311_空间向量及其加减运算(1-2)

1、中学生学习报中学生学习报 数学周刊数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标人教课标A版选修版选修2-1Learning English 专业辅导，专业品质3.1.1 空间向量空间向量及其加减运算及其加减运算 AB用字母用字母 等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示ABba、定义：定义：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示； 字母表示法：字母表示法：相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量的向量 ABCD 复习复习2.平面向量的加减法

2、与数乘运算平面向量的加减法与数乘运算（1）向量的加法：）向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则ba baba a 复习复习（2）向量的减法）向量的减法三角形法则三角形法则ba ba3. 平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律)(cbacba ）（加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：abba 复习复习平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算空间向量空间向量具有大小

3、和方向的量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律abba加法交换律加法交换律加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法:三角形法则三角形法则加法结合律加法结合律成立吗？成立吗？ababab+OABbCOCOACAABOAOB空间向量的加减法空间向量的加减法abOABba 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示们可用同一平面内的两条有向线段表示. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论

4、仍适用于它们量中有关结论仍适用于它们. 平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律abba加法交换律加法交换律加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法:三角形法则三角形法则加法结合律加法结合律成立吗？成立吗？)()(cbacba abcab+c+()O

5、ABCab+abcab+c+()OABCbc+加法结合律加法结合律abba )(cbacba ）（1）加法交换律：）加法交换律：（2）加法结合律：）加法结合律：abca + b + c abca + b + c a + b b + c 空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算对空间向量的加法、减法的说明对空间向量的加法、减法的说明 空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广 两个向量相加的平行四边形法则在空间两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立仍然成立 空间向量的加法运算可以推广至若干个空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加向量相加 说明说明

6、（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA 推广推广（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA 推广推广ABCDABCDa平行六面体平行六面体的六个面都是平的六个面都是平行四边形，每个行四边形，每个面的边叫做面的边叫做平行平行六面体的棱六面体的棱平行四边形平行四边形AB

7、CD平移向量平移向量 a 到到 的轨迹所形成的几何体，叫做的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体平行六面体记记作作ABCD A B C D A B C D 平行六面体平行六面体化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB ABCDABCD例例 例题例题化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体例例DCBAABCD ；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC

8、 例题例题ABMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB 空间四边形空间四边形ABCD中中, ,M、G分别是分别是BC、CD边的中点边的中点, ,化简：化简： 练习练习ABMCGDAGMGBMAB 原式原式)1()(21 ACABMGBMAB (2)原式原式)(21 ACABMGBM MG MBMGBM 练习参考答案练习参考答案空间向量空间向量的数乘运算的数乘运算 1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量b与非零向量

9、a共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a ,称平面向量共线定理.2. 必修必修平面向量平面向量，平面向量的一个重要定理，平面向量的一个重要定理平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量量a，有且只有一对实数有且只有一对实数1、2，使，使a1e12e2.其中不共线向量其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量的一组的一组基底基底结论：结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量

10、问题，平2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。面向量中有关结论仍适用它们。1）实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量（1）当 时， a与向量a方向相同；（2）当 时， a与向量a方向相同；（3）当 时， a是零向量。例如例如: : a3 a3 a2.2.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算2. 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()( )() a babaaaaa 即即： （） FEDCBA961231P（）、（）、（）（）、（）、（） 练习 练习 OaLAPaB如图：L为经过已知点且平行非零向

11、量a的直线，对空间任意一点O，1 ， （）tROPOAta 2 ，（ ）tROPOAtAB 非零向量a叫做直线L的方向向量。（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。即即：空空间间直直线线由由空空间间一一点点及及直直线线的的方方向向向向量量唯唯一一确确定定点点P在直线在直线L上上点点P在直线在直线L上上 问题；如图；已知空间四边形ABCD中，向量AB = a， AC = b， AD =c，若M为BC的中点，G为BCD的重心，试用a、 b、 c表示下列向量：（1） DM （ 2） AGAMCGDB1)-2abc（1)3abc（ 已知平行六面体已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各

12、式的求满足下列各式的x的值的值.ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD 解 11() () ()AD ABAAABAAAD 12()ADABAA 12AC 111(3)ACABADxAC 2.x在正方体在正方体AC1中中,点点E是面是面AC 的中心的中心,若若 ，求实数，求实数x,y.AEAAxAByAD ABCDDCBAE共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做叫做共共面向量面向量. .OAaa 共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量P P与向量与向量 共面的充要条共面的充要条件是存在实数对件是存在实数对

13、 使使ba,ba,yx,ybxaP 推论推论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,y使使 OP=xAB+yAC或对空间任一点或对空间任一点O,有有 OP=OA+xAB+yAC 已知平行四边形已知平行四边形ABCD，从平面，从平面AC外一外一点点O引向量引向量 ， ， ，求证：，求证： (1) 四点四点E、F、G、H共面；共面； (2)平面平面EG平面平面AC .OAkOE OBkOF OCkOG ODkOH HGFEODCBAABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB 空间四边形空间四边形ABCD中中

14、,M、G分别是分别是BC、CD边的中点边的中点,化简：化简：ABMCGD)(21 ) 1 (BDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 空间四边形空间四边形ABCD中中,M、G分分别是别是BC、CD边的中点边的中点,化简：化简：)(21 )2(ACABAG) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (ABCDDCBAE 在正方体在正方体ABCD-ABCD中中,点点E是面是面AC的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x、y的值的值.) ( ) 1 (CCBCABxACAABCDDCBE 在正方体在正方体ABCD-ABCD中中,点点E是面是面AC的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x、y的值的值.ADyABxAAAE ) 2 (ABCDDCBAE 在正方体在正方体ABCD-ABCD中中,点点E是面是面AC的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x、y的值的值.平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则