第二章概率论解析答案习题解答（精编版）

1、.第二章随机变量及其分布i 教学根本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.ii习题解答a 组1、检查两个产品，用t 表示合格品，f 表示不合格品，那么样本空间中的四个样本点为优选 .1( f , f ) 、2(t , f ) 、3( f ,t )以 x 表示两个产品中的合格品数.(1) 写出 x 与样本点之间的对应关系；、4(t ,t )(2) 假设

2、此产品的合格品率为p ，求p( x1) ？解： (1)10 、21 、31 、42 ；(2)p( x1)c 1 p(1p)2 p (1p) .22、以下函数是否是某个随机变量的分布函数？0x21(1)f (x)22x0 ；(2)1f (x)1(1x2x0x) .解： (1) 显然f (x) 是单调不减函数；0f ( x)1 ，且f ()0 、f ()1 ；f ( x0)f ( x) ，故f ( x) 是某个随机变量的分布函数.(2) 由于f ()01，故f (x) 不是某个随机变量的分布函数.3、设 x 的分布函数为f ( x)a(1e x )x0 0x0求常数 a 及p(1x3) ？解：由f

3、 ()1 和 limxa(1e x )a得a1 ；p (1x3)p( x3)p( x1)f (3)f (1)(1e3)(1e 1)e 1e 3 .4、设随机变量x 的分布函数为f ( x)0ax 21x00x1x1求常数 a 及p(0.5x0.8) ？解：由f (10)f (1)得a1 ；p (0.5x0.8)p(x0.8)p( x0.5)f (0.8)f (0.5)0.820.520.39 .5、设随机变量x 的分布列为p(xk)a(kn1,2, n )求常数 a ？解：由pi1 得i 1na1k 1 na1.6、一批产品共有100 个，其中有 10 个次品，求任意取出的5 个产品中次品数的

4、分布列？ 解：设 x 表示 5 个产品中的次品数，那么x 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、 5，且p( x0)05cc1090c5100、 p( x1)14c c1090c5100、p( x2)23c c1090c5100、 p( x3)32cc1090c5、100p( x4)41c c1090c5、100p( x5)50c c1090c5100于是 x 的分布列为ck c5 kp( xk)1090(kc51000,1,5) .7、设 10 件产品中有2 件次品，进展连续无放回抽样，直至取到正品为止，以x 表示抽样次数，求(1) x 的分布列；(2) x 的分布函数？解： (1) 由

5、题意知x 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且p( x1)84 、105p( x2)288 、10945p( x3)2181109845于是 x 的分布列为12348154545xp(2) 由(1)可知 x 的分布函数为f ( x)0 x141x25.442x3451 x38、设随机变量x 的分布函数为0 x10.21x1f ( x)0.31x20.52x31 x3求 x 的分布列？解： x 的分布列为-11230.20.10.20.5xp9、某大楼装有5 个同类型的供水设备，调查说明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1 ，求在同一时刻(1) 恰有 2 个设备被使用的概率；(2)

6、 至少有 3 个设备被使用的概率；(3) 至多有 3 个设备被使用的概率？解：设 x 表示被同时使用的供水设备数，那么x b(5,0.1)(1) 恰有 2 个设备被使用的概率为p(x2)c 2 (0.1) 2 (0.9) 30.0729 ；5(2) 至少有 3 个设备被使用的概率为p(x3)p( x3)p(x4)p( x5)555c 3 (0.1)3 (0.9) 2c 4 (0.1)4 (0.9)c 5 (0.1)5 (0.9) 00.00856 ；(3) 至多有 3 个设备被使用的概率为p(x3)1p( x4)p( x5)1c 4 (0.1)4 (0.9)c 5 (0.1)5 (0.9) 0

