高数竞赛试题集

1、高等数学竞赛一、填空题 若 limsin x (cos xb)5 ，则 a =， b =x 0 exa(n1)x , 则 f ( x) 的间断点 为 x 设 f (x)limnnx 2 1 曲线 y=lnx上与直线 xy1垂直的切线方程为 已知 f(ex )xe x ，且 f (1)= 0,则 f ( x)= 设 函数 y(x) 由 参数方程xt 33t1确定 ,则曲 线 yy( x) 向上 凸的 x 取值yt33t1范围 为 设 yarctan exlne2x，则 dye2x1dx x11若 x0时， (1ax2 ) 41与 x sin x 是等价 无穷小 ，则 a=.x21x1 设 f (

2、x)xe,22 ，则2f (x1)dx111 , x22nn 由定积分 的定义知， 和式 极限 lim1n2k2nkdxx x211二、单项选 择题11 把 x0xx 2t dt,x3 dt ，使排在 后面的时的无穷小量cost 2 dt,tansint000是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【】(A), .(B), ,.(C),.(D), ,.12 设 函数 f(x) 连续 ，且 f(0)0,则存在0，使 得【】(A)f(x)在（0，)内单调增加.（ B ） f(x) 在 (,0) 内 单调减少 .（ C ）对 任意的 x(0,) 有 f(x)>f(0) .(D)对任 意 的

3、x(,0) 有 f(x)>f(0) .13 . 设 f ( x)x(1 x) ,则【】（ A ） x0 是 f ( x) 的极值点 ,但 (0,0) 不是 曲线 yf ( x) 的拐点 .（ B ） x0 不 是 f ( x) 的极值 点 ,但 (0, 0)是曲线 yf ( x) 的拐点 .（ C ） x0 是 f ( x) 的极值点 ,且 (0,0) 是曲 线 yf ( x) 的拐 点 .（ D ） x0 不是 f ( x) 的极值点 ,(0,0) 也不 是曲线 yf ( x) 的拐点 .14 .lim ln n (11)2 (12)2(1n) 2等于【】nnnn2（B） 22ln x

4、dx .（C） 22ln(1x) dx . （ D ）22 (1 x)dx（ A ）ln 2 xdx .1ln11115 .函 数 f ( x)| x | sin(x2)在下列哪个区间内有界 .【】1)( x2)2x( x(A) (1,0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).116 .设 f ( x) 在 (, + ) 内有 定义，且 limf (x)a ，g( x)f ( x) , x0，则【】x0 , x0(A)x = 0必是 g( x) 的第一 类间断 点 .(B)x = 0 必是 g( x) 的第二类间 断 点 .(C)x = 0必是 g( x)

5、的连续 点 .(D) g( x)在点 x = 0 处的连续 性与 a 的取值 有关 .17 .设f ( x) 在 a , b 上 连续，且 f(a)0,f (b)0，则下列结论 中错误的是【】(A)至少存在 一点 x0( a, b) ，使得 f ( x0) > f ( a).(B)至少 存在一点 x0( a, b) ，使得 f (x0 ) >f ( b).(C)至少 存在一点 x0( a, b) ，使得 f (x0 )0 .(D)至少存在 一点 x0( a, b) ，使得 f ( x0) = 0.1 , x0x18 . 设 f ( x)0 , x0 ， F ( x)f (t )dt

6、 ，则 【】1 , x00(A)F ( x) 在 x = 0点不连续.(B)F (x)在 (, +) 内连续，但 在 x = 0点不可导.(C)F (x)在 (, +) 内可导，且 满足 F ( x)f ( x) .(D)F ( x) 在 (, +)内可导，但不一定满足 F(x)f ( x) .三、解 答题x19 求极限 lim12cosx1.x0x3320设函数f ( x) 在 （,）上有定义,在区间0, 2上,f ( x)x( x24) ,若 对 任 意 的 x 都 满 足f ( x) k f ( x 2) , 其 中 k 为常数 .( ) 写出 f ( x) 在 2, 0 上的表达 式

7、; ( ) 问 k 为何 值时 ,f ( x) 在 x0处可导.21 设 f （ x）， g （ x）均在 a, b上连 续，证明柯西 不等式b2b2 (x) dxbg 2 (x)dxf ( x)g ( x)dxfaaa22 设 ea b e2 , 证明 ln 2 b ln 2 a42 (b a) .exe xe23 曲线 y与直线 x0 , xt ( t0)及 y0 围成一曲 边梯形 . 该曲边 梯形 绕 x 轴 旋转一周得 一旋转 体 ,其2体积为 V (t ) ,侧面积 为 S(t ) ,在 xt 处的底 面积 为 F (t ) . ( ) 求 S(t) 的值 ;( )limS(t )

