2006典型例题解析--第3章静定结构位移计算解析

1、第3章静定结构位移计算3-1基本概念3-1-1虚拟单位力状态构造方法虚拟单位力状态构造方法：（1 1）去掉所有荷载重画一个结构；（2 2）标出所求位移矢量；（3 3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。如图 3-1a3-1a 刚架求 C C 点竖向位移“CV和 C C 截面转角(a)(b)1;：C，图 3-1b3-1b 和图 3-1c3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。3-1-2位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力:FN, M , FQ, FRi实际荷载作用下，引起的内力：FNP, Mp, FQP位移计算一般公式nC求CV&jFNdu+E十瓦【FQds 瓦FR

2、iCi荷载作用产生位移的计算公式也=瓦（巳旦勺5+送jMds+Z J竺邑dSEAElGA1 1、 梁或刚架结构2 2、 桁架结构A =11EA2结构力学典型例题解析3 3、混合结构MMP,dsEl支座移动引起位移计算公式温度引起位移计算公式t八FN：todx亠二HMdx ht tolFN式中：为线膨胀系数,to形心温度，氏温差，h h 截面高度AM虚拟状态弯矩图面积有弹性支座情况的位移计算公式.八MJds FRFREl业-FR鱼Elk3-1-3图乘法图乘法公式：(-)AyEl图乘法公式条件：等截面直杆且 EI=EI=常数求y。图形必须为一条直线图 3-23-2 图乘法示意图正负号确定:面积 A

3、 A 与y。同侧取“+ +”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。为使计算过程简洁、 明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。4结构力学典型例题解析第3章静定结构位移计算3第3章静定结构位移计算5M M求D竖向位移.DV例题 3 31 1 图【解】求 B B 截面转角:BEIEI1A2y2A3y3_ 13q l3EI EI EI - 6EI(顺时针)求 D D 点的竖向位移:M MPds八一Ay0ElEl二A% * Z + Z二7ql4)-EI EI EI_6EI ”d d 所示）。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做虚功，由于刚架仅需要计算弯曲内力

4、虚功，先;作虚拟单位力产生的弯矩图 （如图 c c、d d 所示）。 ；图乘法应用：为使计算过程简洁、明了，先 :将面积和形心处对应弯矩求岀标在弯矩图一;侧， 然后直接代入图乘法公式求得位移。:特别注意：计算面积的图形需要找形心位:置，MpMp 图 ACAC 杆面积用梯形减对称抛物线面:积，但形心位置不易计算，由于虚拟力状态的 ；ACAC 杆弯矩为常数，因此本题 ACAC 杆不用计算 :确切形心位置。；正负号选择：面积弯矩图与弯矩 y y 在相同一 :侧做正功取正号（若不在同侧时，内力虚功为 :负，就应取负号）。;位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。【例题3-13-1】

5、计算图示结构 B B 转角和 D D 点竖向位移。ql2CEIEID*-EIEIEIEIA气1L-1(c)1C2=1D(d)(b)ql2y3=1y1=1Cy2= ?y3=lql28CA2=qlAsa2:.0.50.5qlMP图BA A1=2ql3；【分析】；利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个:与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算:虚内力在实际变形上所做的内力虚功， 对于荷；载作用下刚架的位移计算， 仅需计算在弯曲变:形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯:矩图（如图 b b 所示）。:构造单位力状态：每求一个位移重新画一个:结构，将所求位移矢量（矢量方向任意假定）:画在结构相应位置处

6、，标单位力值，即得到与 所求位移对应的虚拟单位力状态（分别如图 c c、yi=0Aiy6结构力学典型例题解析B B 点的竖向位移(b)B(c)CMAM点竖向位移所对应的虚拟单位力状态分别如图例题 3 32 2 图A求 A A 点的竖向位移【分析】利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个 与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算【例题 3-23-2】分别计算图示结构 A A 点（a）解求 B B 点的竖向位移d d、c c 所示。注意：BC杆段抗弯刚度为 2 2EI，相应分母用 2EI2EI 计算面积的图形，要确定形心位置，对应求 弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常 数时，求面积图形不必确

7、定形心位置）y2=l求 B B 点竖向位移：图 b b 和图ABAB 段为常数虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷 载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯 曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生42c c 作图乘，M图M MP图 ABAB 段求面积 A A2不必确定形和一个对称抛物线），面积分别为的弯矩图（如图 b b 所示）。 构造单位力状态：A A 点、B Bi.5i.5ql2ql3A，形心对应的M图弯矩 y y3、y y4、y y5。M图弯矩 y yi。M图 ABAB 段为直线，M MP图 ABAB 段的面积分成三块面积如图 e e 所示（两个三角5 5ql2形心位置；M图 BC