7、0.99954 .5510、经历说明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50 个座位， 但预定给了52 位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解： 设 x 表示预定的52 位顾客中不来就餐的顾客数，那么x b(52,0.2)，由于 "顾客来到餐厅没有座位等价于"52 位顾客中至多有1 位不来就餐，于是所求概率为p(x1)p( x0) p(x1)c 0 (0.2) 0 (0.8) 52c1 (0.2)1 (0.8) 510.0001279.525211、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3 的泊松分布，求(1) 在一周内恰好发生2

8、次交通事故的概率；(2) 在一周内至少发生1 次交通事故的概率？解：设 x 表示该城市一周内发生交通事故的次数，那么x p (0.3)(1) 在一周内恰好发生2 次交通事故的概率0.32p( x2)e 0.32!0.0333 ；(2) 在一周内至少发生1 次交通事故的概率0.30p( x1)1p( x0)1e 0.30!0.259 .12、设 x 服从泊松分布，p( x1)p( x2) ，求p( x4) ？解：由p( x1)p( x2) 得2ee22p( x4)2 e 244!0.0902 .13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40 件进展检查，假设发现两件或两件以上不合格品就拒收

9、这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：(1) 用二项分布作准确计算；(2) 用泊松分布作的似计算？解：设 x 表示抽取的40 件产品中的不合格品数，那么x b (40,0.02)(1) 拒收的概率为p(x2)1p( x0)p( x1)1c 0 (0.02) 0 (0.98) 40c 1 (0.02) 1(0.98) 390.1905 ；4040(2) 由于400.020.8 ，于是拒收的概率为p(x2)1p( x0)p( x1)1e 0.80.8e0.80.1912 .14、设随机变量x 的密度函数为2xf ( x)00x1其它求 x 的分布函数？x解：由 f ( x)f (t )dt 得当

10、x0 时xxf ( x)f (t)dt0dt0当 0x1时f ( x)xf (t)dt00dtx 2tdtt 2 |xx2当 x1 时xf ( x)f (t)dt00dt012tdt0x 0dtt2 |11010于是所求分布函数为0x0f ( x)x210x1 .x115、设随机变量x 的密度函数为f ( x)2(11 )1x2x20其它求 x 的分布函数？解：由当 xf ( x)1时xf (t )dt 得xxf ( x)f (t)dt0dt0当 1x2时f ( x)xf (t )dt10dtx2(11 )dt2(t1x2(x12)2) |11ttx当 x2 时f ( x)xf (t )dt1

11、0dt22(11 )dtx0dt2(t121于是所求分布函数为0f ( x)2( x1x12)11t 22x1x2 .x2) |1t16、设随机变量x 的密度函数为f ( x)a cos xx220其它求(1) 常数 a ； (2)x 的分布函数；(3)p(0x)？ 4解： (1) 由f (x)dx1得20dtacosxdx0dtasin x |22a12222a1 ；2(2) 当 x时2xxf ( x)当22f (t)dtx时20dt0f ( x)xf (t)dt0dtx 1 costdt1 sint |x1 sin x1当 x时222 22222f ( x)xf (t)dt0dt21 co

12、stdt2 2x0dt21 sin t |2 122于是所求分布函数为f ( x)0x21 sin x1x；2222(3)1p(0x) 4p( xx2)p( x40)f ()4f (0)1 sin11 sin 012 .24222417、设随机变量x 的分布函数为0f ( x)ln x 1x11xe xe求(1)p(0x3) 、p(x2) 、p(2x2.5) ； (2)x 的密度函数？解： (1)p (0x3)p( x3)p( x0)f (3)f (0)101p(x2)p( x2)p( x2)f (2)ln 2p(2x2.5)p(2x2.5)f (2.5)f (2)ln 2.5ln 2ln 5