8、.V (t)tF (t )xf (t )dtxbb24 设 f ( x) ,g( x) 在 a, b 上连 续，且满足g (t)dt ， x a , b) ，f (t)dtg (t)dt .aaaabxf (x)dxb证明 ：axg ( x)dx .a25 某种飞 机在 机场 降落 时，为了减 少滑行 距离 ，在 触地的瞬间 ，飞机尾部 张开 减速伞 ，以 增大阻 力， 使飞 机迅速减速并停 下 . 现有一 质量 为 9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的 速度成 正 比（ 比例系 数为 k6.0 106 ). 问从着陆点 算 起，

9、飞 机滑行的最 长距离 是多少？ 注 kg 表示千克，km/h表示千米/小时 .高等数学竞赛试卷一、单项选择 题x21、若 lim(，则ax b ) 0x x 1（ A ）a1, b1（ B ） a1, b1 （ C ）a1, b1（ D ） a1, b12、设 F ( x)f ( x) ,x00 处可导 且 f '(0)0， f(0)0 ，则 x0 是 F ( x) 的x，其中 f ( x) 在 xf (0),x0（A） 连续点 （B） 第一类间断点 （C） 第二类间 断点（D）以上都不是3、设常数k0，函数f ( x)ln xxk 在 (0,)内零点的个 数为（ A ）0（ B ）

10、1（C） 2（ D ）3e14、若在0,1f ( 0 )g ( 0 )0f ,( 1g)(a1 )f' ' x()0g ''( x)0I 1f (x) dx，上 有， 则， 且，011I 2g ( x) dx ， I 3ax dx 的 大小关系为00（ A ）I1I 2aI 3b, 0y（ B ）I 2I3I1 （C）I 3I 2I1（ D ）I 2I 1I 35、由平面 图形0xf ( x)y轴旋转所成 的旋转体 的体积为绕（ A ）2b()（ B ）b（ C）b2（ D ）bVx fxV2Vf(x)dxVf ( x)dxad xf ( x) d xaaa6、

11、P(1,3,4) 关于 平面 3xy 2 z0的对称点是（A） (5,1,0)（ B ）(5,1,0)（ C）(5,1,0) （ D ）(5,1,0)7、设 D 为 x2y2R2， D1是 D 位于第一象限的部分，f ( x) 连续 ，则f ( x2y 2 )dD（A） 8f ( x2 )d（B） 0RR2y2 ) dy（D） 4f ( x2y2 )d（ C ）Rdxf (xD1RD18、 a 为常数，则级数sin(na)1（ A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收 敛性与 a 的 取值有关n 1n2n二、填空 题1、 lim tan32x (1xx4e)。x0x12、具有

12、n 个 不相 等实根 的 n 次多项 式，其一阶 导数的不 相 等实 根至少 有个。3、对数螺 线e在点(,)(e2,处的切线的直角坐标 方程为。)f ( x)x(12'(x )2f (x)0f (0)1f ( x)4、设是的二次多项式，且x ) f，则。，5、设 ysin x2，则 dyd( x3 ) 。28x7x44x32x23x1dx。6、x2127、若级数(1)na。n收敛， 则常数 an18、三重积 分z ln( x2y2z21)dxdydz。x2 y2z2 1x2y2z2 18* 、已知 曲线 yx33a2 xb 与x 轴相 切，则 b2可以 通过 a 表示 为 b2。9

13、、 设为上半椭球面x2y2z21, ( z 0)， 已 知的面积为 S，则曲面积分94( x429y23z26 d )S。9*、级数x2 n1的收敛区间为。3nn110、三元函数uzz在点处沿该点的向径方向 的方向导 数为。e2 xy(1,1,1)10* 、设 f ( 1 )1x，且 f ( x) 可微 ，则 f'( x )。xxx11、设 ysin t dt(0x) ， 则曲线 yy( x) 的长度为。011* 、若 f ( x) dx xexC ， 则 f (x)。12 、设 a, b, c 都是单 位 向量，且满足 ab c 0 ，则 a b b c c a。12* 、函 数 y

14、3 x 的拐 点为。3三、按要求做下列各题。1、求极限l i mx2( x2 2 x1 x)、已知函数yf ( x)对 一 切x满 足x。 22x 且在 点x00处取得极值， 问f (x0 )是极大值还是极小值，并证明你的结论。x f ' ' ( x ) 3x f ' x( ) 1e四、计算下面 积分。 1、1ln x2、3xdxx xxx dx4 sin 2 x五、 f ( x, y)为 D : x2y2y, x 0 上的连续函数，f ( x, y)1 x2y28f (u, v) dudv ,求 f ( x, y)D六、周长为2l 的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三

15、角七、f ( x) a ,b 连续( a ,b )f ( a) f ( b) 0f (a)可导 ，八、设 函数 yy( x) 由方程组xt22 ty(0t 2asin y 2形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？f ( a b) 0 。证明： 在 (a,b) 内 存在，使得 f '( )f ( ) 。2a 1) 所确定， 求 dy ， d 2 y 。dxdx2九、1、已知e x2dx， b 为大于零的常数。设积分I(ey2x2cos2 xy3 y) dx (ey2x2sin 2xy by )dy 。02L其中L是依次连结A( a, 0), B (a ,),C(0,),O

