8.“函数极值的应用”（高三）教学案例(唐占荣已改）

1、“函数极值的应用”（高三）教学案例1. 教学设计 1.1 教学内容分析函数极值是函数的重要性质，极值问题是实际应用问题中的优化问题.普通高中数学课程标准（实验）在选修课程系列1、系列2中“导数在研究函数中的应用”中关于“生活中的优化问题举例”，要求“通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用”,并给出一个参考案例：有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒.试把方盒的容积V表示为x的函数；求x多大时，做成方盒的容积最大. 在高中学习特别是高三复习中，极值问题不仅体现了函数、方程、不等式的综合应用，也是学生提出数学问题、

2、应用数学方法解决实际问题的丰富的情境资源. 1.2 数学情境的创设 引导情境的创设由于高三毕业班学习的特殊要求，学生依据数学情境提出的数学问题应贴近既定的教学目标，解决问题也要有针对性.设置“引导情境”可使学生提出问题避免盲目性.本节课以“好题欣赏”作为“引导情境”，让学生从近年天津、上海、福建等地的高考应用题中体会应用的设问方式，把握提问的方向，切合教学目标. 主情境的创设主情境：从边长为2a的正方形铁片的四角各截去一个边长为x的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子.主情境分3个层次，依学生提出问题的情况逐步展示.（第2层次）要求长方体的高度x与底面正方形的边长之比不超过正常数t.（第3层次

3、）（）把铁盒的容积V表示为x的函数并指出其定义域；（）x为何值时，容积V有最大值.这个情境作为七年级课本（北师大版）的课题学习：“制成一个尽可能大的无盖长方体”，也作为高一课本“函数的应用举例”中的练习题.而在高三教材（选修）中作为第二章的引言中的案例.这里把正方形边长设为2a，是为了便于计算.如果学生在展示第1层次的主情境后能提出问题，则不必展示以后的情境内容.由于情境假设中的长方体可用纸折成模型，这有利于培养学生的动手能力和交流合作，科学探究意识.可以说这是一个适应性广的情境，不同学段的学生可以提出不同层次的问题，还可以通过增设附加条件，如改变底面边长与高之比，提高设问难度，增大提出问题的

4、自由度，有利于培养学生的问题意识，把探究性学习引入课堂.1.3 课堂教学目标 依据数学情境提出相关的数学问题，建立数学模型.会利用导数（或平均值不等式）求解简单的函数极值，解决实际问题中的优化问题；渗透合作学习和交流探究意识，在提出问题和解决问题的过程中不断反思，大胆质疑，增强学习过程的批判性；情感态度目标：在折纸活动中培养“物尽其用”的环境保护观念，通过“名人名言”、“好题欣赏”体会提出问题的重要性.1.4 教具准备：ppt课件；每人一张纸片.2. 教学过程：2.1 引导情境展示 ： 名人名言：数学是人类悟性的自由创造物（恩格斯）;数学问题是数学的灵魂（希尔伯特）；问题是数学的心脏（哈尔莫斯

5、）.师：刚才同学们看到三句名人名言，这说明数学学习中数学问题是非常重要的.可以说，“提出问题比解决问题更重要.”我们先来欣赏几道好题，希望你们以欣赏的眼光来审视这个几道高考题，并注意它们如何设问. 好题欣赏：（2000天津、江西、山西）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制成容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（2004上海，理18）.(2004上海)某单位用木料制作如图的框架，框架的下部是边长分别为 x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为8m2.问x、y分别为多少（精确到0.001m)时用料

6、最省？（2004福建，理16）.(2004.福建)如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的 四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大? 师：如果说天津考题和福建考题是最优问题，那么上海考题则是最省的问题，像这样最省、最优以及效率最高等问题，我们称之为优化问题.2.2 主情境展示：请看屏幕，从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长x的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子（如图）.22axxx2ax x2a师：你们每个人都有一张纸，请你们动手折这个长方体。S1：老师，要把小正方形剪下来吗？S2：不剪也能折.师：剪下也可以，但