13、 ；4(2) 由于在f ( x) 的可导点处，有f (x)f ( x) ，于是 x 的密度函数为f ( x)11xex.0其它18、设 k u (1,6) ，求方程 x2kx10 有实根的概率？解：由k u(1,6) 得 k 的密度函数为11k6f (k)50其它又由于方程x2kx10 有实根等价于k 240 ，即 | k|2 ，于是方程有实根的概率为p (| k|2)p( k2)p( k2)2f (k)dkf2(k) dk6 14dk.2 5519、调查说明某商店从早晨开场营业起直至第一个顾客到达的等待时间x (单位： 分钟)服从参数为0.4 的指数分布，求下述事件的概率(1) x 至多 3

14、 分钟；(2) x 至少 4 分钟；(3) x 在 3 分钟至 4 分钟之间；(4) x 恰为 3 分钟？解： (1)x 至多 3 分钟的概率为p(x3)f (3)1e 0.4 31.21e；(2)x 至少 4 分钟的概率为p(x4)1p( x4)1f (4)1(1e 0.4 4 )1.6e；(3) x 在 3 分钟至 4 分钟之间的概率为p (3x4)p(x4) p( x3)f (4)f (3)(1e0.4 4 )(1e 0.4 3 )e 1.21.6e；(4)x 恰为 3 分钟的概率为p(x3)0 .20 、 设x n (0,1)， 求 以 下 事 件 的 概 率p( x2.35)；p(

15、x1.24)；p(| x |1.54) ？解： p( x2.35)(2.35)0.9906 ；p(x1.24)(1.24)1(1.24)10.89250.1075 ；p (| x|1.54)p(1.54x1.54)(1.54)(1.54)(1.54)1(1.54)2(1.54)120.938210.8764 .21、设 x n (3,4)，(1) 求p (2x5) 、p(| x|2) 、p( x3) ；(2) 确定 c ，使得 p( xc)p(xc)； (3) 假设 d 满足p(xd)0.9 ，那么 d 至多为多少？23x353解： (1)p(2x5)p()222(1)(0.5)(1)(0.5

16、)10.84130.691510.5328p(| x|2)1p(| x|2)1p(23x323)2221(0.5)(2.5)1(0.5)(2.5)10.69150.99380.6977p(x3)1p( x3)1p( x333)221(0)10.50.5 ；(2) 由p( xc)p( xc) 得1p( xc)p( xc)0.5p( xc)p( x3c3( c3)c302222c3；(3) 由 p( xd)0.9 得0.9p(xd)1p( xd)1x3d3d3p()1()( d3)0.11( 3d)0.122222( 3d )0.923d1.2822d0.436 .22、从甲地飞住乙地的航班，每天

17、上午10:10 起飞，飞行时间x 服从均值为4h ，标准差为 20min 的正态分布 .(1) 该航班在下午2:30 以后到达乙地的概率；(2) 该航班在下午2:20 以前到达乙地的概率；(3) 该航班在下午1:50 至 2:30 之间到达乙地的概率？ 解： (1) 该航班在下午2:30 以后到达乙地的概率为p(x260)p( x240260240 )1p( x2401)2020201(1)10.84130.1587 ；(2) 该航班在下午2:20 以前到达乙地的概率为p(x250)p( x240250240)(0.5)0.6915；2020(3) 该航班在下午1:50 至 2:30 之间到达

18、乙地的概率为p(220x260)p( 220240x240260240)202020(1)(1)2(1)120.841310.6826 .23、某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩(百分制 )近似地服从n (72,2 ) ， 96 分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60 分至 84 分之间的概率？解：设考生的外语成绩为x ，那么x n (72,2 )由 96 分以上的人数占总数的2.3%得0.023p( x96)0.977p(x96)p( x729672 )( 24)24212于是，考生的成绩在60 分至 84 分之间的概率为p(60x84)p( 6072x728472)12121

