1.数字电子技术基础知识

1、1 数字电子技术基础知识1.1 学习要求（ 1）了解数字电路的特点以及数制和编码的概念。（ 2）掌握逻辑代数的基本运算法则、基本公式、基本定理和化简方法。（ 3）能够熟练地运用真值表、逻辑表达式、波形图和逻辑图表示逻辑函数，并会利用卡诺图化简逻辑函数。1.2 学习指导本章重点：（ 1）逻辑函数各种表示方法之间的相互转换。（ 2）逻辑函数的化简及变换。本章难点：（ 1）逻辑函数各种表示方法之间的相互转换。（ 2）逻辑函数的化简及变换。本章考点：（ 1）逻辑函数各种表示方法之间的相互转换。（ 2）逻辑函数的化简及变换。1.2.1 数字电路概述1数字信号与数字电路在数值上和时间上均连续的信号称为模拟

2、信号，对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。在数值上和时间上均不连续的信号称为数字信号，对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。数字电路的特点：（ 1）输入和输出信号均为脉冲信号，一般高电平用1 表示，低电平用0 表示。（ 2）电子元件工作在开关状态，即要么饱和，要么截止。（ 3）研究的目标是输入与输出之间的逻辑关系，而不是大小和相位关系。（ 4）研究的工具是逻辑代数和二进制计数法。2数制及其转换（ 1）数制基数和权：一种数制所具有的数码个数称为该数制的基数，该数制的数中不同位置上数码的单位数值称为该数制的位权或权。十进制：基数为10 ，采用的10 个数码为09 ，进位规则为

3、“逢十进一”，从个位起各位的权分别为100、 101、 102、,10n -1。二进制：基数为2，只有0 和 1 两个数码，进位规则为“逢二进一”，从个位起各位的权分别为20、 21、 22、, 2n-1。16 进制：基数为16 ，采用的16 个数码为09 、 af ，进位规则为“逢十六进一”，从个位起各位的权分别为160、 161、 162、, 16n-1。（ 2）数制之间的转换其他进制转换为十进制：采用多项式求和法，即将其他进制的数根据基数和权展开为多项式，求出该多项式的和，即得相应的十进制数。十进制整数转换为其他进制：采用除基数取余数法，即将十进制整数连续除以其他进制的基数，求得各次的余

4、数，直到商为0 为止，然后将先得到的余数列在低位、后得到的余数列在高位，即得相应的其他进制数。二进制与16 进制之间的转换：将16 进制转换为二进制数，每一个16 进制数码用 4 位二进制数表示即可；将二进制整数转换为16 进制数，从低位开始，每4 位为一组转换为相应的16 进制数即可。3编码将数值、文字、符号及一些特定操作等信号用二进制数码来表示称为编码。将 十 进 制 的10 个 数 码 分 别 用4 位 二 进 制 代 码 表 示 称 为 二 - 十 进 制 编 码 ， 也称bcd码。常用的bcd 码有8421 码、余3 码、格雷码、2421 码、 5421 码等。8421码的10 个十

5、进制数码与自然二进制数一一对应，即用二进制数的0000 1001来分别表示十进制数的0 9，它是一种有权码，各位的权从左到右分别为8、4、 2、 1，若8421 码各位分别为a3、 a2、 a1、 a0，则它所代表的十进制数的值为：01231248aaaan其他bcd码中， 2421 码和5421 码是有权码，余3 码由8421 码加3 得来，是无权码，格雷码的特点是从一个代码变为相邻的另一个代码时只有一位发生变化。1.2.2 逻辑代数逻 辑 代 数 是 分 析 和 设 计 数 字 电 路 的 数 学 工 具 是 。 逻 辑 代 数 也 用 字 母 （ a， b，c， , ）表示变量，但变量的

6、取值只有0 和 1 两种，分别代表两种相反的逻辑状态。逻辑代数表示的是逻辑关系，不是数量关系。在逻辑代数中只有逻辑乘（与运算）、逻辑加（或运算）和逻辑非（非运算）3 种基本运算，其他的基本公式和定理是根据这 3 种基本运算推导出来的。1逻辑代数的公式和定理（ 1）基本运算与运算：00aaa1aaa0aa或运算：aa011aaaa1aa非运算：aa（ 2）基本定理交换律：baababba结合律：)()(bcacababc)()(cbacbacba分配律：acabcba)()(cababca吸收律：abaabababa)(aabaabaa)(abbaa)(babaa反演律（摩根定律）：baabba