7、不要丢弃，可能有用.2.3 提出数学问题师：大家已经折好了纸盒，很多同学折得很快.能把长方形的纸折成正方形的纸,再折成漂亮的纸盒.这是一个不错的实物模型，请根据你刚才的操作过程提出至少一个数学问题，并注意和同桌交流.数分钟后，有学生（施盘晴）首先提出一个问题（见问题1），接着同学们把问题写在纸条上传递上来.有6个组的同学提出的问题与问题1相似或相近，其中废料利用问题（问题2）很有价值.教师选择了3个问题抄写在黑板上.2.4 解决数学问题问题1.把铁盒的体积V表示成x的函数V(x)，指出函数的定义域和单调区间.若V(x)最大，x应为多少？问题2.如果截去部分经加工后可拼成一个铁片盖，在铁片盖能将

8、盒子盖住的前提下，何时盒子的容积最大？问题3.当x=( -1)a时，求容积.（引导学生解决）问题1，长方体底边长为2a-2x，高为x，故V=x(2a-2x)2,又x>0，2a-2x>0， 0<x<a.，V(x)=4x(a-x)2 (0<x<a).V´(x)=12x2-16ax+4a2 令V´(x)=0，得x= , 或x=a（舍）.易知，x（0， ）时V(x)是增函数，x（ ， a）时V(x)是减函数，而x= 时，V´(x)=0，根据实际问题的意义可知，x = 时，V(x)有最大值 .S3（迫不急待地站起来）：求最大值用均值不等式

9、更简单！师：那你说怎么做? S3（板书）：V=22x(a-x)(a-x)2 3= a3当且仅当2x=a-x，即x= 时取得最大值.（同学们不由自主地鼓起掌来）.师：解答得很好！我们再来看问题2.将小正方形制成铁片盖，怎么加工？S4: 轧薄.杨毅诚（问题2的提问者）：不轧薄，焊接就行.不计接缝.师：好.因为铁片盖能盖住正方体，故4x2(2a-2x)2,即 x<a.V(x)=4x(a-x) 2,( x<a).师：请问，还能用均值不等式求V(x)的最大值吗？请讨论后由一位同学说明.S5：我们认为不能用三元均值不等式，因为取等号的条件是x= ， 不在函数的定义域内，应该用导数.师：如果用导

10、数求解，由问题1的解法中我们可以看到，区间 ，a)内无极值点，怎么办？讨论一下再作说明.S5：利用函数的单调性，用导数证明V(x)在 ，a)上是减函数，则当x= 时，V(x)有最大值 .师：V(x)在x = 处可导吗？S5：不可导，但在开区间（ ，a)，上可导.师：对.只要证明V(x)在（ ，a)上导数V´(x)<0并且说明在x= 处连续即可，请根据刚才的分析自已写出解答过程.师：在刚才同学们所提的问题中，问题3有解吗？众：无解.因为（ -1）a>a.师：是啊.这个问题虽然无解，但它很有价值.我想提出这个问题的同学一定联想到“黄金分割数”, 0.618，但一时想不起是（

11、-1）呢，还是 ，他想制作一个漂亮的铁盒.能想到了数学美，这很难得.师：这节课大家提出了许多很有价值的问题，我们只解决了其中几个，剩下的问题作为“研究课”内容以后再解决.（情境作业）：铁盒的高度为多少时最美观，若要求铁盒的高度与底面边长之比不超过正常数t，则x为多少时，容积V有最大值.3. 教学反思：（1）反思传统教学，改进教学方法。在素质教育思想下基于新课程理念的教学模式“教学情境提出问题”的教学实验，在兴义八中已开展多年，同伴中很多人已积累了丰富的教学经验，有很好的情境素材.但在高三毕业班的教学中使用这种模式教学还在摸索阶段，需要我们大胆尝试和探索.长期以来，毕业班学生的学习都是教师主导取

