高等数学下册知识点

1、名师推荐精心整理学习必备高等数学下册知识点第七章空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A( 3,2, 1)和点 B( 7,2,3) ，取点 M 使 AM2MB ，则向量 OM =。2 已知点A(0,1,2) 和点 B(1,1,0) ，则 AB0=。3、设向量 a 与三个坐标面的夹角分别为,，则 cos2cos2cos2=。4、设向量 a 的方向角,为锐角，且 a4 ，则 a =。35、向量 a(7, 2,5) 在向量 b( 2,2,1) 上的投影等于。6、过点 P 1， 2，1 且与直线 xt2， y3t 4， z t1 ，垂直的平面方程为 _ 7 、已知两直线方程是L1 : x1y0

2、2z3， L2 : x2y 1z，则过 L1 且平行 L2 的平面方程为_ _11211L1 :x1y5z8L2 :xy60与 L28、设直线121 ,，则 L1的夹角为（）2 y z 3 0（A）6（ B）（ C）（ D）4329、平面 Ax ByCzD0过 x 轴，则（）（A） AD0（B） B0,C0（C） B0,C0（D） BC010、平面 3x5z10 （ ）（ A ）平行于 zox 平面 （ B）平行于 y 轴（ C）垂直于 y 轴（ D）垂直于 x 轴11、点 M (1,2,1) 到平面 x2 y2z100 的距离为（）（A ）1 （B） 1（C） 1 （D） 1312、与 xo

3、y 坐标平面垂直的平面的一般方程为。13、过点 (1,2,1) 与向量 S1i2 j3k, S2jk 平行的平面方程为。14、平面 19x4y8z210 和19x4 y8z420之间的距离等于。15、过点 (0,2,4) 且与平面 x2z1及 y3z2 都平行的直线方程为。16、过点 (2,0,3) 并与x2y 4z703x垂直的平面的方程为。5y 2z 1 0二、完成下列各题1、设 OCa13b, OB2a8b, OC(ab) 与 b 是不平行的非零向量，求的值，使 A、B、C 三点在同一直线上。2、已知不平行的两向量a 和 b ，求它们的夹角平分线上的单位向量。3、设点 A(1,0,1)

4、为矢量 AB 的起点， AB10, AB 与 x 轴、 y 轴的夹角分别为60 ,45 ，试求：（1） AB 与z 轴的夹角 v ；（ 2）点 B 的坐标。4、求与向量 a2ij2k 共线且满足 ax18 的向量 x 。5、若平面过 x 轴，且与 xoy 平面成30的角，求它的方程。第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；名师推荐精心整理学习必备4、 利用坐标做向量的运算：设 a( ax ,ay, az ) ， b (b ,b,b ) ，

5、xyz则 a b (axbx ,ayby , azbz ) ,a ( ax , ay , az ) ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： rx2y2z2；2） 两点间的距离公式：AB(x2x1 )2( y2y1 )2(z2z1 )23） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4） 方向余弦： cosxyz, cosr, cosrrcos2cos2cos215） 投影： Pr ju aa cos，其中为向量 a 与 u 的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积： abab cos1） aa2a2） abab0a b a x b xa y b ya z b z2、向量积： cab大小

6、：absin，方向： a , b , c 符合右手规则1） aa02） a / bab0名师推荐精心整理学习必备ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念： S : f ( x, y , z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f ( y , z)0 ，绕 y 轴旋转一周： f ( y ,x 2z2 ) 0绕 z 轴旋转一周： f (x 2y 2 , z) 03、柱面：F ( x, y )0F ( x, y )0 表示母线平行于 z 轴，准线为的柱面z04、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：x 2y 2z 2a 2b 2x2y2z21

7、a2b2c2x旋转椭球面：a2y 2z212a 2c 23）单叶双曲面：4）双叶双曲面：x 2y 2z21a 2b 2c 2x 2y 2z21a 2b 2c 2名师推荐精心整理学习必备x 2y2z5）椭圆抛物面：a 2b 2x 2y2z6）双曲抛物面（马鞍面） ： a 2b 2x 2y 217）椭圆柱面：a 2b 2x 2y 218）双曲柱面：a 2b 29）抛物柱面： x 2ay（四）空间曲线及其方程F ( x, y , z)01、一般方程：G ( x , y , z)0xx ( t )xa cost2、参数方程：yy ( t ) ，如螺旋线：ya sintzz ( t )zbt3、空间曲线

8、在坐标面上的投影F ( x, y, z)0xoy 上的投影H ( x, y ) 0G ( x, y , z)，消去 z ，得到曲线在面z00（五） 平面及其方程1、点法式方程：A ( xx0 ) B ( yy 0 )C ( zz0 ) 0法向量： n( A, B,C ) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCz D0xyz1截距式方程： abc名师推荐精心整理学习必备3、两平面的夹角： n1( A1, B1 ,C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1 A2B1 B2C1C2A12B12C12A22B22C2212A1 A2B1B2C1C20/A1B1C1

