.高中数学 第三章 简单线性规划的应用 ppt课件

1、解线性规划运用问题的普通步骤：解线性规划运用问题的普通步骤：2设好变元并列出不等式组和目的函数设好变元并列出不等式组和目的函数3由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4在可行域内求目的函数的最优解留意整数解的调整在可行域内求目的函数的最优解留意整数解的调整1理清题意，列出表格：理清题意，列出表格：5复原成实践问题复原成实践问题 准确作图，准确计算准确作图，准确计算画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法法1 1：移在线性目的函数所表示的一组平行线中，利用平移的：移在线性目的函数所表示的一组平行线

2、中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法法2 2：算线性目的函数的最大小值普通在可行域的顶点处获：算线性目的函数的最大小值普通在可行域的顶点处获得，也能够在边境处获得当两顶点的目的函数值相等时最优解得，也能够在边境处获得当两顶点的目的函数值相等时最优解落在一条边境限段上。此法可弥补作图不准的局限。落在一条边境限段上。此法可弥补作图不准的局限。运用运用1 1有关二元一次代数式取值范围有关二元一次代数式取值范围解：由、同向相加可得：解：由、同向相加可得：531026xx即 求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.假设

3、实数假设实数x,y满足满足4264yxyx 由得由得 24xy将上式与同向相加得将上式与同向相加得 20 y+ +得得1226yx以上解法正确吗？为什么？以上解法正确吗？为什么？首先：我们画出首先：我们画出4264yxyx表示的平面区域表示的平面区域 当当x=3,y=0时时,得出得出2x+y的的最小值为最小值为6,但此时但此时x+y=3,点点3,0不在不等式组的所不在不等式组的所表示的平面区域内表示的平面区域内,所以上所以上述解答明显错了述解答明显错了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB4 yx4264yxyx但不等式但不等式与不等式与不等式

4、2053yx所表示的平面区域却不同？所表示的平面区域却不同？扩展了许多！扩展了许多！从图中我们可以看出从图中我们可以看出3502xy没错没错解得解得经过分析，我们知道上述解法中，经过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用是对的，但用x的最大的最大(小小)值及值及y的最大的最大(小小)值值来确定来确定2x+y的最大的最大(小小)值却是不合理的。值却是不合理的。2y01026及x 怎样来处置这个问题和这一类问题呢？这就怎样来处置这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。是我们今天要学习的线性规划问题。求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.假设实数假设实数x,y满足满足426

5、4yxyx y1234567x6543210-1-1-2-2-3-42 yx4 yx4yxADCB我们设我们设我们设我们设z=2x+y方程变形为方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为等式表示斜率为-2,纵截距为纵截距为z的直线的直线,把把z看成参数看成参数,方程表示的是一组平行线方程表示的是一组平行线要求要求z的范围，如今就的范围，如今就转化为求这一组平行线中转化为求这一组平行线中,与阴影区域有交点与阴影区域有交点,且在且在y轴上的截距到达最大和最轴上的截距到达最大和最小的直线小的直线.6 yx2l0l1ll 由图，我们不难看出，这由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为种直线的纵截距

6、的最小值为过过A3,1的直线，纵截距的直线，纵截距最大为过最大为过C5,1的直线。的直线。所以所以11152maxz7132minz过过A(3,1)时，由于时，由于z=2x+y，所，所以以7132z同理，过同理，过B(5,1)时，由于时，由于z=2x+y，所以，所以11152zy1234567x6543210-1-1-24yx-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB0l1l2l解：作线形约束条件所表解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如以以示的平面区域，即如以以下图四边形下图四边形ABCD。作直线，：020 yxl所以，111527132maxminzz求得求得 A3,1 B4,0 C5

7、,1 D4,2可使到达最小值，将直线0l平移，平移到过A点0l1l的平行线与yxz 2重合时，到达最大值。可使yxz2当0l平移过C点时，与0l2l的平行线重合时，例例1.假设实数假设实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范的取值范围围4264yxyx解法2：由待定系数法: 设 2x+y=mx+y+nx-y =m+nx+m-nym+n=2，m-n=1 m=3/2 ，n=1/2 2x+y=3/2x+y+ 1/2 x-y4x+y6，2x-y472x+y11例例1.假设实数假设实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范的取值范围围4264yxyx例例1:某工厂消费甲、乙两种产品某工厂消费甲、乙两种产品