19、2(1)(1)2(1)120.841310.6826 .24、设随机变量x 的分布列为x02p0.250.50.25求 ycos x 的分布列？解：由 x 的分布列可得ycos0cos() 2cos()于是 y 的分布列为p0.250.50.25y10-1p0.250.50.2525、设随机变量x 的分布列为-2-10120.10.20.30.20.2xp求 yx 2 的分布列？2解：由 x 的分布列可得2y(2)(1)021222p0.10.20.30.20.2将一样值合并得y 的分布列为4100.30.40.3yp26、设随机变量x 的密度函数为3 x 2f x ( x)201 x1其它求

20、随机变量 yx3的密度函数？解：由题意知，当y2 时，有fy ( y)p(yy)0当 2y4 时，有fy ( y)p(yy)p( x3y)p( xy3)fx ( y3)当 y4 时，有fy ( y)p(yy)1即y 的分布函数0y2fy ( y)fx ( y13)2y4y4于是， y 的密度函数fx ( y3)2y4fy ( y)3 ( y2fy ( y)3)20其它2 y4.0其它27、设随机变量x u (0,1)，求随机变量yex的密度函数？解：由题意知，当y1 时，有fy ( y)p(yy)0当 1ye时，有fy ( y)p(yy)xp(ey)p( xln y)fx (ln y)当 ye

21、时，有fy ( y)p(yy)1即y 的分布函数0y1fy ( y)fx (ln1y)1ye ye于是， y 的密度函数fx (lny)1yefy ( y)fy ( y)0其它11yey.0其它28、随机变量x 的密度函数为xf x ( x)ex00x0求随机变量yx 2 的密度函数？解：由于yx 20 ，故当 y0 时，有fy ( y)p(yy)0 ；当 y0 时，有fy ( y)p(yy)p( x 2y)p(yxy)yf x ( x)dxye x dxy01ey即y 的分布函数fy ( y)1eyy0 0y0于是， y 的密度函数1eyy0fy ( y)fy ( y)2y.0y029、设随

22、机变量x n (0,1) ，试求随机变量y| x | 的密度函数？解：由于 y| x |0 ，故当 y0 时，有fy ( y)p(yy)0 ；当 y0 时，有fy ( y)p(yy)p (| x |y)p(yxy)2( y)1即y 的分布函数2( y)1y0fy ( y)0y0于是， y 的密度函数fy ( y)2fy ( y)y 22( y)y00y0e2y0.0y0b 组1、a2、b3、 d4、b5、b6、b7、c8、 c9、c10、c11、设随机变量x 的分布函数为0af ( x)2x11x1a1x23abx21且 p( x2)，求常数 a 、 b ？2解：由f ()1及p(xa)f (

23、 a)f (a0) 得f()ab1p( x2)f (2)f (20)(ab)( 2a)132a b12ab761a6 .b 5612、设随机变量x 的分布列为x123求常数 a ？p0.512aa 2解：由pi1 得i 10.512aa212a12再由 12a021a，可得2a1.213、口袋中有5 个球，编号为1、2、3、 4、5，从中任取3 个，以 x 表示取出的3 个球中的最大 .(1) 求 x 的分布列；(2) 求 x 的分布函数？解： (1) 由题意知x 是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5，且p( x3)2cc152310 、p( x4)2cc353310 、p( x5)2

24、c64c5310于是 x 的分布列为3450.10.30.6xp(2) 由(1)可知 x 的分布函数为f ( x)0 x30.13x4.0.44x51 x514、设随机变量x 的密度函数为f ( x)|x|ce a (a0)求(1) 常数 c ； (2)x 的分布函数；(3)p (| x|2) ？解： (1) 由f (x)dx1得|x|f (x)dx2ce a dx2cexa dx2ac100c1；2a(2) 当 x0 时x1x|t|1xt1xf ( x)f (t)dte a dtea dtea当 x0 时x2a10|t|2a21x|t |f ( x)f (t)dtea dtea dt10t2a1xt2a01xea dte a dt1e a2 a2a02a1 exx01于是 f ( x)2；x1e ax0 212122(3)p(| x |2)p(2x2)f (2