8、BC 段为斜直线，M Mp图 BCBC 段 求面积 A A1，并确定形心位置，求对应的M图 弯矩求 A A 点竖向位移：M图 BCBC 段为直线，M Mp图 BCBC 段求面积A A1，并确定形心位置，求对应4l4=33ql3ql2Mp图A=4时A23彳3ql 8A5=12一(e)Aql28M Mp._ Ay。- ds二EIEIAyi、Z| 人4丫4!人5丫5=53ql4”2EI EI EI EI 24EI MMPds，Ay。JEIEIAy | i =3ql4”2EI EI_2EI AqFTEIEIlB2ly5=Jql32C Aql2B2EI2EIly/y/1 1B第3章静定结构位移计算78结

9、构力学典型例题解析【例题 3-33-3】计算图示结构CEEIEIDEIEIEIEIA A 的转角位移。各杆 EIEI = =常数。(b)(c)F0.50.5M_ 1D0.50.5B： 0.50.5C=21= 3例题 3 3 3 3 图【解】求 A A 截面转角:A1y12A2y2| . -EI EI2MI Ml_312理顺时针）40.50.5 M MDBM I人2=一80.50.5 M ME0.50.5 M M/A A1=MlMAMMP图【分析】构造单位力状态：能够在转角上做功的力是力 偶，与 A A 截面转角位移对应的单位力状态如图 c c 所示。虚拟单位力做外力虚功等于所求位移。虚拟单位力

10、状态的内力在实际变形上做内力虚功，刚架仅需要计算弯曲内力虚功，作虚拟 单位力产生的弯矩图（如图 c c 所示）。荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图b b 所示）。图乘法应用：本题两个弯矩图都为直线图形， 可以选其中任一个计算面积，另一个求弯矩值，:由于 ACAC 杆直接图乘形心不易计算， 本题对 ACAC、DBDB 杆件进行一些特殊处理，方法如下：将 DBDB 杆件弯矩图搬到 ACAC 上面（如图虚线 部分）变成 AFAF,两个图都是三角形， 图乘，三角形的形心容易确定，这样 次图乘就可以了；可以直接ACAC、DBDB 一CECE、EDED 两个杆件图乘结果相同，一个即可。为使计算过程简

11、洁、明了，先将面积；和形心处对应弯矩求岀后标在弯矩图一侧，然后;直接代入图乘法公式求得位移。|符号选取：图形在同侧内力虚功为正值，位移|与虚拟力方向相同。只需计算第3章静定结构位移计算9(b)BI IGCJI II(c)510.5例题 3 34 4 图解本题桁架上部体系与地基之间只有三个联I I 顺序列投影平衡条件得到0.5在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作荷载是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法FNFPI【例题 3-43-4】 计算图示结构 I I 点竖向位移。各杆 EI=EI=常数。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就EDED、GFGF 两个杆件为零杆，可先求得系，可先求出支座反

12、力，BJBJ 杆件轴力在 B B 处分解2Fp成 X X、Y Y 方向再对 A A 点取矩可以方便求得；其它 杆件轴力利用结点法按照 A A、C C、E E、D D、F F、G G标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力 状态（如图 c c 所示）。位移计算公式应用：桁架结构位移计算仅有轴 力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为 负），对于杆件是等截面同材料，不需要作积分运单位力产生的轴力图（如图 b b、c c 所示）作荷载、单位力轴力图： 利用虚力原理计算位 移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚 功，对于求桁架结构由荷载产生的位移，只计算-0.5-0.5-0.5-0.5【分析构

13、造单位力状态：重新画一个结构（如图 c c 所 示），将所求位移矢量画在结构相应位置处 I I 点，-0. 51.5 M102算，对所有杆件求和即可，要注意使用每个杆件 的长度、弹性模量、面积。y-2DFPFI13.38FPlEA 3八FNFNS八FNFNP丨” EAEA田X.A0 +( -0.5) xEA 233/FP7汽j3FptpF4彳了1FP3FpP10结构力学典型例题解析CED【例题 3-53-5】 图示结构 B B 支座发生沉降，计算 A A 的转角位移和 C C 点水平位移。(C)(b)CB1B例题 3 3 5 5 图【解】 A A 的转角位移： A =FRiCi - 2?a b

14、；打(a 2b)【分析】构造单位力状态：每个位移重新画一个结构（如图 b b、c c 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应位置处， 标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状 态。求 A A 处角位移的单位力状态如图 b b 所示，求 C C 点水平位移的单位力状态如图 c c 所示。静定结构因支座移动影响只发生刚体位移，不产生变形。虚拟力状态的内力也就不做内力虚功，在此情况下不需要作内力图，虚拟力状态的支座反力在位移 状态的支座位移上将做外力虚功；只需要求岀对应有支座移动的约束反力即可；支座不发生移动的，对应 虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图 a a 体系的几何组成为三