8、.消费甲种产品消费甲种产品1t需需耗费耗费A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；消费乙种产；消费乙种产品品1吨需耗费吨需耗费A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲甲种产品的利润是种产品的利润是600元元,每每1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是1000元元.工厂在消费这两种产品的方案中要求耗费工厂在消费这两种产品的方案中要求耗费A种矿种矿石不超越石不超越300t、耗费、耗费B种矿石不超越种矿石不超越200t、耗费煤、耗费煤不超越不超越360t.甲、乙两种产品应各消费多少准确甲、乙两种产品应各消费多少准确到到0.1t,能使利润总额到达最大能使利润总额到达最

9、大? 甲产品甲产品 1t 乙产品乙产品 1t 资源限额资源限额 tA种矿石种矿石t B种矿石种矿石t 煤煤t 利润元利润元 产品产品耗费量耗费量资源资源列表：列表：51046004491000300200360设消费甲、乙两种产品设消费甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元运用运用2有关利润最高、效益最大等问题有关利润最高、效益最大等问题例题分析例题分析 甲产品甲产品 1t 乙产品乙产品 1t 资源限额资源限额 tA种矿石种矿石t B种矿石种矿石t 煤煤t 利润元利润元 产品产品耗费量耗费量资源资源列表：列表：51046004491000300200360把题中限

10、制条件进展转化：把题中限制条件进展转化：约束条件约束条件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y. 目的函数：目的函数：设消费甲、乙两种产品设消费甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元xtyt例题分析解解:设消费甲、乙两种产品设消费甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z=600 x+1000y. 元元,那那么么10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线作出一组平行直

11、线 600 x+1000y=t，解得交点解得交点M的坐标为的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答答:应消费甲产品约应消费甲产品约12.4吨，乙产品吨，乙产品34.4吨，能使利润总额到达最大。吨，能使利润总额到达最大。12.4,34.4经过可行域上的点经过可行域上的点M时时,目的函数目的函数在在y轴上截距最大轴上截距最大.9030 0 xy10 201075405040此时此时z=600 x+1000y获得最大值获得最大值.运用运用3有关本钱最低、运费最少等问题有关本钱最低、运

12、费最少等问题14,77xymin282116zxy幻灯片幻灯片13幻灯片幻灯片140:28210lxy0ly21zz7751476xyxy0 0y y0 0, ,x x0 0. .0 06 60 0. .0 07 7y y0 0. .1 14 4x x0 0. .0 06 60 0. .1 14 4y y0 0. .0 07 7x x0 0. .0 07 75 50 0. .1 10 05 5y y0 0. .1 10 05 5x x0 0y y0 0, ,x x6 67 7y y1 14 4x x6 61 14 4y y7 7x x5 57 7y y7 7x x2 21 1z zx x3 3

13、4 4y y前往幻灯片前往幻灯片12线性规划的运用练习：线性规划的运用练习： 1、：、：-1a+b1，1a-2b3，求，求a+3b的取值范围。的取值范围。解法1：由待定系数法: 设 a+3b=ma+b+na-2 b =m+na+m-2nbm+n=1，m-2n=3 m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3a+b-2/3a-2 b-1a+b1，1a-2 b3-11/3a+3 b1解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2， -32 b-a-1 -1/3a5/3 -4/3b0 -13/3a+3 b5/3 ：-1a+b1，1a-2b3，求，求a+3b的取值范围。的取值范围。32121

14、1babababa解法2 约束条件为：目的函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即 -11/3a+3 b1xy02x+y-600=0300600 x+2y-900=0A100,4002.某家具厂有方木材某家具厂有方木材90m3，木工板，木工板600m3，预备加工成书桌和书橱出卖，消，预备加工成书桌和书橱出卖，消费每张书桌需求方木料费每张书桌需求方木料0.1m3、木工板、木工板2m3；消费每个书橱需求方木料；消费每个书橱需求方木料0.2m3，木工板木工板1m3，出卖一张书桌可以获利，出卖一张书桌可以获利80元，出卖一张书橱可以获利元，出卖一张书橱可以获利120元；元；1怎样布置消费可以获利

