应力与应变分析材料力学PPT学习教案

1、会计学1应力与应变分析材料力学应力与应变分析材料力学xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz应力与应变分析第1页/共33页 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyzt t t tt t t tt t t t，3.截取原始单元体的方法、原则用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；几种受力情况下截取单元

2、体方法：2.单元体上的应力分量应力与应变分析第2页/共33页PMeMePPMeMec) 同b)，但从上表面截取Ctssb) 横截面，周向面，直径面各一对Ba) 一对横截面，两对纵截面AsP/AstMe/WnABC第3页/共33页BCAPCABtBtCsCsCsAsA第4页/共33页三、应力状态分类(按主应力) 1. 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面； 主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示， 有s1s2s3。应力与应变分析旋转yxzs2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy第5页/共33页2.应力状态按主

3、应力分类： 只有一个主应力不为零称单向应力状态； 只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； 三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)； 单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。 应力与应变分析第6页/共33页一、平面应力分析的解析法 1.平面应力状态图示： sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx应力与应变分析第7页/共33页2.任意a角斜截面上的应力sxtxysysysxtyxABxyantastsxtxytyxsyxdAsx ：0tdAataatcos)cos(dAxyaatsin)sin(dAyxaascos)sin(dAyaass

4、in)cos(dAx0 ：0ndAasaatsin)cos(dAxyaatcos)sin(dAyxaassin)sin(dAyaascos)cos(dAx0sytxytyx 得 atasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx应力与应变分析第8页/共33页符号规定： a角以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s拉为正，压为负 t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位： 由主平面定义，令t =0，得： yxxyssta22tan0可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。令0asaddyxxyssta22tan0得：

5、即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。 应力与应变分析第9页/共33页 主应力大小： )(2222sstssssssxyyxyx由s、s、0按代数值大小排序得出：s1s2s3 判断s、s作用方位(与两个a0如何对应) txy箭头指向第几象限(一、四)，则s(较大主应力)在第几象限，即先判断s大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。 o90yx a aa as s s s s s s s s s s stxyssa0*txyssa0*应力与应变分析第10页/共33页4.极值切应力： 令： ，可求出两个相差90o 的 a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。0ataddx

6、yyx122tgt ts s s s a a极值切应力： 2 22xy2yxs s s s t t s s s s t tt t102tg12tga a a a(极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分析第11页/共33页 t t s sa aa aMPa3 .2060cos)20(60sin24030MPa8 .2960sin)20(60cos2403024030)1oooo解：解：403020单位：MPaasata ，主单元体如上，主单元体如上，o00321229 .144030202tgMPa3 .45 0MPa3 .35MPa3 .45MPa3 .35202403024030 )2

7、 a a a a s s s s s s s s s s s ss sMPa3 .402 )3 s s s s t tt t)(C)4o90应应力力之之和和为为常常数数元元体体任任意意垂垂直直平平面面上上正正同同一一单单讨讨论论并并证证明明： s s s s s s s s a aa a4020301 4 .9ossss 例一 图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力； 主应力并画出主单元体；极值切应力。第12页/共33页tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态 o00224502tg2020 )2 a a t t a at t t t s ss s

8、主单元体如右主单元体如右，t t s s s s s st t s s s s 0)33214)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴 线成45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。neW/MABCD)1 t t：单单元元体体围围绕绕圆圆轴轴外外表表面面一一点点取取解解：例92 分析圆轴扭转时的应力状态。 第13页/共33页二、平面应力分析的图解法应力圆 1.理论依据

9、： a at t a as s s s t ta at t a as s s s s s s s s s2cos2sin22sin2cos22xyyxy xxyyxyxx22xy2yx2y x2yxx22 t t s s s s t t s s s s s s以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx、txy为：以) 为半径的圆。 2xy2yxyx2/ )(0,2/ )(t t s s s ss s s s为为圆圆心心，以以2.应力圆的绘制： 定坐标及比例尺； 取x面，定出D( )点；取y面，定出D( )点； xyx,t ts syxy,t ts s连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直

10、径作圆； 第14页/共33页sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1sB1 s2asa,taEG1tG2 t D(sy, tyx)BAD(sx, txy)sata第15页/共33页3.应力圆的应用 点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力； 角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a; 旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同； 求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。 用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1

11、点代表s所在主平面，其转过角度为2 ，转至s轴负向B1点代表s所在主平面；*0a a 确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。第16页/共33页求：1)a=30o斜截面上的应力； 2)主应力及其方位； 3)极值剪应力。sOtD(30,-20)D(-40,20)C6 0o(29.8,20.3)MPa3 .20MPa8 .29oo3030 t t s s，35.3-45.3MPa3 .450MPa3 .35321 s s s s s s，29.8ooo*019 .142/8 .29x a as s轴夹角：轴夹角：与与40302

12、0单位：MPaxasata40.3-40.3MPa3 .40 t tt t 例93 用应力圆法重解例91题。 第17页/共33页1.三向应力状态应力圆： 平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； 平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； 平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力23113maxs s s s t t t t tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。 二、例题 第18页/共33页s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1

13、C3s1s2Otst12t23t13C2第19页/共33页 例94 试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解： 给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。 sx=300MPa，sy=140MPa，txy=150MPa，因此：MPa50390170220)150()2140300(214030022minmax s ss s根据s1、s2、s3的排列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa 第20页/共33页x

14、zyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A视s2y31o31os1xs3第21页/共33页主应力方位： o0o0o0yxxy0121231622815140300150222tg a a a a a a s s s st t a a 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或14o。 MPa170250390231max s s s s t t单元体内的最大剪应力： 第22页/共33页一、广义虎克定律1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原

15、理主应变与主应力关系： s s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e e)(E1)(E1)(E1213 3333132 2222321 1111一般情况： t t t t t t s s s s s s e es s s s s s e es s s s s s e eG/G/G/)(E1)(E1)(E1zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx，第23页/共33页s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上

16、的应变：EEE1312111s s e es s e es s e es sEEE2322212s s e es s e es s e es sE E E 3332313s s e es s e es s e es sIIIs3 s s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e es s s s s s e e e e e e e e)(E1 )(E1 )(E1 213333313222223211111第24页/共33页用应变表示应力： t t t t t te e e e e e e e s se e e e e e e e s se

17、 e e e e e e e s szxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGG1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E，上式中： )1(2EG 二、例题 例95 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。P第25页/共33页pPP/Apppp第26页/共33页MPa153MPa43. 8p321 s s s s s s， 柱内各点的三个主应力为： 求得： MPa43. 83 . 01102000

18、2. 03 . 0153p5 0002. 0E153EpEpEEE1122 s s s s s s e e 由广义虎克定律： 0002. 055001. 52 e e 在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为： MPa153)50(410300AP233 s s 解：在柱体横截面上的压应力为：第27页/共33页一、总应变比能1.有关概念： 应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用U表示；比能：单位体积的应变能，用u表示； 2.总应变比能：取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：dxdydz)(21U332211e es s e es s e es s 比能： )(21VU