7、ba2逻辑函数的表示方法逻辑函数有真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图和卡诺图5 种表示形式，只要知道其中一种表示形式，就可转换为其他几种表示形式。（ 1）真值表：真值表是由变量所有可能的取值组合及其对应的函数值构成的表格。真值表的列写方法是：将n 个变量的2n种不同的取值按二进制递增规律排列起来，同时在相应位置上填入函数的值即可。（ 2）逻辑表达式：逻辑表达式是由逻辑变量和与、或、非3 种运算符联接起来构成的式子。根据真值表写逻辑表达式的方法是：取1f（或0f）的输入变量组合 到 逻辑 表达 式。 对于每一 种取 值组 合而 言，输入 变量 之间 是与 逻辑关系 。对 应于1f，如果输入变量的

8、值为1，则取其原变量；如果输入变量的值为0，则取其反变量。而后取乘积项。各种取值组合之间是或逻辑关系，故取以上乘积项之和。（ 3）逻辑图：逻辑图是由表示逻辑运算的逻辑符号构成的图形。根据逻辑表达式画逻辑图的方法是：逻辑乘用与门实现，逻辑加用或门实现，逻辑非用非门实现。如判偶函数cabcbabcacbaf，需要3 个非门来实现变量a、 b、 c 的非运算， 4 个与门来实现与运算cbax、bcay、cbaz和cabw，另外还需1个或门将上述4 项相加，逻辑图如图1.1 所示。& 1f111&ccbbaaxyzwabc图 1-1 判偶函数的逻辑图根据逻辑图写逻辑表达式的方法是：从输

9、入端到输出端，逐级写出各个门电路的逻辑表达式，最后写出各个输出端的逻辑表达式。（ 4）波形图：波形图是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平构成的图形。（ 5）卡诺图：将逻辑函数真值表中的各行排列成矩阵形式，在矩阵的左方和上方按照格雷码的顺序写上输入变量的取值，在矩阵的各个小方格内填入输入变量各组取 值 所 对 应 的 输 出 函 数 值 ， 这 样 构 成 的 图 形 就 是 卡 诺 图 。 2 变 量 的 异 或 函 数bababaf、 3 变量的判偶函数cabcbabcacbaf以及4 变量的函数dcbdaf的卡诺图分别如图1.2 （ a）、（ b）、（

10、 c）所示。3逻辑函数的化简逻辑函数通过化简得到的最简与或表达式中，所含与项的数目最少，而且每个与项的变量数目也最少。逻辑函数的化简有公式法和卡诺图法等。01001110ab0 001111 00101010101ab c000111100 001000 101101 101001 00100a bc da b c 图 1-2 逻辑函数的卡诺图a- 异或函数的卡诺图b- 判偶函数的卡诺图c-dcbdaf的卡诺图（ 1）公式化简法：公式化简法是运用逻辑代数的基本公式和定理来化简逻辑函数 。 公 式 化 简 法 有 并 项 法 （ 应 用1aa） 、 配 项 法 （ 应 用)(bbaa、 加 项

11、法（应用aaa）、吸收法（应用aaba）等方法。（ 2）卡诺图化简法：卡诺图化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，在卡诺图上通过并项操作将函数化简。卡诺图化简法的原则是：画出逻辑函数的卡诺图后，将卡诺图中2n（0n、 1、2、 3、, ）个值为1 的相邻小方格圈起来，圈内小方格个数应尽可能多，圈的个数应最少，每个新圈必须包含至少一个在已圈过的圈中没有出现过的小方格，每个小方格可被圈多次，最后将代表每个圈的与项相加，即得所求函数的最简与或表达式。1.3 习题解答1.1 将十进制数75 转换成二进制和16 进制数。分析将十进制整数转换成二进制数采用除2 取余法，转换成16 进制数除了采用除16 取余法

12、，也可从所得的二进制数每4 位一组直接转换为16 进制数。解首先将十进制数75 转换成二进制数。将十进制整数75 连续除以2，求得各次的余数，直到商为0 为止，然后将先得到的余数列在低位、后得到的余数列在高位，即得相应的其他进制数。转换过程可用短除法表示，如图7.3 所示。所以：210)1001011()75(将十进制数75 转换成16 进制数，可采用除16 取余法：75 除以16 ，得商4 及最低位的余数11 （ 16 进制数b），再将商4 除以 2，得商0 及余数4，所以：1610)b4()75(1.2 将下列各数转换成十进制数：(101)2， (101)16。分析将其他进制数转换为十进制

13、数采用多项式求和法。解将 (101)2转换成十进制数，为：10100122)5()212021()101(将 (101)16转换成十进制数，为：101001216)257()161160161()101(275余 数237,1低 位218,129,024,122,021, 00, 1高 位图 1-3 习题 1.2 解答用图1.3 将二进制数110111 、 1001101分别转换成十进制数和16 进制数。解将二进制数110111 、 1001101转换成十进制数，分别为：10100123452)55()212121202121()110111(101001234562)77()21202121