15、最大？怎样布置消费可以获利最大？2假设只消费书桌可以获利多少？假设只消费书桌可以获利多少？3假设只消费书橱可以获利多少？假设只消费书橱可以获利多少？1设消费书桌设消费书桌x张，书橱张，书橱y张，利张，利润为润为z元，元， 那么约束条件为那么约束条件为 0.1x+0.2y900.1x+0.2y902x+y6002x+y600 x x，yNyN* *Z=80 x+120yZ=80 x+120y作出不等式表示的平面区域，作出不等式表示的平面区域，当消费当消费100张书桌，张书桌，400张书橱时利润最大为张书橱时利润最大为z=80100+120400=56000元元2假设只消费书桌可以消费假设只消费书

16、桌可以消费300张，用完木工板，可获利张，用完木工板，可获利 24000元；元；3假设只消费书橱可以消费假设只消费书橱可以消费450张，用完方木料，可获利张，用完方木料，可获利54000元。元。将直线将直线z=80 x+120y平移可知：平移可知：900450求解：求解：产品产品 资源资源甲种棉纱甲种棉纱吨吨x乙种棉纱乙种棉纱吨吨y资源限额资源限额吨吨一级子棉吨一级子棉吨21300二级子棉吨二级子棉吨12250利润元利润元6009003 某纺纱厂消费甲、乙两种棉纱，消费甲种棉纱某纺纱厂消费甲、乙两种棉纱，消费甲种棉纱1吨吨需耗一级子棉需耗一级子棉2吨、二级子棉吨、二级子棉1吨；消费乙种棉纱吨；

17、消费乙种棉纱需耗一级子棉需耗一级子棉1吨、二级子棉吨、二级子棉2吨，每吨，每1吨甲种棉吨甲种棉纱的利润是纱的利润是600元，每元，每1吨乙种棉纱的利润是吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在消费这两种棉纱的方案中要求耗费一元，工厂在消费这两种棉纱的方案中要求耗费一级子棉不超越级子棉不超越300吨、二级子棉不超越吨、二级子棉不超越250吨吨.甲、甲、乙两种棉纱应各消费多少准确到吨，能使利乙两种棉纱应各消费多少准确到吨，能使利润总额最大润总额最大? 解：设消费甲、乙两种解：设消费甲、乙两种棉纱分别为棉纱分别为x吨、吨、y吨，吨，利润总额为利润总额为z元，那么元，那么0025023002yxyxyxZ=

18、600 x+900y作出可行域，可知直作出可行域，可知直线线Z=600 x+900y经过经过点点M时利润最大。时利润最大。解方程组解方程组25023002yxyx得点得点M的坐标的坐标x=350/3117y=200/367答：应消费甲、答：应消费甲、乙两种棉纱分别乙两种棉纱分别为为117吨、吨、67吨，吨，能使利润总额到能使利润总额到达最大。达最大。4、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡、咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡、咖啡5g、糖、糖10g每天每天原料的运用限额为奶粉原料的运用限额为奶粉3600g ，

19、咖啡，咖啡2000g糖糖3000g,假设假设甲种饮料每杯能获利甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每元，每天在原料的运用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种天在原料的运用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？饮料各多少杯能获利最大？ 解：将数据列为下表：解：将数据列为下表： 耗费量资源甲产品甲产品1 杯杯乙产品乙产品(1杯杯)资源限额资源限额g奶粉奶粉g g9 94 436003600咖啡咖啡(g)(g)4 45 520002000糖糖(g)(g)3 3101030003000利润元利润元0.70.71.21.2 产品产品设每天应

20、配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y y杯，那么杯，那么003000103200054360049yxyxyxyx作出可行域：作出可行域：目的函数为：目的函数为：z =0.7x +1.2yz =0.7x +1.2y作直线作直线l:0.7x+1.2y=0l:0.7x+1.2y=0，把直线把直线l l向右上方平移至向右上方平移至l1l1的位置的位置时，时，直线经过可行域上的点直线经过可行域上的点C C，且与原，且与原点间隔点间隔 最大，最大，此时此时z =0.7x +1.2yz =0.7x +1.2y取最大值取最大值解方程组解方程组 得点得点C C的坐标为的坐标为200200，240240,3000103,200054yxyx_0_ 9 x + 4 y = 3600_ C (200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y煤矿煤矿 车站车站甲煤矿甲煤矿元元/吨吨乙煤矿乙煤矿元元/吨吨运量运量万吨万吨东车站东车站10.8280西车站西车站1.51.6360产量万吨产量万吨200300例例2.甲、乙两煤矿每年的产量分别为甲、乙两煤矿每年的产量分别