.2.3.1 克拉默法则克拉默法则是运用行列式来解决线性方程组的问题

7、，在这里只考虑方程的个数与未知量的个数相等并且系数行列式不等于零的情形.定理2： （3）若（3）的系数矩阵的行列式则线性方程组（3）有解且唯一， （4）其中是把矩阵中第列换成方程（3）的常数项后所构成的矩阵的行列式，即：评注：在用克拉默法则解线性方程组时，我们应看到它的局限性：首先，此方法只用于未知量的个数与方程组的个数相等的情况且系数行列式不等于零；其次，由于此方法涉及到行列式的求解，显然所求的行列式阶数不宜过大，一般在系数行列式阶数不超过4的情形下，可选用此法解答线性方程组.定理3：对齐次线性方程组 （5）运用克拉默法则，显然有当（5）的系数行列式时，又可知道，故 ,即它只有零解，即要使方

8、程组（5）有非空解，必然.例2. 同样可得从而，由克拉默法则，得：例3.设是数域中互不相同的数，是数域中任一组给定的数.用克拉默法则证明：存在唯一的数域上次数小于的多项式，使.设由 （6）把（6）式看成关于的线性方程组，由于系数故方程组（6）只有唯一解，即所求的多项式是唯一的.2.3.2 逆矩阵法定义3：对于阶阵，如果存在一个阶阵，使得，则称为可逆矩阵，并称为的逆矩阵，记为.定理4：方阵存在逆矩阵定理5：设为阶方阵，若，则可逆且，其中为的伴随矩阵.由逆矩阵的定义与矩阵可逆的条件，我们不难知道用逆矩阵来解线性方程组的满足的前提条件是：必须为（即未知量个数与方程个数相等）且可逆（即）这与用对线性方

9、程组（为方阵），若，左乘得线性方程组的解： 下面通过例题来具体介绍此方法求解步骤.例4.用逆矩阵法来解方程组： （7）解：步骤一 ： 判断是否等于零，若，求出其.将进行初等行变换得，步骤二： 将方程组（7）变换为向量形式： （8）对方程组（8）两边同时左乘,得即步骤三： 解从而得.评注：在用逆矩阵法解线性方程组时，应注意判断该方程组是否满足此方法的两个前提条件：方程组个数等于未知量个数（即系数矩阵为方阵）.若不满足，则另寻他法.另外，其方法的难点在于对的求解，关于的求法，一是伴随矩阵法，一是初等变换法.在选择解法时可以根据方阵的具体情况选择较易的方法来解.2.3.3 高斯消元法对前面所给出的克

10、拉默法则以及逆矩阵法，都是对特殊线性方程组（未知量个数等于方程个数且系数行列式）进行求解的方法，但在许多实际问题中所涉及到的线性方程组往往不是这么特殊的.在此小节将介绍解一般线性方程组的普遍且重要的方法高斯消元法.基本步骤：对一般线性方程组（1）第一步：设,将增广矩阵进行等变换化为阶梯形矩阵：第二步：判断与是否等，若，则线性方组无解，求解完毕.反之，进行下一步.第三步：若，化为了阶梯矩阵 （9）当时，方程组（9）有唯一解：,也是方程组（1）的唯一解当时，方程组（9）可改写为： （10）.评注：由于考虑到在对增广矩阵的初等行变换化其为阶梯形的过程较为复杂，故一般在解题中常先将化为上三角形矩阵，得

11、出与原方程组同解的上三角形方程组，再取定自由未知量，将其移至等式右边.从第个方程，逐次回代，即得原线性方程的一般解，具体步骤参照例5 .例5. 解：,故无穷多解.即得同解的方程组以为，逐之，得为：2.3.4 利用解的结构求解利用求解线性方程组与消元法一样，也是解一般性方程组的.这一方法是将分为齐线性方程组和非齐线性方程组来探讨，常对无穷多解的求通解.2.3.4.1 齐次线性方程组解的结构解法有非零解（即多解）时，在求中设计到一个的概念：基础解系，就在于基础解系出.定义4:（基系）：设为次线性方程组的一组，如果的均可表示为，则称为方程组的一个基解系. （注：线性关是指，对向组，只有当时，就称量组

12、线性关）定理6：设为矩阵，则齐线性程组存在基解系，且基解系包含个线性关的解向量，即方程组的解空维数为.下面给出解系的求法：对齐线性方组的系矩阵作初变换，化为行形，不妨为：原方程组（2）与以下的方程组同解: （11）其中为自未知量，分取带入方组（11）得方组的个线性关的解向量：所求出的即为的一组基础解系.评注：由于在取自由未知量的一组值的时候，取法不同，从而得到的基础解系不唯一，任何个线性无关的解向量都可以构成它的一个基础解系，只要保证自由未知量所取的组值线性无关，则对求得的个解方程组的基解.定理7（解的结构）：齐线性方程组的通可表示为它一个基础系的任何性组合，即,其中例6. 求出下面齐次线性方