9、12A2B2C 24、点 P0 ( x0 , y0 , z0 )到平面 AxByCz D 0 的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C 2（六）空间直线及其方程A1 x B1 y C1 z D 101、一般式方程：A2 x B2 y C 2 z D 202、xx0yy0z z0对称式（点向式）方程：mnp方向向量： s( m,n, p) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )xx0mt3、参数式方程：yy0ntzz0pt4、两直线的夹角：s1(m1, n1, p1 ) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2p1 p2m2n2p2m2n2p2111222L1L2m1m

10、2n1n2p1 p20L1 / L2m1n1p1m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，名师推荐精心整理学习必备AmBnCpsinA 2B 2C 2m2n 2p 2L /AmBnCp0LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：zf ( x, y) ，图形：3、极限：limf ( x, y)A( x, y)( x0 , y0 )4、连续：limf ( x, y)f (x0 , y0 )( x, y)( x0 , y 0 )5、偏导数：f x ( x0 ,

11、 y0 )limf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )xx0f y (x0 , y0 )limf ( x0 , y0y)f ( x0 , y0 )0yy6、方向导数：ff cosfcos其中,为 l的方向角。lxy7、梯度： zf ( x, y) ，则 gradf ( x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、全微分：设zf (x, y) ，则 dzz dxz dyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：名师推荐精心整理学习必备12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件4定义23函数连续2

12、、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y) ，则vyzz uzvzz uzvxu xv x ， yu yv y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数zf (x, y) 的极值fx0解方程组f y0求出所有驻点，对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，令A f xx (x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy ( x0 , y0 ) ，若 ACB 20， A0 ，函数有极小值，若

13、ACB20 ， A0 ，函数有极大值；若 ACB 20，函数没有极值；若 ACB 20，不定。2）条件极值：求函数 zf (x, y)在条件 ( x, y)0下的极值名师推荐精心整理学习必备令： L( x, y)f ( x, y)( x, y) Lagrange 函数Lx0解方程组L y0( x, y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx (t )曲线: yy ( t ) ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) （对应参数为 t 0 ）处的zz(t )xx0yy0zz0切线方程为： x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程为： x ( t0 )( xx0 )y ( t

14、0 )( yy0 )z (t 0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面与法线曲面: F ( x, y , z)0 ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0法线方程为：xx0yy0zz0Fx(x0, y0, z )Fy( x , y0, z )Fz( x , y0, z )00000第十章重积分（一）二重积分n1、定义：f ( x, y) dlimf (k ,k )kD0k 12、性质：（6 条）3、几何意

15、义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标D( x, y)1 (x)y2 ( x)，axb名师推荐精心整理学习必备b2 ( x)f ( x, y)dxdydxf ( x,y)d ya1 ( x)DD( x, y)1 ( y)x2 ( y)cyd，ddy2 ( y)f ( x, y)dxdyf ( x,y)d xDc1 ( y)2）极坐标D( , )1 ( )2()2 ()f (x, y)dxdydf (cos , sin)d1 ()D（二）三重积分n1、定义：f ( x, y, z) d vlimf ( k , k ,k )vk0 k 12、性质：3、计算：1）直角坐标f ( x, y, z)

16、 d vz2 ( x, y)f ( x, y, z) dzd xd y-“先一后二 ”Dz1 (x, y )f (x, y, z) d vbf (x, y, z) dx d yd z-“ 先二后一 ”aD Z2）柱面坐标xcosysin，f ( x, y, z)d vf (cos , sin, z) d d dzzz3）球面坐标xr sincosy r sin sin z r cos名师推荐精心整理学习必备f (x, y, z)d vf (r sincos , r sinsin, r cos)r 2sindrd d（三）应用曲面S : zf ( x, y) , ( x, y)D 的面积：AD1

17、 ( z)2( z )2 d xd yxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：Lf ( x, y)ds limf ( i , i ) si0 i12、性质：1） f (x, y)(x, y)dsf ( x, y)dsg( x, y)ds.LLL2）f (x, y)dsf ( x, y)dsf ( x, y)ds. ( LLL ).LL1L2123）在 L 上，若 f ( x, y)g( x, y) ，则 f ( x, y)dsg(x, y)ds.LL4）ds l (l为曲线弧L的长度)L3、计算：x(t ),设 f ( x, y) 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数

18、方程为(t) ，其中(t ), (t ) 在y(t ), , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t )0 ，则Lf ( x, y)d sf (t ),(t )2 (t)2 (t)d t ,()（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L为 xoy 面内从A 到 B 的一条有向光滑弧，函数P ( x, y) ， Q ( x, y ) 在 L 上有界，定义nLP ( x, y )d xlimP (k , k ) xk ，01k名师推荐精心整理学习必备nLQ ( x, y)d y limQ ( k , k ) yk .0 k1向量形式： F d rLP(x, y)d xQ( x, y)d yL2、性