16、(0,0)limI。aa的有向折线。 求极限a2、计算曲 面积分 Ixdydzydzdxzdxdy，其 中为曲 面1z(x2) 2( y 1)2( z0) 的上侧。(x2y 2z 2) 35169提示：先补充两个曲面 1( x, y, z) | z0, x2y 2a2 , ( x 2)2( y1)21 ，取下侧；1692( x, y, z) | za2x2y2，取下侧，其中常数 a 充分小，使 上半 球面2与积分曲面互不相交。九 * 、1、已知 F ( x) 是 f (x) 的一个原函数，而 F ( x) 是微 分方程 xy'yx条件 lim y( x)1的解， 试将 f ( x)e

17、满足初始x 0展开成 x 的幂级数， 并求n的和。n 12、如下图，曲线C 的方程为(n1) !yf ( x) ，点 (3,2)是它的一 个拐点， 直 线 l1 与 l2 分别 是曲线 C 在点 (0,0)与 (3, 2) 处的切线， 其交点 为 (2,34)。 设函 数 f (x) 具有三阶连续导 数，计算 定积分 (x x2 ) f '''(x )dx。0高等数学竞赛一、填空题 lim12n。 lim11.n2n1n2n 22nn2x tan xxnx 0x 设 函数 yy(x) 由方 程 yxey 确定，则 dy11x 0 =。 4.0 2x x2 dx。xdxd

18、x5.广义积分。 6.x2y2a2绕xb (ba0)旋转所 成的旋转体的体积为。0(1x2 )27.zz( x, y) 由 ze2 x 3z 2 y 确 定 ,则 3zz。 zx2y 2 与2 x 4 yz0 平行的 切平面的方程是xy 设 rx2y2z2，则 div ( grad r ) 1 ,2 , 2。01y11.1xy sin z 交换二次积分次序的积分次序1dyf (x , y)dxdxdydz200oz112.设 L 为正向 圆周 x2y22 在第一象 限中的部分，则曲线积分xdy2 ydx 的值 为.L二、单 项选择 题13.设 函数 f (x)x 31( x) ，其中( x)

19、在 x1 处连续 ，则(1)0 是 f( x) 在 x 1 处可导 的【】(A) 充分必要条件.14 设 f ( x) 在 0 ， 1 上连 续，且（ A） F (1) F (0).（ B ）必要但非充分条件. (C)充分但非必要条件 .(D) 既非充分也非必要条件.1【】则F ( x) f ( x), a 0,f (ax )dx0（ B ） F (a ) F (0).（C） 1F (a)F (0).（ D ） a F (a ) F (0).a15下列等式 中正确的是 【】（ A ） f ( 2x)dxf (2 x) C.（ B ） df ( 2x) f (2 x) C.（ C） dxf (

20、x t)dt f ( x t ).1f ( x).（ D ） d xf ( xt)dtdx 0016 .lim ln n(11)2(12) 2(1n) 2等于nnnn2xdx （ B ） 222x) dx .（ D ）2ln 2 (1 x)dx .（ A ）ln 2ln xdx .（ C） 2ln(11111121 x2设 f (x, y) 为 连续 函数，则4 d)rdr 等于 【2dx17.f (r cos , r sin】（ A）f ( x, y)dy.000x21 x2f (x, y)dy.21 y 2f ( x, y)dx.2dy1 y2f ( x, y)dx.（ B ）2 dx（

21、C ）02dyy（ D ）2000018.设 f ( x, y) 与(x, y) 均 为 可微函 数，且y ( x, y)0. 已 知 ( x0 ,y0 ) 是 f ( x, y) 在约 束条件( x, y ) 0下的一 个极值点，下列选项正确的是【】（ A ）若 f x( x0, y0 )0 ，则 fy(x, y)0 . （ B ）若 fx ( x0, y0 )0 ，则 fy( x , y) 0 .0000（ C）若 f x ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .（ D ）若 f x ( x0 , y0 )0 ， 则 f y ( x0 , y0 ) 0 .19.

22、设 l 为椭 圆 x2y 21 ，其周长记为a ,则(2 xy3x 24 y2 ) ds【】（ A ） 4a . （ B ）8a .（ C ） 12a（ D ） 16a .43l20.级数an 收敛， 级 数【 】（ A ）an 收敛 . （ B ）(1)n an 收敛 .（ C ）an an 1 收敛 .（ D ）n1n 1n1n1三、解答 题 极限 lim sin 2cos 1x21xxx4) , 若对 任意的 x 都满足22设函数f (x) 在（,）上有定义, 在区间0,2上 ,f ( x) x ( x2其中 k 为常数 . ( ) 写出 f (x) 在 2, 0 上的表达 式 ;( ) 问 k 为何 值 时 , f ( x) 在 x0处可导.anan 1 收敛 .n 12f ( x )k f ( x2) ,23. 求通过点24求曲面25计算 I222为最小的直线 方程。1, 1 的直 线 yf x 中，使 得xf x d x0zx2y2夹在二曲面 x2y 2y ,x 2 y 2 2 y 之间的部 分的面 积 。xcd