13、程组的一个基础解系，并写出其通解.解：其中为自由未知量，分别取得基础解系故原方程组的通解为： 2.3.4.2 非齐次线性方程组的解的结构解法一般非次线性方组(1)对增广进行初等换化阶梯形矩阵这表明（1）与下列线性方程组（12）同解 （12）易知，（12）有解的充要条件为：，即.符合解的判定定理，在有解的条件下，进而讨论如何确定解.若，则（12） 成为，这表明（12）有唯一解，从而（1）有唯一解：若， 则（12）成为 移项得， （13） （14）先利用面2.3.4.1所给出的法求出方程组（14）的一解系，再任取，一入（13）得方组（13）的一个特，则（1）的通表示为：.评注：在对取组数值时，为了

14、保证所求解的基础解系的线性无关，需验证所取的，组数值所构成的行列式不等于零即可.为了便捷，可取这组数.同样，在求非次线性方组的特解时，也可单取值，比如取即可.例7.解方程组解：对增矩阵进行初行变换：可见，故方组有无穷解，且得原方组同解的性方程组，移得：，取，则，得方程组的一个特解在对的齐次线方程组取 得即得对的齐次线方程组的基解系为：从而得原方程组同解为： 2.3.5 公式解法考虑线性方程组（1）在用初等变换简化方程组（1）时，（1）的系数和常数项都起了变化，因为不能由简化后的方程组得出（1）的公式解.现在采用另一种方法吧（1）简化，使得简化后的方程组是（1）的一部分，因而不产生新的系数和常数

15、项.把方组（1）的个方依次用表，若在这个方中，某一个方是其他个方程的果，也就是说，是存在个数使立.定理8：设方组（1）有解，它的系矩阵和增矩阵的共同是.那么可以（1）的个方中选出个方程，使得下的个方程中的一个都是这个方的结果，因而解方组（1）可以归为解这个方所组成的线方程组.由定8，不妨取出个方中前方程，则方组（1）的后个方中的每一个都（1）的前个方 （15）的结果.看（1）的后个方程中的任意一个，例如第个方程，存在个数，使得,从而解方程组（1）归结为解方程组（15）.假定方程组（1）满足定理8的条件，现在给出方程组（1）的公式解.分别看的情形.是，那么（15）就方程个等于位置个的一个线方程组

16、，并且它系数行列式.所以（15）有一解，这个可由克拉默规给出.这个解也方程组（1）的一解.现设.这时方组（15）的前个未量的系数所成的行列式.在方组（15）中把含知量的项到右边，方组（15）可以写成 （16）暂时定是数，那么（16）成个未量的个方.用克拉默规解出，得 （17）这里第j列把（17）中的列式展开，（17）就以写成 （18）现在旧把（18）中看成未量，那么（18）是一线性方组.容易看出，方组（18）与方程组（16）解，因此和方组（1）同解.正如用元法解线方程组的情一样，方程组（18）给出程组（1）的一般解，而是自未知量.要求程组（1）的一个解，只需予自由未知量的意一组数值，然由（18

17、）算出未量的对应值，并（1）的所有都可以这得到.由于（18）的数和常项都可以由方组（1）的系和常数项表，所以（18）或它的身（17）都出求方组（1）的解的式.例8.用公式解解线性方组 （19）解：先对方程组的增广矩阵施行初等变换：从具过程可知三个程有关系，第三个方是前两个方的结果.故原方组与前两个方构成的方组同解.同时还可出前两个方所构成的方组满足增矩阵与系数矩同秩，秩秩未知量个数，且.故可把作为自由未知量移到 （20）2.3.6迭代法在实际计中，经常会到大型系数线性方组的求解，大型是指方组的阶数很，上千甚上万，稀疏是指系数阵有很多零素，通常于70%的元素为.对这类的性方程组，所求得的解往往是

18、近似解，所以无法用前面介绍的方法来解出.本节将介绍一种新的方法迭代法，用于这类大型稀疏阵的近似解.迭法的基本思想是将非奇线性方程组变形等价的方程由此建迭代公出初始向后，按此迭代公式给出近似解向量序列并希望迭代解能够逐步逼近方程的精确解，称种方法为方组的迭解法.2.3.6.1 雅克比迭代法对线性方程组的求解，其中为非奇矩阵且记将方组转化为价方程组由于，矩阵D可逆，有写成具体形式为 (21)上面迭代格式也可以简写为.给定一组初始解利用上式反复迭代，可以得到向量序列，如果收敛于，则必为方程组的解.按公式（21）进行计算的迭代方法称为雅克比（Jacobi)迭代法.例9.用雅克迭代法解下列方组解： 01

19、23456700.720.9711.0571.08530.09511.098300.831.0701.1571.18531.19511.198300.841.15011.24821.28281.29111.29802.3.6.2 高斯-赛德尔迭代法雅克比迭代法的优点是公式简单，缺点是在计算时需要两组向量存贮和，存贮的量较大.另外仔细观察雅克比迭代法就会发现在迭代解的每个分量的计算过程中，在计算分量时，虽然前个分量已求出，但仍旧在利用旧分量来进行计算.直观地讲，新计算出的分量应比旧分量的精确度要高，因此，如果新分量一旦求出，在下一个分量的计算中立即被采用，即在计算时，用新分量来替代.这样既可以提