19、质：用 L表示 L 的反向弧 ,则LF ( x, y) drL F ( x, y) dr3、计算：设 P( x, y), Q(x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且连续 , L 的参数方程为x(t),y(t :) ，其中 (t ),(t ) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t ) 0 ，(t ),则P( x, y)d xQ( x, y)d y P(t ),(t )(t )Q(t),(t)(t )dtL4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为 L：x(t )y， L 上 点 ( x, y)处的切向量的方向角为： ,，(t )cos(t )， cos(t )2 (t)(t

20、)2 (t)，22 (t )则Pdx Qdy( P cosQ cos )ds .LL（三） 格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成，函数 P( x, y) , Q( x, y) 在QPPdxQd yD 上具有连续一阶偏导数,则有xdxd yDyL2、 G 为一个单连通区域，函数P(x, y) ,Q( x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则QPPdx Qdy 在 G 内与路径无关x曲线积分yL曲线积分PdxQdy0L名师推荐精心整理学习必备P( x, y)dxQ( x, y) d y 在 G 内为某一个函数 u( x, y) 的全微分（四）对面积的曲面积分1、定义：设

21、为光滑曲面，函数f ( x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f (x, y, z) dSlimf ( i ,i , i ) Si0i 12、计算：“ 一单二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，则f ( x, y, z) dSDx yf x, y, z(x, y)1zx2 (x, y) zy2 (x, y) dxd y（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数 P( x, y, z), Q(x, y, z), R( x, y, z) 是 定 义 在上的有界函数，定义R( x,

22、y, z)d xdylimnR(i , i,i )(Si ) xy0 i1n同理，P( x, y, z)d ydzlimP(i,i,i )(Si ) yz0 i1nQ(x, y, z)d zdxlimR(i ,i,i)(Si )zx0i13、性质：1）12 ，则PdydzQdzdxRdxdyPdydz Qdzdx RdxdyPdydzQdzdx Rdxdy122）表示与取相反侧的有向曲面,则R d xdyR d xdy4、计算：“ 一投二代三定号 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ， zz( x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x, y, z) 在上连续，则R(

23、 x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)dxdy , 为上侧取“ + ”，为下侧取“ - ” .Dx y5、两类曲面积分之间的关系：名师推荐精心整理学习必备Pd yd zQd zdxRd xd yPcosQcosRcosd S其中,为有向曲面在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 ,函数 P, Q, R在上有连续的一阶偏导数 ,则有PQRd x d y d zP d y d zQ d zd xRdx d yxyz或PQR d xd y d zPcosQcosRcosd Sxyz2、通量

24、与散度通量：向量场 A(P,Q, R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd ydzQdzd xRd xd y散度： divAPQRxyz（七） 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的 边 界是分段光滑曲线,的 侧 与的正向符合右手法则,P (x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数 ,则有RQd yd zPRQPP d x Q d y Rd zyzzd zd xxd xd yxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作:d y d z d zd x d x d yxyzP d xQ d yRd zPQR2、环流量与旋度环流量：向

25、量场A(P,Q,R) 沿着有向闭曲线 的环流量为P d x Q d yR d z旋度： rotARQPRQPyz,xyzx名师推荐精心整理学习必备第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn1n部分和： Snuku1u2u3un ，k 1正项级数：un ， un0n 1交错级数：(1)n un ， un0n 12）级数收敛：若lim SnS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 13）条件收敛：un收敛，而un发散；n1n 1绝对收敛：un收敛。n 12、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数an ，bn 收敛，则(anbn )

26、收敛；n 1n1n 13）级数an 收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 14）必要条件：级数un 收敛lim un0 . （注意：不是充分条件！ ）n1n3、审敛法正项级数：un ， un0n 11）定义： lim SnS 存在；n2）un 收敛S有界；n 1n名师推荐精心整理学习必备3）比较审敛法：un ，vn 为正项级数，且 un vn (n 1,2,3, )n 1n 1若vn收敛，则un 收敛；若un 发散，则vn 发散 .n 1n1n1n 14）比较法的推论：un ，vn为正项级数，若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 收敛，n1n 1n1则un 收敛；若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 发散，则un 发散 .n 1n 1n 15）比较法的极限形式：un ，vn 为正项级数， 若 lim unl(0l) ，而vn 收敛，则unn1n 1nvnn 1n 1收敛；若 lim un0 或 lim un，而vn发散，则u发散 .nvnnvnn 1n 1n6）比值法：un 为正项级数， 设 lim un1l ，则当 l1 时，级数un 收敛；则当 l1时，级数unn 1nunn 1n 1发散；当 l1 时，级数un