15、刚片类型 ; 结构，也称作三铰刚架。计算反力要用双截面法取两 次隔离体，本题只需要 B B 支座反力，计算过程为：（位移方向与虚拟单位力相同，顺时针） C C 点水平位移：CH FRG-0.5 a 1 b=-0.5a -b（位移方向与虚拟单位力相反，向右）（1 1）先取整体 ACDBACDB 隔离体，对 A A 点列力矩平衡条 件，求出 B B 竖向反力；再取一个刚片 EDBEDB 隔离体，对 E E 点列力矩平 衡条件，求出 B B 水平反力。正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚 功，相反做负功。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注意：位移计算公式支反力虚功前

16、面的负号，是公式自带的。本来是内力虚功为零，外力虚功项在公式 左端，移到右端加负号。12结构力学典型例题解析9k k)ElElCBl lElElA1AAPll(d)(c)BCB1Ak(1iM图M图y3Mp图Fp2ly2=3Fpl22ly1 = -3Ell3y2=1(b)Fpl第3章静定结构位移计算【例题 3-63-6】计算图示结构k例题 3 36 6 图A A 点水平）。也可以将弹性支座按支座移动处理。（位移方向：逆时针）相同做正功，方向相反做负功。FRB= 11计算虚内需要作荷【解】（位移方向：向右）部分；单位力产生的弹性支座反力FR,在弹簧变形 上做内力虚功，其内力虚功等于力FR乘以位移，

17、弹 簧位移厶等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度ds +瓦FRpk【分析】构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如 图 c c、d d 所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处， 标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求 B B 处角位移的单位力状态如图 c c 所示，求位移的单位力状态如图 d d 所示。内力虚功：刚架在荷载作用下的位移计算，力在实际弯曲变形上所做的内力虚功，为此，载、单位力产生的弯矩图。弹性支座计算：可以将弹性支座的弹簧当作结构的一5Fpl3:、.-M MpB=EI、FRB*FRP B二FP2=3AH.冒心 FR八-Ay、FRFRPB B 转角和 A A

18、点水平位移（其中弹簧刚度为位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求 位移的方向。注意：弯矩图在图乘时求面积 A A 图与 y y 在同一侧取 正号，在不同侧取负号。_弹簧内力虚功符号：两个支座反力FR、FRP方向（C）(b)BCA2 =AM图FN图M图FN图例题 3 3 7 7 图_ l 0C0101B【例题 3-73-7】计算图示结构 B B 转角和 C C 点水平位移。已知线膨胀系数为a。1010 C C2020【解】to AC = 2(tit2)=5 C ,toBC=15 C_tAC=t2b =30 C , LtBC=10 C B B 截面的转角位移： A t=瓦 际口讥乂+瓦()

19、M dx hthal=al 5(1)x10 x-h2匚i 5al_ 5al h(转角位移方向：顺时针)C C 点水平位移：CH八F todx亠.一ir M Ldxht八：WFN亠_ 厂h,2al=:l 5 130h 2al2- 10h2i 1g2= 5：l lh【分析】构造单位力状态：每个位移需要重新画一个 结构（如图 b b、c c 所示），将所求位移矢量画在 结构相应位置处，标单位力值， 移对应的虚拟单位力状态。求 单位力状态如图 b b 所示，求 位力状态如图 c c 所示。作内力图：对刚架由于温度改变引起的位移 计算，要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴向 变形两种因素对位移的影响，也就是

20、要计算虚 拟单位力状态的内力在弯曲、轴向变形上做的 内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力 图（如图 c c、d d 所示）；轴力标在杆件一侧。内力虚功正负号选择：弯矩图面积和杆件两 侧温度差都取正值，杆件温度升高大的一侧与 弯矩图在同侧时内力虚功为正，取正号，在不 同侧时取负号。轴力以拉力为正（压力为负） 符号不用选择。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向 就是所求位移的方向。注意：若杆件截面不对称时截面形心不在中 间位置，需确定截面形心位置，以便计算截面 形心处的温度；杆件两侧温度差的计算与截面 是否对称无关。即得到所求位B B 处转角位移的C C 点水平位移的单14结构力学典型例题解

21、析（水平位移方向：向右）第3章静定结构位移计算15FPI(b)(a)G.2F.2F- FpFPI0 0(d)(c)o oCDA1CD3ElEAds、ds求 E E 点的竖向位移例题 3 38 8 图选择按照图乘法，桁架杆轴力拉力为正（压力序进行。当附属部分不受外力时，也没有内力为负）正负符号，代入M图M图FpI注意：FGFG 杆件有弯矩，按照梁式杆计算。解求 C C 点的竖向位移成为基附型结构，基本部分是简支梁，附属部 分为桁架。内力计算时按照先附属后基本的顺FP状态如图 c c 所示，求 E E 点竖向位移的单位力状位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向 就是所求位移的方向。结构内力计算：本