14、202021()1001101(将二进制数110111 、 1001101转换成16 进制数，分别为：162)37()110111(162)d4()1001101(1.4 将十进制数92 转换成二进制码及8421 码。分析十进制数与8421 码的转换按位转换即可。解将十进制数92 转换成二进制码用短除法表示，如图7.4 所示。292余 数246,0低 位223,0211,125,122,121, 00, 1高 位图 1-4 习题 1.4 解答用图所以：因为9 的 8421 码为1001 ， 2 的 8421 码为0010 ，所以，将十进制数92 转换成8421 码为：842110)100100

15、10()92(1.5 数码 100100101001作为二进制码或8421 码时，其相应的十进制数各为多少？210)1011100()92(解数码 100100101001作为二进制码时，其相应的十进制数为：10100358112)2345()2121212121()011001001010(数码100100101001作为8421 码时，其相应的十进制数为：108421)929()011001001010(1.6 利用真值表证明下列等式。（ 1）)(babababa（ 2）cbacbaa)(（ 3）1cbacbacbabcacbacbacababc（ 4）accbbaaccbba分析利用真值

16、表证明等式的方法是：列出等号两边函数的真值表，看看是否完全相同，完全相同则等式成立，否则等式不成立。解（ 1）设babaf1，)(2babaf，真值表如表1-1 所示。由表1-1可知，对于变量a、 b 的每一种取值，f1与 f2的值完全相同，所以原等式成立。表 1-1 习题 1.6 （ 1）的真值表 a bf1f2 0 0 0 1 1 0 1 10 1 1 0 0 1 1 0 （ 2） 设)(1cbaaf，cbaf2， 真 值表 如表1-2所 示 。 由 表1-2可知，对于变量a、 b、 c 的每一种取值，f1与 f2的值完全相同，所以原等式成立。表 1-2 习题 1.6 （ 2）的真值表a

17、b cf1f20 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 （ 3）设cbacbacbabcacbacbacababcf1，12f真值表如表1-3 所示。由表1-3 可知，对于变量a、 b、 c 的每一种取值，f1与 f2的值完全相同，所以原等式成立。表 1-3 习题 1.6 （ 3）的真值表a b cf1f20 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0 1 0 11 1 01 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （ 4）设accbbaf1，accbbaf2

18、，真值表如表1-4 所示。由表1-4可知，对于变量a、 b、c 的每一种取值，f1与 f2的值完全相同，所以原等式成立。表 1-4 习题 1.6 （ 4）的真值表a b c f1f20 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1.7 在下列各个逻辑函数表达式中，变量a、b、c 为哪些种取值时函数值为1？（ 1）acbcabf（ 2）cbabbaf)(（ 3）cbacbacbaabcf（ 4）cacbbaf分析列出函数的真值表，即可一目了然地看出变量为哪些种取值时函数值为1。解（ 1）函数的真值表

19、如表1-5 中的1、 2 两列所示，可见当变量a、b、c 的取值分别为011、 101、110、111 时函数值为1。（ 2）babcacbbabacbabbaf)()()(，函数的真值表如表1-5中的 1、3 两列所示，可见当变量a、b、c 的取值分别为011、100、101 时函数值为1。（ 3）函数的真值表如表1-5 中的1、 4 两列所示，可见当变量a、b、c 的取值分别为 001、 010、 100、111 时函数值为1。（ 4）函数的真值表如表1-5 中的1、 5 两列所示，可见当变量a、b、c 的取值分别为 000、 001、 010、100 时函数值为1。表 1-5 习题 1.

20、7 的真值表a b cffff 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1.8 利用公式和定理证明下列等式。（ 1）acabcabcbaabc（ 2）ecdaedccdacbaa)(（ 3）dcbacbbadddcab)()(（ 4）addccbbadcbaabcd分析利用逻辑代数的公式和定理，由等式右边的表达式推导出左边的表达式，或者由等式左边的表达式推导出右边的表达式。解（ 1）acabbbacccabcabcbaabc)(

21、)(ecdaecdcdaecdcdaaedccdacbaa)()2(dcbadcbbcaabccbcabadabccbcabaddabdabccbbadddcab)()()()3(dcbaabcddaacdcbccabaaddccbbaaddccbba)()()()()4(1.9 某 4 个逻辑函数的真值表如表1-6 所示，试分别将表中各逻辑函数用其他4种方法表示出来，并将各函数化简后用与非门画出逻辑图。表 1-6 习题 1.9 的真值表a b cf1f2f3f40 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 10 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1

22、 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 分析由逻辑函数的真值表可直接写出逻辑表达式并画出波形图和卡诺图，而逻辑图则需要根据逻辑表达式才能画出。解由真值表写出各函数的逻辑表达式，化简后转化为与非形式，为：cbcacbcacbcacabcbacbaf1abccbacbacbaabccbacbacbaabccbacbacbaf2cabcabcabcbacabcababccabcbabcaf3acbcbaacbcbaacbcbaabcbcacbacbaf4由各函数的逻辑表达式画出逻辑图，如图1-5 所示。f1abc&1abc&111&c c