12、向的讲授式学习，其基本模式是：教师讲授（或引导回忆）基础知识，学生则以一定程度的训练量为标准，进入一种有意义、有明确目的学习状态，其最终目标是使学生掌握牢固的基础知识和基本技能.面临升学压力，教与学都具有浓厚的功利色彩和短视行为.学生负担明显过重.在知识系统的构建中缺乏主动性，教师则忽视了个体差异，在统一的试卷下重复着低认知水平的测试.学生遇题就做，不知问题从何而来，来不及对解题进行反思，逐渐形成对教师经验的依赖，被动接受教师讲授的知识。这种教学模式必须改进！（2）应用“情境问题”教学，促进高三学生的数学获得。“情境问题”教学模式成为在教师主导取向的讲授式学习与学生主导取向的活动课学习之间寻找

13、中间地带的范例.它把问题置于情境之中，学生学习中把置疑提问、自主学习贯穿全程，而教师导学中把激发兴趣、反思矫正贯穿全程.学生在教师提供数学情境引导下进行活动操作.通过行为体验获得数学问题，再经过教师引导使问题获得解决.在对情境的感知中将自已默会的知识通过提出问题得到显化，达到与他人进行数学交流的目的.教师则在问题的选择中适时介入，完成或贴近教学目标.因此，“情境问题”不仅有利于学生形成默会知识促进数学获得，也在不断的质疑提问、反思矫正中提高了学生的正迁移水平.（3）充分用好主情境，促进学生的探究性学习。本节课是学校安排的新课程“课堂达标”公开课，要求各学科（当时无课）的老师都参加听课.由于在文

14、、理科不同教学要求的班级进行“情境问题”教学.所以，数学情境应具有熟悉性和宽广的适用性.同时又要结合高三毕业班的点，在引导学生提出问题时要有目标性，因此设置“引导情境”是必要的.主情境是不同学段的学生都熟悉的折纸问题.这是一个开放性的数学情境.通过折纸形成实物模型（活动产品）使学生提问置于真实情境之中.而折纸本身又会产生新的情境：对产品如何选择形状选择：如何设定底边长与高之比？高为多少时铁盒最美观？如何用数学来描述铁盒的美观？大小选择：体积最大还是用料最省？当剪下的废料能制成盖子后是否体积最大？等等，形成“情境问题情境”学习链，让学生在学习中探究。但本节课在提出问题之后，在解决问题的选择上片面

15、追求目标性，对“废料利用”问题（最有价值问题，同伴评语）未予足够重视，拓展不宽.没有用视频展台展示学生提出的问题，失去了让学生自主选择和交流探索的机会.由于学生提出的问题很多，分成两节课来上效果会更好，这样学生有充分的思考时间提出的问题会更有创造性，更有价值，把提出的问题交给学生，让他们解决自己提出的问题有利于把研究性学习引入课堂.高中毕业班进行“数学情境一提出问题”教学实践，有利于在讲授式学习与活动式学习中找到平衡点.参考文献：1杨孝斌，吕传汉，汪秉彝.三论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习J数学教育学报，2003，10（4），76-792中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（实验

16、）S.北京：人民教育出版社2003.4 (贵州兴义市第八中学 562400)点 评：素质教育不排斥“应试”；当前面对高考的高三数学教学中又该怎样体现提高学生的素质呢？这是一个值得深入探讨的问题。作者在反思中指出：“长期以来，毕业班学生的学习，其基本模式是：教师讲授（或引导回忆）基础知识，学生则以一定程度的训练量为标准，进入一种有意义、有明确目的学习状态。面临升学压力，教与学都具有浓厚的功利色彩和短视行为，学生负担明显过重。在知识系统的构建中缺乏主动性，教师忽视个体差异，在统一的试卷下重复着低认知水平的测试。学生遇题就做，不知问题从何而来，来不及对解题进行反思，逐渐形成对教师经验的依赖，被动接受教师讲授的知识。”为了改变这种状态，作者大胆尝试，利用数学“情境问题”教学改进高三的教学：（1）变数学学习的被动接受为主动索取唐老师应用学生熟悉的折纸活动，创设一个开放的“主情境”“无盖的长方体盒子”，引导学生在此实物情境中，从“形状选择”与“大小选择”两个维度进行开放性思考，促进学生在“情境问题情境问题”学习链中探究，获得了良好的效果。既使学生较为