22、题为组合结构，其几何组【分析构造单位力状态：求 C C 点竖向位移的单位力（如图 b b、c c 所示）。位移计算：梁式杆利用图乘法求，正负符号桁架杆件作轴力图，FGFG 杆件当作梁式杆件处理态如图 d d 所示。作内力图：对组合结构梁式杆件作弯矩图【例题 3-83-8 计算图示结构 C C 点和 E E 点的竖向位移。El=El=常数，EA=EA=常数。CV二、=EV八y1 = 3E0 0F0 0ly1 =3FpE0 0FNFNPdsMMPds、FPE0 0 x xM MPEIFP_MP图FNP图2l32l3CD十丨+八二如八EIFNFNPEA3_ FPI _ FPI一3EI EACA=Fp

23、l2A1y1FP( T)lEI EA-Ay- - XEI=Ay Fpl3EI 3EIE| -1X0 0_316结构力学典型例题解析【例题 3-93-9 计算图示结构 D D 点竖向位移和IIE10CcF2020 CC11-IC-*+*D B1E21.F(C)FN图-1Di1.2丨12 l12l2 例题 3 39 9 图解t0CD-20C,t0EF10C D D 点的竖向位移=、FN；tdx = FN-HOI=:l( 10 0 20)2二-5：l（竖向位移方向：向上）AEAE 杆件的转角位移 AE = FNtodx = - toFNl11=：丨(一：10 - 20)2ll=一15用:顺时针）AE

24、AE 杆件的转角【分析构造单位力状态：重新画一个结构（如图 b b、c c 所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值。求 D D 点竖向位移对应的虚拟单位力状 态如图 b b所示；桁架只作用结点荷载，不能施加 单位集中力偶，用一对力形成单位力偶，即求 AEAE 杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图c c 所示。计算单位力产生的轴力图：利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力 虚功，对于求桁架结构由温度改变产生的位移， 只存在在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作 单位力产生的轴力图（如图 b b、c c 所示）。位移计算公式应用：桁架结构位移计算公式仅 有轴力项，轴力

25、要带符号计算（以拉力为正、压 力为负），温度以升高为正，温度不改变杆件不用 计算，本题只需计算 EFEF、CDCD 两杆件。位移实际方向：结果为负时虚拟单位力相反方向是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法I本题桁架上部体系与地基之间只有三个联i系，可先求岀支座反力，其它杆件轴力利用结点 法取结点作隔离体，按照 A A、C C、B B、D D、F F 顺序 列投影平衡条件求岀各个杆件的轴力。同一个结构的计算方法与几何组成有关，而 :与其上面的作用力无关， 即如图 b b、c c 所示两个结 构的轴力计算方法相同。13(C)GDFEGDEJ.10 0ABB：14m20mm(b)GDFEBC0.5

26、0.50.50.514m , 4m- *+*-第3章静定结构位移计算0mm-0.5-0.5例题 3 31010 图Fv二Mdx亠二iFNdx亠Qdx- FRiCi ADAD 杆件的转角：解 F F 点的竖向位移：AD八.Mdx亠二FNdx亠二.Qdx MFRC【分析构造单位力状态：求 F F 点竖向位移的单 位力状态如图 b b 所示；由于制造误差和支 座移动使结构产生刚体位移，ADAD 杆件任一 点转角相等，因此，求 A AD D杆件转角位移 的单位力状态如图 c c 所示。I:静定结构因制造误差和支座移动影响只:发生刚体位移，不产生变形，虚拟力状态 的内力不做内力虚变形功，也就不需要作 内

27、力图；有制造误差的杆件将产生内力虚 功，需计算相应的虚内力；虚拟力状态的 支座反力在位移状态的支座位移上将做外 力虚功，需要求岀对应有支座移动的约束 反力；支座不发生移动的，对应虚拟力状 态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图 a a 体系为基附型刚架， ADEADE 为附属部分，BFCBFC 为基本部分按三刚 片组成。要按照先附后基的原则计算。附属部分满足二刚片规则用截面法求，基本 部分用双截面法（取两次隔离体）计算。正负号选择：力和位移都是矢量，方向 相同作正虚功，相反做负功；制造误差以 伸长为正，轴力以拉为正。注意：位移计算公式支反力虚功前面的 负号，是公式自带的。有制造误差，内力 虚功不为零，内力虚功、 外力虚功的符号 由力、位移的正负符号决定，相同做正功。FNdxFRiGFNf“Fg=(-0.5) (-15mm)-0.5-20 mm0.5-10 mm；= 22.5 mm【例题 3-103-10 图示结构 EBEB 杆件制造短了 1515 mmmm，支座 C C 下沉, 计算 F F 点竖向位移和AD杆件的转角。.FNdx-為FRiG=為F/A-FRiG= 0.2