23、 b b a af2abcf3&abcf4&1图 1-5 习题 1.9 的逻辑图（ 3）由真值表画出各函数的波形图，如图1-6 所示。abcf1f2f3f4图 1-6 习题 1.9 的波形图（ 4）由真值表画出各函数的卡诺图，如图1-7 所示。00011 1100000111001ab c0001111 00010111010ab ca b00011 1100001010111ab c0001111 00011110010ab cc d图 1-7 习题 1.9 的卡诺图a- f1的卡诺图 b-f2的卡诺图 c-f3的卡诺图 d- f4的卡诺图1.10 用公式法将下列各逻辑函数化

24、简成为最简与或表达式。（ 1）abccabbcacbaf（ 2）abccbaf（ 3）abdcdabcdabdacf（ 4）dadabacbaf（ 5）bcbbbaaf)()(（ 6）bcbaabcf（ 7）)(babaabcbaf（ 8）)(dbadbababaabf分析公式化简法有并项法（应用1aa）、配项法（应用)(bbaa、加项法（应用aaa）、吸收法（应用aaba）等方法，其关键在于熟练掌握逻辑代数的基本公式和定理。解（ 1）abcaccabbbcaabccabbcacbaf)()(（ 2）1abcabcabccbafcdabcabdaccdabcddabdacabdcdabcdab

25、dacf)()3(（ 4）dbaaadcbadadabacbaf)()1(（ 5）bbbcbbabbcbbbaaf)()(（ 6）bacbabacbbaabcbcbaabcf)(（ 7）01)(aabaabacababaabcbaf（ 8）badbadbabadbadbababaabf)()(1.11 用卡诺图法将下列各逻辑函数化简成为最简与或表达式。（ 1）cbadabacdbadcabf（ 2）dcbaabddcbbaf（ 3）cbadbcdabdcbcdbaf（ 4）dcbadcbadcbadcbaf（ 5）cbbcaaccabf（ 6）)()(badcabdcdbbaf（ 7）acdb

26、cabdabcf)()(（ 8）cbabcacbacbaf分析卡诺图化简法时画圈（并项）的原则是：圈内相邻小方格个数为2n个，圈内小方格个数应尽可能多，圈的个数应最少，每个新圈必须包含至少一个在已圈过的圈中没有出现过的小方格，每个小方格可被圈多次，最后将代表每个圈的与项相加，即得所求函数的最简与或表达式。解（ 1）卡诺图如图1-8 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：dacabaf（ 2）卡诺图如图1-9 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：adcbbaf000 11 1100 000000 100001 111011 01111abcd0001111 000000001110011111

27、0101111abc d图 1-8 习题1.11 （ 1）的卡诺图图 1-9 习 题 1.11 （ 2）的卡诺图（ 3）卡诺图如图1-10 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：dbadcadbf（ 4）卡诺图如图1-11 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：dbf000 11 1100 001000 111011 110011 00110abcd0001111 0001001010000110000101001abc d图 1-10 习题1.11 （ 3）的卡诺图图 1-11 习 题 1.11 （ 4）的卡诺图（ 5）先将函数化为与或表达式，为：ccabcbcbacacabcbbcaacc

28、abf)()(卡诺图如图1-12 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：cf（ 6）先将函数化为与或表达式，为：dbabcdabddcbcbabadcabdcdbbaf)()(卡诺图如图1-13 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：bcdabddbacbadcf或：bcdcabdbacbadcf00011 11 00100111001abc00011 11 0001100011010111110101001abcd图 1-12 习题1.11 （ 5）的卡诺图图 1-13 习 题 1.11 （ 6）的卡诺图（ 7）先将函数化为与或非表达式，为：acdabcbcdbdaabcacdbcabdab

29、cf)()(卡诺图如图1-14 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：dbdacabaf（ 8）卡诺图如图1-15 所示，由卡诺图得化简后的逻辑表达式为：cbcaabf00011 11 0001111011001111100101101abcd0 001111 00000111011ab c图 1-14 习题1.11 （ 7）的卡诺图图 1-15 习 题 1.11 （ 8）的卡诺图1.12 将 1.10 题中各化简以后的逻辑函数转换为与非表达式，并画出相应的逻辑图。分析将逻辑函数的与或表达式两次取反，应用摩根定理即可转换为与非表达式。解（ 1）caabcaabcaabf，逻辑图如图1-16 所示。（ 2）11f，逻辑图如图1-17 所示。fabc&111f1图 1-16 习题 1.12 （ 1）的逻辑图图 1-17 习 题 1.12 （ 2 ）的逻