20、高精度，又可以只用一组向量来存放迭代解向量，这种迭代方法称为高斯-赛德尔迭代法.迭代公式如下： (22)简写为：高斯-赛德尔迭法的矩阵形如下将其变形为： 其中矩G称为高斯-赛德尔代矩阵.例10.对例2.12的线性方程组用高斯-赛德尔迭代法解出解：012345600.721.04311.09311.09911.99900.9021.16721.19571.19951.199901.16441.28201.29781.29971.3000评注：和例9较，高斯-赛德尔迭法的收敛速度雅克比迭代法的敛速度要快.一般来说，对于一个方组若这二种方法都敛，则高斯-赛德尔迭法的收敛速度要快.要用迭法求解线方程组

21、，在计算时，需要利数学软件输入数据，根据特的算法输精确解，使迭成功.3.线性方程组的应用随着科技的不断发展，线性方程组的应用不仅仅只局限在数学领域，在其他许多科学领域汇中也有着广泛的应用.在本章节，将介线性方组在解析几何，高等数，学模型、物理学、化学等方面的应用.3.1.线性方程组在解析几何中的应用例11.直线相交问题设平面上有n条直线，则这些交于一点的充必要条件是证明：考虑线性方程组 (23)由线性方程组理论知，这条直线相交于一点（只有一个公共点）方程组（23）有唯一解系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知量个数例12.平面的交线问题已知三个平面求证：它们至少相交于一条直线的充要条件为证：显

22、然三平面均过原点（0,0,0），要三平面至少相交于一直线三平面至少相交于另一以下齐次性方程组非空解即：例13. 面积问题三角的三条的方程为记的代数余子式为，求证：此三角形的面积S为其中正负号保证S为正值.证：因为三角形的三条边是两两相交的，即每两条直线的方程联立时，都有且只有唯一解，其系数行列式所以,设三角形的三个顶点为由方程组解得同理，由方程组解得由于三条两两相交，故从而，评注：线性方程组在解析几何中的应用之广泛，在解决平面与平面、平面与曲线、面积、体积等众多解析几何中的问题，大多都可以用线性方程组来解决.所以，线性方程组在解析几何学中可以说是一个重要的解题工具.3.2 线性方程组在高等代数

23、中的应用例 14.多项式整除问题 若这里的为实系数多项式，求证证：设的5个根为其中互不相同，记由假设可得： (24)将看未量，由范德蒙列式可知的系行列式不等于0故方程组只有零解，即例15. 线性相关性问题设是实域上所有实构成的线性间，讨论中函组的线相关性.解：设实数，使得分别取，得该齐线性方组的系数行式为故齐线性方程组只零解.从而线无关.3.3 线性方程组在数学模型中的应用3.3.1 投入产出数学模型 例16.某工有三个车间，各间互相提产品（或服务），今年各出厂产及对其它车间的消，如下表消耗系数车间车间出厂产量总产量0300.200.30300.100.400.10200.300.200.30

24、10表中第一列消耗系数0.30，0.10,0.30表示第1车间生产一万元的产品需分别消耗第1,2,3车间0.3万元，0.1万元，0.3万元的产品，第列、第列类同，求今各车间的总.解：记1、2、3车间出厂产量列向量为y，总产量列向量为x即消耗系数矩阵为，得由于A中各列元素之和不超过1，理论上可证(E-A)的逆矩阵存在且非负因此矩阵方程有非负解故今年、车间的总产量分别为90万元，60万元，70万元.评注：这一学模型实就是经济数中的一种型，线方程组在经学中的价也油然而生.3.3.2 人口模型例17.某场饲养的种动物所能达的最大年龄为15岁，将其成三个年龄组，第一个龄组：0-5岁；第二个年龄组：6-1

25、0岁；第三个年龄组：10-15岁；经过期统计，第二龄组的动在其年龄段平繁殖4个后代，第三个龄组的动物在其龄阶段平均繁了3个后代，第一龄组和第二龄组的动能顺利进下一个年组的存率分别为和.解：因为年分组为5步一段，故将时期也取5年，15年后就经了3个周期.设表个时间周第组年龄段动的数量.则由题设可知由莱斯利人口模型可得其中05岁的有14375头，占86.47%，610岁的有1375头，占8.27%，1115岁的有875头，占5.26%3.4 线性方程组在化学中的应用例18 化方程式表化学反应中消和产生的物的量.配平化方程式就是出一组系来使方程式的左右两边各类原子综述对应相等.下面我们通过建立能够反应方程式中各原子数目的方程，找出该方程的最简正数解，从而来配平化学反应方程式.其中，均为正整数.解：上述方式中共有K、MN、O、H，5种同原子.故在中由每一种应物和生物构成下向量：必须足：由于化学反应式取最简整数解，故取，从而3.5 线性方程组在物理学中的应用ZU 1EXY例19.求这四点的点位. 解：设电流如图所示，则有 再由点的点位用表示，则带入式（1）得方程组解方程组（2），得4.结束语本文主要讨